ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1 (ТЕКСТ ЗАДАНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ). Практическая работа 1 элементы матричного анализа максимальная оценка 18 баллов
 Скачать 423.67 Kb.
|
|
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1 «ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО АНАЛИЗА» МАКСИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА – 18 БАЛЛОВ Практические задания составлены по десятивариантной системе. К выполнению каждого задания следует приступать только после изучения соответствующей литературы и разбора решения типовых задач. При этом следует руководствоваться следующими указаниями: 1. Работы следует выполнять в отдельном файле MS Word. На титульном листе должны быть указаны фамилия и инициалы студента, специальность, курс. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. При необходимости следует делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении данной задачи. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены либо в специальной программе, либо вручную на бумаге (отсканированы, сфотографированы), и вставлены в документ в виде рисунков. Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 3 – 4 см. 2. Студент определяет номер варианта задания по списку студентов группы, представленному деканатом на начало семестра. Например, студенту с фамилией Иванов по списку группы присвоен номер 9. Значит, студент должен выполнить вариант № 9 каждого задания . Если номер студента в списке группы превышает число 10, то вариант контрольной работы определяется последней цифрой номера. Например, № 13 – вариант 3, № 20 – вариант 10, № 27 – вариант 7. Практическая работа № 1 отсылается на проверку ведущему преподавателю до первой контрольной точки, Критерии оценивания Максимальная оценка за контрольную работу №1 – 18 баллов. Каждая задача оценивается в два балла. Оценка «2» ставится, если: • задача выполнено полностью; • в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; • в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала). Оценка «1» ставится, если: • выполнено правильно больше половины работы; • допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но студент владеет обязательными умениями по проверяемой теме. Оценка 0 баллов ставится, если: • допущены существенные ошибки во всех предлагаемых задачах, показавшие, что студент не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере; • работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно. Задание 1(экономический смысл матрицы) Матрица представляет собой упорядоченную систему информации, представленную в виде таблицы. Система информации о взаимных поставках продукции отраслей материального производства может быть представлена в виде матрицы. Пусть имеется отраслей производства. Определим квадратную матрицу размером , элементы которой обозначают объёмы поставок продукции из отрасли в -ю отрасль. Матрицей можно представить и систему информации о нормах материальных затрат для планирования снабжения предприятия. Если предприятие производит типов продукции, используя при этом видов сырья, то матрица размера определяет нормы материальных затрат. Так, - норма расхода -го вида сырья на производство единицы -го типа продукции. Предположим, что два различных предприятия одной отрасли производят одинаковые типы продукции , на которую расходуется видов сырья . В силу различной технологии нормы материальных затрат на предприятиях неодинаковы и описываются матрицами размера А и В соответственно. Пусть первое предприятие производит единиц продукции , - типа , … - типа . Второе, соответственно, единиц продукции. Задача 1. Определить матрицу полных материальных затрат в данной отрасли на производство продукции. Решение. Введём векторы – столбцы производства первого и второго предприятий: , Чтобы найти полные затраты первого предприятия по каждому виду сырья, нужно умножить матрицу норм материальных затрат А на столбец Х, АХ = С (порядок сомножителей определяется возможностью перемножения двух матриц и экономическим смыслом их произведения). Матрица-столбец С имеет размер . Экономический смысл каждого элемента (i = 1…n) – полные затраты сырья на всю продукцию, выпускаемую первым предприятием. Аналогично определяются полные затраты второго предприятия по каждому виду сырья: BY = D, где матрица- столбец D тоже имеет размер . Полные затраты сырья каждого вида по обоим предприятиям получаются суммированием матриц С и D: P = C+D. Экономический смысл каждого элемента (i = 1…n) – полные затраты сырья на всю продукцию, выпускаемую двумя предприятиями. В матричном виде P = AX+BY. Вариант1. Определить матрицу полных затрат, если в условиях задачи 1 , , , Пояснить экономический смысл. Вариант 2. Определить матрицу полных затрат, если в условиях задачи 1 , , , Пояснить экономический смысл. Вариант 3. Определить матрицу полных затрат, если в условиях задачи 1 , , , Пояснить экономический смысл. Вариант 4. Два предприятия выпускают 3 вида мебельных гарнитуров, расходуя при этом 4 вида сырья: фанеру, пластмассу, ткань, древесину. Нормы материальных затрат для каждого предприятия заданы матрицами А и В. Первое предприятие выпустило 100 гарнитуров 1-го типа, 100 гарнитуров 2-го типа, 0 гарнитуров 3-го типа. Второе предприятие выпустило, соответственно, 300, 200, 100 гарнитуров. Найти матрицу полных затрат, если , Вариант 5. Используя условие предыдущей задачи, найти матрицу материальных затрат, если , Вариант 6. Два предприятия выпускают 3 типа мебельных гарнитуров, расходуя при этом 4 вида сырья: фанеру, пластмассу, ткань, древесину. Нормы материальных затрат заданы для каждого предприятия матрицами А и В. Первое предприятие выпустило 120 гарнитуров 1-го типа, 0 гарнитуров 2-го типа, 210 гарнитуров 3-го типа. Второе предприятие выпустило, соответственно, 400, 200, 300 гарнитуров. Найти матрицу полных затрат, если , Вариант 7. Используя условие предыдущей задачи, найти матрицу материальных затрат, если , Задача 2. В городе имеются ателье индивидуального пошива женского лёгкого платья первого, второго и третьего разрядов. Каждое ателье изготавливает 4 вида изделий: юбки, платья, блузки, брюки . Ателье s разряда за изготовление изделия i вида получает рублей. Матрица расценок , s = 1,2,3,4; i = 1,2,3,4. Существует единый поквартальный план пошива для ателье всех разрядов, который задаётся матрицей , i,j = 1,2,3,4, где - количество изделий i вида, которое каждое ателье должно изготовить в j квартале. Требуется определить матрицу Т поквартальной выручки ателье каждого разряда. Решение. Пусть - выручка ателье s-разряда в j- квартале s=1,2,3,4; j=1,2,3,4 – элементы матрицы Т. Тогда , где каждое слагаемое определяет квартальную выручку ателье от изделий соответствующего вида. По правилу умножения матриц можем записать в матричном виде: T = DP, т. е. матрица поквартальной выручки определяется как произведение матрицы расценок D на матрицу поквартального плана Р. Ответ: T=DP. Вариант 8. Найти матрицу поквартальной выручки ателье, если матрица расценок , - матрица поквартального плана. Провести анализ результатов. Вариант 9. Найти матрицу поквартальной выручки ателье, если матрица расценок , -матрица поквартального плана. Провести анализ результатов. Вариант 10. Найти матрицу поквартальной выручки ателье, если матрица расценок , - матрица поквартального плана. Провести анализ результатов. Задача 2. Модель межотраслевого баланса. В таблице 1 приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей на плановый период, усл. Ед. • Таблица 1 Отрасль Потребление Конечный продукт Промышленность Сельское хозяйство Производство Промышленность a b t Сельское хозяйство c d f Найти: А)плановые объемы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую прибыль отраслей; В)необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление продукции сельского хозяйства увеличится на k%, а промышленности на l%. Данные по вариантам представлены в таблице 2. • Таблица 2 Вариант a b c d t f k l 0 0,4 0,25 0,5 0,4 300 200 30 40 1 0,3 0,5 0,5 0,3 200 300 20 30 2 0,5 0,3 0,4 0,5 400 200 30 60 3 0,4 0,4 0,3 0,4 300 400 40 50 4 0,6 0,25 0,4 0,3 400 300 40 40 5 0,3 0,35 0,6 0,5 500 300 30 30 6 0,5 0,45 0,5 0,4 500 400 20 40 7 0,5 0,3 0,3 0,3 300 100 30 40 8 0,6 0,4 0,3 0,5 200 400 40 60 9 0,6 0,25 0,5 0,4 300 300 40 30 10 0,4 0,3 0,5 0,5 400 600 50 40 Решение. Пусть коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей на плановый период, усл. ед. имеют следующие значения (см. табл). Таблица 3 Отрасль Потребление Конечный продукт Промышленность Сельское хозяйство Производство Промышленность 0,4 0,25 300 Сельское хозяйство 0,5 0,4 200 А) Найдем плановые объемы валовой продукции отраслей = 2 1 x x X , зная, что задана матрица = 4 , 0 5 , 0 25 , 0 4 , 0 A прямых затрат и вектор конечного продукта = 200 300 Y Используем основную формулу межотраслевого баланса ( ) Y A E 1 X − − = Обратная матрица к матрице − − = 6 , 0 5 , 0 25 , 0 6 , 0 A - E имеет вид ( ) = = − = − 936 , 1148 723 , 978 200 300 553 , 2 128 , 2 064 , 1 553 , 2 X 1 Y A E Таким образом, плановый объем валовой продукции отраслей равен х 1 =978,723 (промышленность), х 2 =1148,936 (сельское хозяйство). Найдем межотраслевые поставки. Коэффициент прямых затрат определяется как объем ресурса i, необходимый для производства единицы продукции j, т.е. 3 , 2 , 1 , , = = j i x x a j ij ij Отсюда можно найти 3 , 2 , 1 , , = = j i x a x j ij ij Получаем: 489 , 391 723 , 978 4 , 0 1 11 11 = = = x a x ; 362 , 489 723 , 978 5 , 0 1 21 21 = = = x a x ; 234 , 287 936 , 1148 25 , 0 2 12 12 = = = x a x ; 574 , 459 936 , 1148 4 , 0 2 22 22 = = = x a x Получаем таблицу 4. Таблица 4 Отрасль Потребление Конечный продукт Промышленность Сельское хозяйство Производство Промышленность 391,489 287,234 300 Сельское хозяйство 489,362 459,574 200 Найдем условно чистую продукцию отраслей из формулы j j j j z x x x + + = 2 1 , откуда 2 , 1 ), ( 2 1 = + − = j x x x z j j j j Получим: , 872 , 97 ) ( 21 11 1 1 = + − = x x x z 128 , 402 ) ( 22 12 2 2 = + − = x x x z В)Найдем необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление продукции сельского хозяйства увеличится на 30%, а промышленности на 40%, то есть новый вектор конечной продукции примет вид: = = 280 390 4 , 1 200 3 , 1 300 Y Тогда валовый выпуск будет равен: ( ) = = − = − 681 , 1544 617 , 1293 280 390 553 , 2 128 , 2 064 , 1 553 , 2 X 1 Y A E Новый валовый выпуск для промышленности: 1293,617, для сельского хозяйства: 1544,681. Задание 3. Предприятие за три дня произвело продукцию трех видов. Известны объемы выпуска продукции за три дня, которые приведены в таблице. Денежные затраты на производство в первый, второй и третий дни составили соответственно A, B и C тысячи условных единиц. Найти себестоимость продукции каждого вида. N – номер варианта День / вид продукции Объем выпуска продукции (единиц) Денежные затраты I II III Первый 1 3 7 А Второй 5 6 8 В Третий 4 5 3 С вариант А В С 1 45 63 34 2 26 40 22 3 24 48 36 4 23 37 23 5 19 50 37 6 21 51 38 7 35 49 26 8 34 53 29 9 31 56 35 10 18 45 33 Математическую модель задачи решить по формулам Крамера Решение. Пусть денежные затраты на производство первой продукции составляют 30 тыс. руб., второй – 40 тыс. руб., третьей –15 тыс. руб . День Объем выпуска продукции (единиц) Первый 10 23 4 Второй 24 3 5 Третий 9 26 2 Построение математической модели. Обозначим через х 1 ,х 2 ,х 3 искомую себестоимость продукции каждого вида. Тогда получаем системы линейных уравнений с тремя неизвестными: = + + = + + = + + 15 2 26 9 40 5 3 24 30 4 23 10 3 2 1 3 2 1 3 2 1 х х х х х х х х х Задание 4. Математическую модель задачи 3 решить методом обратной матрицы. Задание 5. Математическую модель задачи 3 решить методом Гаусса. Задание 6. Известно, что за один рубль можно купить 0,37(4m-0,91) условных единиц первой валюты, 0,54(0,3m+2,18) условных единиц второй валюты и 0,78N+0,51 условных едини третьей валюта. Составить таблицу обменных курсов валют N – номер варианта + + = 9 N нечтное, - еслиN 1, - N 8 N четное, - N если N, 9 N нечетное, - N если , 2 2 8 N четное, - N если , 2 10 N N m Решение. Каждый столбец в таблице обменных курсов валют выражает курсовую стоимость единицы соответствующего вида валюты. Любые два столбца и любые две строки этой таблицы пропорциональны, т. есть любые веторы- столбцы и любые векторы-строки коллинеарны. Пусть известно, что за один фунт стерлингов можно купить 2 доллара 31 цент или 1 франк 72 сантима. Первый вектор-столбец имеет вид 31 , 2 72 , 1 1 . Обозначим неизвестные координаты второго вектора-столбца через y 1 и y 3 . Получаем вектор-столбец с координатами 3 1 1 y y . Так как первый и второй столбцы пропорциональны, то неизвестные координаты найдем из пропорции 3 1 31 , 2 1 72 , 1 y 1 y = = , т.е. y 1 =0,58, y 2 =1,34. Т. е за один доллар можно купить 0,58 фунтов стерлингов и 1 доллар и 34 цента. Аналогично рассуждая, строим таблицу обменных курсов для трех валют Задание 7. Предприятие выпускает 4 вида продукции Р 1 ,Р 2 ,Р 3 ,Р 4 в количествах 160N-120, 80N+70, 2400-10N, 15(28N-12) единиц. При этом нормы расхода сырья составляют соответственно 0,5N; 3,5N-3,4; 0,4N+0,7; 6,9N-5,8 кг. Определить суммарный расход сырья и его изменение при изменениях выпуска продукции Р 1 ,Р 2 ,Р 3 ,Р 4 соответственно на 8-N, N-5, 2N-9, 15-3N единиц. Задание 8. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются уравнениями y=15(3N+4)+4Nx и y=12(3N+5)+7Nx, где х – расстояние в сотнях километров, y – транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен первый вид транспорта. Задание 9. Изменение объема производства y линейно зависит от производительности труда х. Составить уравнение этой зависимости, если при x=7N-4 y=21N-10, при x=5N+2 y=40N-6. |