1-пр.АБН. Практическая работа. Математическое описание дискретных сигналов
 Скачать 177.6 Kb.
|
|
1-практическая работа. Математическое описание дискретных сигналов В этом разделе мы рассмотрим основные методы исследования устойчивости нелинейных систем, которые существенно отличаются от способов анализа линейных систем. В первую очередь, это связано с тем, что свойство устойчивости нелинейной системы зависит от начальных условий и внешних воздействий: при одних входных сигналах система будет устойчивой, а при других она становится неустойчивой. Следовательно, для их анализа нельзя применять разработанные в линейной теории критерии устойчивости. Устойчивость нелинейной системы автоматического управления означает, что малые изменения входного сигнала или возмущений, начальных условий или параметров объекта не выведут выходную переменную за пределы достаточно малой окрестности точки равновесия или предельного цикла. Поскольку для нелинейной системы могут существовать несколько положений равновесия, анализировать устойчивость следует в окрестности каждого из них. Проблема устойчивости нелинейных систем имеет сравнительно давнюю и очень интересную историю развития. Следует отметить, что основная тематика исследований формировалась вокруг идей русского ученого A.M. Ляпунова [1], которые в дальнейшем были развиты в работах [2-5]. Однако способы анализа устойчивости нелинейных систем дают, как правило, достаточные условия, поэтому для них невозможно ввести понятие запаса устойчивости, применяемое в линейном случае. ПРИМЕРЫ Пример 1.1 По линейному приближению оценить устойчивость относительно одного из положений равновесия системы, математическая модель которой имеет вид  Запишем уравнения равновесия системы  откуда определим одну из точек равновесия:  . В ее малой окрестности линеаризуем исходную систему которая принимает вид  Матрица линеаризованной системы следующая:  .Запишем для нее характеристическое уравнение  .Как видим, линеаризованная система неустойчива, следовательно, исходная система также неустойчива. Пример 1.2 С помощью второго метода Ляпунова оценить устойчивость системы, поведение которой описывают следующие уравнения:  Полагаем  и рассмотрим автономную систему Выберем для нее в качестве функции Ляпунова следующую функцию:  , .Определим теперь полную производную функции Ляпунова вдоль траектории движения автономной системы  .Полная производная функции Ляпунова не является отрицательно определенной функцией, поскольку обращается в нуль не только в начале координат пространства состояний, но и на всей оси  . Это означает, что не выполняются условия ни одной из приведенных теорем. Следовательно, об устойчивости положения равновесия системы сказать ничего нельзя, функция Ляпунова выбрана неудачно.Попробуем оценить устойчивость системы с помощью новой функции  .для которой определим полную производную  .В это выражение вместо производных переменных состояния подставим правые части уравнений автономной системы:  .Как видим, полная производная новой функции Ляпунова есть отрицательно определенная функция. Следовательно, исходная система является асимптотически устойчивой. Пример 1.3 Определить устойчивость замкнутой системы вторым методом Ляпунова, если известна ее модель в виде передаточной функции  .Запишем соответствующее ей дифференциальное уравнение  ,которое представим в переменных состояния:  Матрица А для системы имеет вид  .Выберем в качестве матрицы С отрицательную единичную диагональную матрицу и запишем матричное уравнение Ляпунова  ,где В - матрица функции Ляпунова, коэффициенты которой связаны соотношениями  Пример 1.4 Проверить устойчивость системы, поведение которой описывает уравнение  .Функция  однозначная, поэтому введем новую переменную ,для которой запишем дифференциальное уравнение  ,где  .Выбирая в качестве функции Ляпунова квадратичную форму  , получим ее полную производную в виде  . Оценим знак функции .Эта функция отрицательная во всем диапазоне изменения х. Следовательно, система асимптотически устойчива. Пример 1.5 Определить, является ли система абсолютно устойчивой, если нелинейный элемент представляет собой усилитель с ограничением (рис.1.1).  Рис.1.1. Статическая нелинейная характеристика Уровень ограничения С=0.2; передаточная функция линейной части следующая:  .Как видим, нелинейная характеристика однозначная и удовлетворяет условию  . Ее можно ограничить прямой  , где  .В соответствии с процедурой проверки устойчивости запишем характеристическое уравнение линейной части системы  .Очевидно, что сомножители А(р) имеют корни с отрицательной вещественной частью, поэтому определим выражение для ее частотной характеристики  .Запишем теперь выражение для вещественной и мнимой частей видоизмененной частотной характеристики  Значения  и  для некоторых w представлены в нижеприведенной таблице.
На рис.1.1 приведена видоизмененная частотная характеристика, где отмечена точка  . Рис.1.2. Видоизмененная частотная характеристика Очевидно, что через эту точку можно провести прямую (и не одну) так, что левее нее будет располагаться характеристика  .Таким образом, система с нелинейной характеристикой (рис.1.2) будет абсолютно устойчива. ЗАДАЧИ 1.1. Определить устойчивость по линейному приближению относительно всех точек равновесия системы  1.2. Определить устойчивость по линейному приближению относительно всех точек равновесия системы  1.3. Определить устойчивость по линейному приближению относительно одного из состояний равновесия:  1.4. Определить устойчивость по линейному приближению относительно одного из состояний равновесия при u=1  1.5. Определить устойчивость по линейному приближению относительно всех точек равновесия системы при u=2  1.6. Определить устойчивость системы, уравнения состояния которой имеют вид:  с помощью следующей функции Ляпунова  1.7. Определить устойчивость системы, уравнения состояния которой имеют вид:  с помощью следующей функции Ляпунова:  , где  .1.8. Определить устойчивость замкнутой системы вторым методом Ляпунова, если известна передаточная функция разомкнутой системы  .1.9. С помощью функции Ляпунова  исследовать устойчивость системы, структурная схема которой приведена на рис.1.3. Рис. 1.3. Структурная схема системы к задаче 1.9 1.10. Решая матричное уравнение Ляпунова, проверить устойчивость системы, математическая модель которой имеет вид  .1.11. Решая матричное уравнение Ляпунова, проверить устойчивость системы, математическая модель которой имеет вид  .1.12. Вторым методом Ляпунова проверить устойчивость системы (рис.1.4), если  и  . Рис. 1.4. Структурная схема замкнутой системы к задаче 1.12 1.13. Вторым методом Ляпунова проверить устойчивость системы (рис.1.5), если  и  .1.14. Вторым методом Ляпунова определить устойчивость системы, уравнения которой имеют вид:  1.15. Вторым методом Ляпунова определить устойчивость системы, уравнения которой имеют вид:  1.16. С помощью функции Ляпунова  проверить устойчивость системы, математическая модель которой имеет вид:  1.17. Определить устойчивость системы, структурная схема которой представлена на рис. 1.5.  Рис. 1.5. Структурная схема системы к задаче 1.17 1.18. Проверить условие абсолютной устойчивости системы (рис.1.6) с однозначной нелинейной характеристикой u=f(), 0<f()<3, если  . Рис. 1.6. Структурная схема нелинейной системы к задаче 1.18 1.19. Проверить условие абсолютной устойчивости системы (рис.1.7) с однозначной нелинейной характеристикой u=f(), 0<f()<0,5, если  .1.20. Проверить условие абсолютной устойчивости системы (рис.1.6), если  , а однозначная нелинейная характеристика при C=5 имеет вид, изображённый на рис.1.7. Рис. 1.7. Статическая нелинейная характеристика к задаче 1.20 1.21. Проверить условие абсолютной устойчивости системы (см. рис.1.6), если  , а однозначная нелинейная характеристика при С=10, b=2 имеет вид, изображённый на рис.1.8. Рис. 1.8. Статическая нелинейная характеристика к задачам 1.21 и 1.22 1.22. Проверить условие абсолютной устойчивости системы (рис.1.6), если  , а однозначная нелинейная характеристика при С=2, b=0,5 имеет вид, изображённый на рис.1.8.1.23. Проверить условие абсолютной устойчивости системы (см. рис.1.6), если  , а однозначная нелинейная характеристика С=3 имеет вид, изображённый на рис.1.9, где С=3, b=0,5. Рис.1.9. Статическая нелинейная характеристика к задаче 1.23 |
