Исследование трехчлена. 9 Исследование квадратного трехчлена. Пояснительная записка Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики.
 Скачать 25.01 Kb.
|
|
Пояснительная записка Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Если не считать самой простой функции – линейной, то это единственная функция, для которой в школьном курсе могут быть достаточно строго доказаны основные свойства, составляющие содержание теории и необходимые для решения задач. Актуальность курса определяется значимостью понимания школьниками особого положения квадратного трехчлена в школьном курсе. В то же время в школьном курсе алгебры рассматриваются лишь самые простые, непосредственные применения свойств квадратного трехчлена в стандартных ситуациях – таких, как решение квадратных уравнений и неравенств, нахождение условий существования решений, определение знаков корней, отыскание наибольшего или наименьшего значения квадратного трехчлена и т.п. Безукоризненное знание свойств квадратного трехчлена, умение применять эти свойства для решения задач фактически требуется от каждого ученика для его дальнейшего изучения математики в старших классах. Цель курса: показать некоторый общий подход, с помощью которого учащийся, владеющий «азбукой» квадратного трехчлена, сам может при необходимости получить и доказать соответствующее утверждение. Задачи курса: видеть квадратный трехчлен во всех его разнообразных формах и уметь использовать его свойства для решения задач, внешне не связанных с квадратным трехчленом; владеть геометрической интерпретацией задач, связанных с квадратным трехчленом; уметь исследовать квадратный трехчлен не только на всей числовой прямой, но и на конкретном числовом множестве. В содержании программы курса предлагаются ряд свойств квадратного трехчлена, не изучающихся в школьном курсе, но непосредственно к ним примыкающих и которые, в основном, легко доказываются на основе школьных знаний уровня обязательного минимума. Среди этих свойств самые главные – это многочисленные необходимые и достаточные условия для того или иного расположения корней трехчлена, для сохранения знака трехчлена на некотором промежутке, для определения связи между двумя заданными квадратными трехчленами и т. п. Совокупность этих свойств не следует рассматривать как некоторую «расширенную теорию» квадратного трехчлена, а стремиться ставить более общие вопросы и получать при этом новые свойства квадратного трехчлена – для применения на практике, а не для обогащения теории. Для практической части необходимо подбирать из действующих учебников алгебры 8-9 классов, отмеченные (*), а также задачи повышенной трудности. Для развития мотивации к изучению курса следует подбирать (заимствовать) задачи из материалов для подготовки к выпускным экзаменам, либо с некоторыми изменениями в них, такими, чтобы задачи непосредственно примыкали к задачам выпускных экзаменов и по содержанию, и по уровню трудности. При решении задач, связанных с квадратным трехчленом, естественно возникает ряд вопросов, имеющий более общий характер и важных как для общего развития учащихся, так и для расширения их возможностей в решениях задач. На заключительном занятии элективного курса можно провести конференцию учащихся с подведением итогов решения задач и предоставления каждому слушателю своей папки с решенными в ней задачами, заинтересовавшими их. Данный курс предусматривает не только классно-урочную и лекционно-практическую системы, но и использование личностно-ориентированных педагогических технологий. При решении задач значительное место должно занимать поиски идей решения, эвристические соображения, и только затем, само решение, найденное эвристически, проводится строгим логическим рассуждением. Данный курс рассчитан на 34 часа. Он может быть используем как отдельный элективный курс, с одной стороны, и для расширения и углубления ЗУНов, с другой – при изучении профильного курса математики и наличии дополнительного времени на его изучение. Оценивание курса осуществляется в системе «зачтено - не зачтено». Элективный курс может считаться «зачтенным», если ученик посетил не менее 65% занятий по данному курсу. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ ПРОГРАММЫ Тема 1. Азбука квадратного трехчлена (4 часа). Корни квадратного трехчлена. Решение квадратных уравнений. Теорема Виета и следствие о знаках корней. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Знаки значений квадратного трехчлена. Решение квадратных неравенств. Тема 2. Квадратный трехчлен в неявном виде (11 часов). Изображение на координатной плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению или неравенству. Доказательство неравенств с применением свойств квадратного трехчлена. Неравенство Коши-Буняковского. Решение уравнений с двумя переменными и их систем, содержащих квадратный трехчлен в неявном виде. (Доказательство тождеств и разложение многочленов на множители с помощью выделения квадратного трехчлена, заданного в неявном виде, и применения свойств квадратного трехчлена.) Тема 3. Коэффициенты, корни и значения квадратного трехчлена (6 часов). Свойства квадратного трехчлена f( x) = ax 2 + bx + c: f(0) = c; f(1) = a + b + c;f( -1) = a - b + c и их применение для решения практических задач. Связь коэффициентов квадратного трехчлена с его корнями. Геометрическая интерпретация существования корней квадратного трехчлена со знаками его значений. Тема 4. Исключение «лишних» корней квадратного трехчлена (6 часов). Простейшие уравнения с параметрами, методы их решения на примерах решения квадратных, дробно-линейных уравнений. Тема 5. Отбор корней квадратного трехчлена (7 часов). Задачи, сводящиеся к исследованию принадлежности корней квадратного трехчлена ограниченной области: корни трехчлена не должны принимать определенные («запрещенные») значения; корни трехчлена должны лежать на некотором луче (открытом или замкнутом, т.е. с концами включенными или исключенными); корни трехчлена должны лежать на некотором конечном промежутке). Требования к уровню усвоения учебного материала В результате изучения программы элективного курса «Исследование квадратного трехчлена» учащиеся получают возможность: ЗНАТЬ: формулу корней квадратного уравнения ax 2+ bx+ c=0 (общую и для случая в – четное число); теорему Виета для квадратного уравнения в общем виде и приведенного квадратного уравнения; теорему, обратную теореме Виета; график квадратного трехчлена; особенности графиков квадратных трехчленов (наличие оси симметрии, вершины, направление ветвей, расположение по отношению к оси х); квадратный трехчлен в неявном виде; геометрическую интерпретацию корней квадратного трехчлена и расположение его графика в зависимости от коэффициентов. УМЕТЬ: выделять квадрат двучлена из квадратного двучлена; решать квадратные уравнения; определять количество корней квадратного уравнения по знаку его дискриминанта; решать неполные квадратные уравнения; применять теорему Виета и обратную ей для составления квадратного уравнения по его корням и нахождение корней квадратного уравнения; определять зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами; строить график квадратичной функции и читать его, используя свойства квадратного трехчлена; решать неравенства второй степени с одной переменной; решать задачи прикладного характера с опорой на графические представления; раскладывать квадратный трехчлен на множители; исследовать решение квадратных и дробно-линейных уравнений с параметрами; производить отбор корней квадратного трехчлена на луче и конечном промежутке; исключать «посторонние» корни; использовать свойства квадратного трехчлена, заданного неявно. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
|