Практическая работа Тема. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей с использованием элементов комбинаторики
 Скачать 71.59 Kb.
|
|
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1. Тема. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей с использованием элементов комбинаторики. Цель: вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности, развитие самостоятельной мыслительной деятельности, вычислительных навыков, творческого мышления студентов. Порядок выполнения работы: 1. Ознакомиться с основными формулами комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки). 2. Рассмотреть примеры решения комбинаторных задач. 3. Ознакомиться с формулой классического определения вероятности. 4. Рассмотреть примеры решения задач на применение формулы классического определения вероятности и с использованием элементов комбинаторики. 5. Ответить на контрольные вопросы. 6. Получить и выполнить индивидуальные задания. Теоретическая часть. Комбинаторика. Перестановками из n элементов называют такие соединения, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.  Размещениями из n элементов по m в каждом называют такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.  .Сочетаниями из n элементов по m в каждом называют такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.  .Пример 1. Вычислите:  Решение:  .Пример 2. Сколько можно записать двузначных чисел, используя без повторения все 10 цифр? Решение:  .Классическое определение вероятности. События, явления могут быть достоверными, невозможными и случайными. Те события, которые обязательно произойдут при осуществлении определённой совокупности условий (которую будем называть опытом или испытанием), называют достоверными и обозначают U. Событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий, называют невозможным и обозначают V. События, которые при испытании могут произойти, а могут и не произойти, называют случайными и обозначают - А, В, С. Случайные события называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из них не исключает появление другого при том же испытании. События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны. Случайные события бывают элементарные и составные. Множество всех элементарных событий, связанных с некоторым опытом, называется пространством элементарных событий (U). Каждое событие определяется как подмножество во множестве элементарных событий A. При этом те элементарные события из U, при которых событие А наступает (т.е. принадлежит подмножеству А), называются благоприятствующими событию А. Пусть  - случайное событие, связанное с некоторым опытом. Повторим опыт  раз в одних и тех же условиях и пусть при этом событие  появилось  раз.Отношение числа опытов, в которых событие появилось, к общему числу проведённых опытов называется частотой события .Постоянная величина р, к которой все более приближается частота событий А при достаточно большом повторении опыта, называется вероятностью события А и обозначается  .Рассмотрим конечное пространство элементарных событий  , где  - попарно несовместные и равновозможные элементарные события. Пусть некоторому событию А благоприятствуют т из п элементарных событий пространства U. Вероятностью события р(А) называется отношение числа т элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу п равновозможных элементарных событий:  (1)Из определения вероятности вытекают следующие её свойства: 1. Вероятность любого события  ; 2. Вероятность достоверного события  , так как  ; 3. Вероятность невозможного события  так как  Примеры по выполнению практической работы Пример 1.В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным (событие А)? Решение: Имеем п = 12, т = 9, и поэтому  Пример 2. Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что на них в сумме выпадает 6 очков (событие А). Решение:При подбрасывании двух игральных костей общее число равновозможных элементарных исходов равно числу пар  где х и у принимают значения 1, 2, 3, 4, 5, 6: т.е.  . Событию А благоприятствуют пять пар:  , т.е.  . Следовательно, искомая вероятность  Пример 3. В урне  белых и  чёрных шаров. Из урны наугад вынимают  шаров. Найти вероятность того, что среди них будет  белых, а следовательно,  чёрных  .Решение: Число элементарных событий  . Подсчитаем число элементарных событий, благоприятствующих интересующему нас событию  среди взятых шаров будет белых и чёрных. Очевидно, что число способов, которыми можно выбрать белых шаров из , равно , а число способов, которыми можно к ним «довыбрать» чёрных шаров, равно  . Каждая комбинация белых шаров может сочетаться с каждой комбинацией чёрных, поэтому  . Следовательно,  .Контрольные вопросы. Сформулируйте определение сочетания, размещения, перестановки. Запишите формулу для нахождения сочетания, размещения, перестановки Какое событие называют достоверным? Какое событие называют невозможным? Дайте определение противоположных событий. Сформулируйте классическое определение вероятности. Чему равна вероятность достоверного события? Чему равна вероятность невозможного события? Что называется частотой события? Индивидуальные задания к практической работе № 2. Тема. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей с использованием элементов комбинаторики. 1 вариант. 1. Вычислить: 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ;5)  ; 6)  . 2. Сколькими способами могут разместиться пять человек вокруг круглого стола? 3. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1;2;5;8;9 так чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр? 4. В бригаде из двадцати пяти человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать? 5. Каждая буква слова СТАТИСТИКА написана на разных карточках. Сколькими различными способами можно переставить эти буквы? 6. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными. 7. В цехе работают 10 мужчин и 5 женщин. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины. 8. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно наугад вынуть 3 шара, чтобы 2 шара оказались белыми, а один черным? 2 вариант. 1. Вычислить: 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ; 5)  ; 6)  .2. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг? 3. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют семь команд? 4. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор? 5. Каждая буква слова БАРАБАН написана на разных карточках. Сколькими различными способами можно переставить эти буквы? 6. В урне имеется 20 шаров, среди которых 12 красного цвета. Из урны наудачу извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что извлеченные шары не красные. 7. В партии из 15 деталей имеется 3 стандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 2 стандартных. 8. В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколькими способами можно избрать трех юношей и двух девушек для участия в слете студентов? 3 вариант. 1. Вычислить: 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ;5)  ; 6)  .2. Сколькими способами можно составить список из шести человек? 3. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9? (Цифры в записи не повторяются.) 4. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора? 5. Каждая буква слова РАССТАНОВКА написана на разных карточках. Сколькими различными способами можно переставить эти буквы? 6. В ящике 100 деталей, из них 18 бракованных. Наудачу извлечены4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет бракованных. 7. На складе имеется 25 кинескопов, причем 15 из них изготовлены Минским заводом. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу кинескопов окажутся 4 кинескопа Минского завода. 8. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно наугад вынуть 3 шара, чтобы один шар оказался белыми, а два черным? |