Поверхности. Поверхности в пространстве R3

• Название: Поверхности в пространстве R3
• Дата: 21.12.2020
• Размер: 259 Kb.
• Имя файла: Поверхности.doc
• Тип: Документы; #162559

Поверхности в пространстве R³.

Ц илиндрическая поверхность – это множество всех точек, лежащих на прямых (образующих), параллельных данной прямой (l) и пересекающих данную линию () (направляющую) (рис. 20).

П
0
усть образующая цилиндрической поверх-ности () параллельна одной из осей координат прямоугольной системы Охуz, например, Oz. Ее направляющая () ее лежит в плоскости Оху и описывается уравнениями

Требуется составить уравнение этой цилиндрической поверхности.

Т
(8.1)
очка , где (l) – одна из образующих цилиндрической поверхности (), которая пересекает направляющую () в точке . Так как точка N(), то .

Точки М и N принадлежат одной и той же прямой (l), параллельной оси Oz, и, следовательно, .

Подставив в равенство (8.1) вместо х_N и y_N соответственно х и у, получим равенство F(x,y)=0, которое является уравнением цилиндрической поверхности ().

Итак, F(x,y)=0 есть уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей, расположенной в плоскости Оху.

З амечания. 1. Уравнение цилиндрической поверхности, подобной рассмотренной, совпадает с уравнением ее направляющей, расположенной в одной из координатных плоскостей прямоугольной системы Охуz.

2. Уравнение не содержит одной переменной, одноименной с осью, параллельной образующей цилиндрической поверхности.

Например, - уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz (в уравнении отсутствует переменная z), с направляющей, расположенной в плоскости Оху и представляющей параболу с тем же самым уравнением (см. рис. 21).

Поверхности второго порядка

Общее уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:

где .

Справедлива следующая теорема (дается без доказательства).

Теорема. Общее уравнение поверхности 2-го порядка с помощью симметрии относительно плоскости, поворота оси и параллельного переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к одному из следующих канонических уравнений:

1. (a, b, c>0) – эллипсоид (рис. 22),

2. 
   - однополостный гиперболоид (рис. 23),
   
3. 
   - двухполостный гиперболоид (рис. 24),
   
4. 
   - коническая поверхность второго порядка (рис. 25),
   
5. 
   (p, q>0) – эллиптический параболоид (рис. 26),
   
6. 
   - гиперболический параболоид (рис. 27),
   
7. 
   (a, b>0) – эллиптический цилиндр,
   
8. 
   - гиперболический цилиндр,
   
9. 
   (p>0) – параболический цилиндр (рис. 21),
   
10. 
    - пара пересекающихся плоскостей,
    
11. 
    - пара параллельных плоскостей,
    
12. 
    - пара совпадающих плоскостей,
    
13. 
    - прямая х=у=0 (пара мнимых пересекающихся плоскостей),
    
14. 
    - точка 0 (0, 0, 0) (мнимый конус),
    
15. 
    -  (мнимый эллипсоид),
    
16. 
    -  (мнимый эллиптический цилиндр),
    
17. 
    - (пара мнимых параллельных плоскостей).
    

Указанное в теореме преобразование системы координат называется приведением к главным осям.

Метод сечений

Пересечение исследуемой поверхности с плоскостью дает плоскую кривую. Ряд таких пересечений (называемых сечениями) позволяет выяснить строение поверхности.

1. 
   Эллипсоид.
   

Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид:

(a>0, b>0, c>0).

И сследуем форму эллипсоида по его уравнению.

И
Рис. 22

0
з уравнения видно, что эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, заключенную в параллелепипеде . Координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, оси координат – его осями симметрии (все оси эллипсоида вещественны, т.е. их эллипсоид пересекает), начало координат – центром симметрии эллипсоида.

А дальше исследуем форму эллипсоида по его сечениям плоскостями. Рассмотрим сечение эллипсоида координатной плоскостью Оху. В сечении получается линия:



Эта линия представляет собой эллипс с полуосями a и b (рис. 22). Аналогично устанавливается сечение данного эллипсоида с плоскостью Oxz.

- эллипс с полуосями a и с,

и с плоскостью Оуz.

- эллипс с полуосями b и с.

Рассмотрим теперь сечение эллипсоида с плоскостями , параллельными плоскости Оху.

Уравнения линий пересечения будут

или

Если положить , то уравнения запишутся в виде . Отсюда видно, что полуоси и являются действительными числами лишь при и линия пересечения эллипсоида с плоскостью z=h представляет собой эллипс с полуосями и .

При эллипсоид и плоскость пересекаются в одной точке (вырожденный эллипс). Если |h|>c, то эллипсоид и плоскость не имеют общих точек (пересекаются по мнимому эллипсу).

Аналогично находим, что в пересечении эллипсоида с плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz, получаются также эллипсы.

Таким образом, эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, линиями пересечения которой с координатными плоскостями и им параллельными являются эллипсы. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным. Если a=b=c, то эллипсоид превращается в сферу.

Замечание. Эллипсоид может быть получен равномерным сжатием сферы относительно двух перпендикулярных его плоскостей симметрии.

Гиперболоиды

2. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида.

, (a>0, b>0, c>0).
Из уравнения видно, что координатные плоскости прямоугольной системы координат Охуz являются плоскостями симметрии, оси координат – осями симметрии (две оси – вещественные, одна - мнимая), начало координат – центром симметрии однополостного гиперболоида (рис. 23).

Исследуем форму этого гиперболоида по его сечениям координатными и параллельными им плоскостями.

Линия пересечения гиперболоида с плоскостью Оху имеет уравнения:



Эти уравнения определяют эллипс с полуосями а и b. Линиями пересечения данного гиперболоида с плоскостями z=h (hR), параллельными координатной плоскости Оху, будут эллипсы



или



с полуосями .

Полуоси и неограниченно увеличиваются с увеличением |h|.

Линией пересечения данного гиперболоида с плоскостью Oxz будет гипербола



с действительной полуосью Ox и мнимой осью Oz, а и с – полуоси гиперболы, с плоскостью Оуz - гипербола



с полуосями b и с.

Числа a, b, c называются полуосями однополостного гиперболоида.

3. 
   Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид:
   

, (a>0, b>0, c>0).

Из этого уравнения видно, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, оси координат – осями симметрии (одна ось – вещественная, две оси - мнимые), а начало координат – центром симметрии двуполостного гиперболоида (рис. 24).

В сечении данного гиперболоида с координатной плоскостью Оху получается мнимый эллипс:


Это значит, что плоскость z=0 не пересекает гиперболоид.

Линии пересечения данного гиперболоида с плоскостями z=h представляют собой эллипсы, уравнения которых имеют вид:

или ,

где .

Полуоси и являются действительными числами лишь при . Это означает, что в пространстве между плоскостями z=с и z=-с не содержится точек рассматриваемой поверхности. Эта поверхность состоит из двух полостей, расположенных так, как показано на рис. 24.

Линией пересечения двуполостного гиперболоида с плоскостью Oxz будет гипербола



с действительной полуосью с и мнимой полуосью а,

с плоскостью Оуz - гипербола



с действительной полуосью с и мнимой полуосью b.

Числа a, b, c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

3. 
   Каноническое уравнение конической поверхности 2-го порядка имеет вид: (a>0, b>0, c>0).
   

Аналогичные исследования позволяют выявить строение этой поверхности (рис. 25).

Параболоиды

5. 
   Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид:
   

(p>0, q>0).

Из уравнения видно, что координатные плоскости Охz, Оуz являются плоскостями симметрии параболоида, а Oz – ось симметрии его. Начало координат О – вершина параболоида (рис. 26).

5. 
   Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид:
   

(p>0, q>0).


Цилиндрические поверхности – эллиптический цилиндр с уравнением (a,b>0) и гиперболический цилиндр с уравнением (a>0, b>0).