|
11.05.2023.Пр.р.15.Вычисление интервальной оценки, доверительног. Практическая работа в форме практической подготовки 15
Здравствуйте, ребята. Вот тема на сегодня.
Практическая работа в форме практической подготовки №15. Вычисление интервальной оценки, доверительного интервала, уровня значимости, доверительной вероятности.
Напишите конспект.
Для изучения генеральной совокупности объёма из неё производится выборка, состоящая из элементов, которая хорошо характеризует всю совокупность. И на основании исследования этой выборочной совокупности с высокой достоверностью можем оценить генеральные характеристики. Чаще всего требуется выявить закон распределения генеральной совокупности и оценить его числовые параметры, такие как генеральная средняя , генеральная дисперсия и среднее квадратическое отклонение .
Для оценки этих параметров нужно вычислить соответствующие выборочные значения. Так, выборочная средняя позволяет нам оценить генеральную среднюю . Несмещённой точечной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия , и стандартного отклонения – исправленное стандартное отклонение .
Справка: – греческая буква «тета», – греческая буква «дельта».
Значение называется точностью оценки, и можно записать с помощью модуля:
Обозначение: точность оценки также обозначают через («эпсилон»).
Но статистические методы не позволяют 100%-но утверждать, что рассчитанное значение будет удовлетворять этому неравенству – ведь в статистике всегда есть место случайности. Таким образом, можно говорить лишь о вероятности , с которой это неравенство осуществится: .
Теперь раскроем модуль:
Интервал называется доверительным интервалом и представляет собой интервальную оценку генерального значения по найденному выборочному значению . Данный интервал с вероятностью «накрывает» истинное значение . Эта вероятность называется доверительной вероятностью или надёжностью интервальной оценки
Надёжность «гамма» часто задаётся наперёд, популярные варианты
Пример 1
Известно, что генеральная совокупность распределена нормально со средним квадратическим отклонением . Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью 0,95, если выборочная средняя , а объем выборки .
здесь известно стандартное отклонение генеральной совокупности.
– из генеральной совокупности попугаев проведена выборка в особей и по её результатам найдена выборочная средняя: .
Выборочная средняя – это точечная оценка неизвестной нам генеральной средней Недостаток точечной оценки состоит в том, что она может оказаться далёкой от истины. И по условию, требуется найти интервал , которой с вероятностью накроет истинное значение . Здесь будет неверным сказать, что попадёт в этот интервал.
Точность оценки рассчитывается по формуле , где – коэффициент доверия. Этот коэффициент отыскивается из соотношения , где – функция Лапласа.
В данном случае , следовательно:
И по таблице значений функции Лапласа либо пользуясь расчётным макетом, выясняем, что значению соответствует аргумент .
Таким образом, точность оценки:
и искомый доверительный интервал:
Этот интервал с вероятностью (надёжностью) накрывает истинное генеральное значение . Но всё же остаётся 5%-ная вероятность, что генеральная средняя окажется вне найденного интервала.
Ответ: .
Пример 2
В результате 10 независимых измерений некоторой величины , выполненных с одинаковой точностью, полученные опытные данные, которые представлены в таблице:
Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение величины при помощи доверительного интервала, покрывающего это значение с доверительной вероятностью 0,95.
Решение следует начать с вычисления выборочных характеристик: и . По условию, требуется оценить генеральную совокупность (а именно, параметр ), и поэтому дисперсию нужно обязательно поправить:
– несмещённая оценка неизвестной генеральной дисперсии . И нас будет интересовать несмещённая оценка генерального стандартного отклонения :
– исправленное среднее квадратическое отклонение.
Теперь построим доверительный интервал для оценки истинного (генерального) значения величины .
Если генеральное стандартное отклонение не известно
, то этот интервал строится по похожей формуле:
, с той поправкой, что коэффициент доверия рассчитывается с помощью распределения Стьюдента.
Вычислим точность оценки:
Таким образом, искомый доверительный интервал:
– данный интервал с вероятностью накрывает истинное значение измеряемой величины .
Ответ:
Пример 3
По равноточным измерениям найдено исправленное среднее квадратическое отклонение . Предполагая, что результаты измерений распределены нормально, построить доверительный интервал для оценки истинного значения (генерального стандартного отклонения) с надёжностью .
Решение: Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии нормально распределённой генеральной совокупности определяется следующим образом:
, где – распределение «хи-квадрат», а , – его критические значения, вычисленные для ,
Данный интервал с вероятностью (надёжностью) накрывает истинное значение . И если из всех частей неравенства извлечь корни, то получим соответствующий интервал для оценки генерального стандартного отклонения:
Значения известны, и вычислим:
и теперь, по таблице критических значений распределения находим:
Получены различные значения, и наш доверительный интервал будет асимметричным (ввиду асимметрии распределения «хи-квадрат»):
– не забываем извлечь корни из знаменателей!
– таким образом, с вероятностью можно утверждать, что данный интервал накроет генеральное стандартное отклонение .
Ответ: 1) , 2) .
Пример 4
В результате обработки экспериментальных данных объёма мы получили следующие выборочные характеристики: .
В предположении о нормальном распределении генеральной совокупности, с надёжностью определить доверительные интервалы:
1) для оценки неизвестной генеральной средней ;
2) для оценки генерального среднего квадратического отклонения двумя способами – с помощью распределения хи-квадрат: и приближённо, по формуле , где .
И заметьте, что здесь «плакал» лёгкий способ построения интервала , так как в стандартной таблице отсутствуют значения для .
Решение: вычислим исправленное среднеквадратическое отклонение:
1) Определим доверительный интервал , где . Для уровня доверительной вероятности и объёма выборки по соответствующей таблице найдём . Вычислим точность оценки:
Таким образом:
– с вероятностью данный интервал накроет генеральное среднее значение .
2) Найдём доверительный интервал для генерального стандартного отклонения .
а) С помощью распределения :
Вычислим и с помощью соответствующей функции Экселя найдём:
Таким образом:
– искомый интервал, накрывающий генеральное значение с вероятностью .
б) Дадим интервальную оценку приближенно, с помощью формулы:
Коэффициент доверия найдём из соотношения . В данном случае:
, и с помощью таблицы , выясняем, что . Таким образом:
– искомый интервал.
Ответ: 1) , 2) с помощью распределения и приближённо. Задание на дом.
По результатам выборочного исследования объектов найдена выборочная средняя .
1) С какой вероятностью можно утверждать, что генеральная средняя отличается от найденного значения менее чем на 3, если известно, что генеральная совокупность распределения нормально с дисперсией 400?
2) Определить доверительный интервал, который с надежностью накроет истинное значение генеральной средней. |
|
|