панков практикум. Панков Практикум по АСП 21.05 (1). Практикум по дисциплине анализ случайных процессов Версия от 11. 05. 2021 Учебное пособие для обучающихся в бакалавриате по направлении

• Название: Практикум по дисциплине анализ случайных процессов Версия от 11. 05. 2021 Учебное пособие для обучающихся в бакалавриате по направлении
• Анкор: панков практикум
• Дата: 06.04.2022
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: Панков Практикум по АСП 21.05 (1).pdf
• Тип: Практикум; #449321
• страница: 1 из 4

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ
И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования
Московский технический университет связи и информатики
К.Н. Панков
ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ»
Версия от 11.05.2021
Учебное пособие для обучающихся в бакалавриате по направлении.
11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи
Москва 2021

2
Панков К.Н. Практикум по дисциплине «Анализ случайных процессов».
Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2021. - 91 с.
Данное учебное пособие предназначено для использования на практических занятиях по курсу «Анализ случайных процессов». Его цель – помочь студентам, овладевшим основами теории вероятностей, познакомиться с основными понятиями теории случайных процессов и овладеть методами решения задач, связанных с дискретными цепями Маркова, корреляционной теорией случайных процессов, случайными потоками и основами теории массового обслуживания.
Учебное пособие ориентировано на обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи.
Ил. __, табл. __, список лит.__ назв.
Издание утверждено Методическим советом университета в качестве учебного пособия. Протокол No __от __.__.____г.
Рецензенты:
© Московский технический университет связи и информатики, 2021

3
Раздел № 1 Основные понятия. Стационарные процессы
1.1
Пусть случайная величина  равномерно распределена на отрезке [-1;1].
Чему равна вероятность события «Траектория процесса t образует с положительной полуосью Ох острый угол больше 60»?
1.2
Пусть случайная величина  равномерно распределена на отрезке [-1;1].
Чему равна вероятность события «Траектория процесса t образует с положительной полуосью Ох угол по модулю меньше 60»?
1.3
Пусть случайная величина  равномерно распределена на отрезке [-1;1].
Чему равна вероятность события «Траектория процесса t образует с положительной полуосью Ох угол по модулю меньше 30»?
1.4
Пусть случайная величина  равномерно распределена на отрезке [-1;1].
Чему равна вероятность события «Траектория процесса t образует с положительной полуосью Ох угол по модулю больше 30»?
1.5
Пусть случайная величина
 имеет стандартное нормальное распределение. Чему равно математическое ожидание случайного процесса

a t
b

, где
,
a b
- действительные числа?
1.6
Пусть случайные величины  и  независимы и имеют функции распределения
F

(x) и
F

(y) соответственно.
Найти конечномерные распределения (до порядка 3 включительно) случайного процесса  (t)= t+.
1.7
Пусть случайные величины  и  независимы и имеют распределения:  – равномерное на [-1; 0] и  – равномерное на [0; 1]. Описать траектории случайного процесса (t)= t+.
1.8
Пусть случайные величины  и  независимы и имеют плотности распределения р

(x) и р

(y) соответственно. Для процесса (t)= t+ (1–t) найти плотность
1 2
( ( ), ( ))
1 2
( , )
t
t
p
z z


1.9
Пусть  и  независимы и имеют распределения:  – равномерное на отрезке [-1,0] и  – равномерное на отрезке [0,1]. Описать траектории случайного процесса (t)= t+.
1.10 Рассматривается случайная функция
2
( )
2
X t
Ut


, где
U
– случайная величина, распределенная по нормальному закону
(2; 4)
N
. Найти функцию распределения сечения этой функции
 
t
F x , математическое ожидание
( ),
X
m
t
дисперсию D ( ),
( )
X
X
t
t

и корреляционную функцию
1 2
( , )
X
K
t t
Решение. Согласно определению функции распределения случайной величины

4
 
 




2 2
( )
2 2
P
,
0
P
( )
P
2 0,
2,
0 1,
2,
0 2
,
0 0,
2,
0 1,
2,
0
t
X t
U
x
U
t
t
F x
F
x
X t
x
Ut
x
x
t
x
t
x
F
t
t
x
t
x
t
















 
























 










Далее рассмотрим случай, когда
0
t 
. Так как
(2; 4)
U
N

,то
 
 


2 2
2 2
8 2
2 1
8
x
y
z
t
U
U
U
x
F
F
y
p
z dz
e
dz
t


















По определению
 


2 2
( )
E
E
2
E
2
X
m t
X t
Ut
t
U





,
 


2 4
D ( )
D
D
2
D
X
t
X t
Ut
t
U




,
 
2
( )
D
D
X
t
X t
t
U



,


 
 


 
 


1 2
1 1
2 2
,
E
X
X
X
K
t t
X t
m
t
X t
m
t







2 2
2 2
2 2 1
1 2
2 1 2
E
2
E
2 2
E
2
D
Ut
t
U
Ut
t
U
t t
U

 

 


Параметры нормального распределения являются его основными числовыми характеристиками (
E
2
U 
,
D
4
U 
). Следовательно,
2
( )
2 2
X
m t
t


,
4
D ( )
4
X
t
t

,
2
( )
2
X
t
t


,


2 2 1
2 1 2
,
4
X
K
t t
t t

1.11 Рассматривается случайная функция
0
( )
cos(
)

X t
U
t

, где
U
случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону
E (1 / )

x
,
0

- константа. Найти математическое ожидание
( ),
X
m
t
дисперсию D ( )
X
t
и корреляционную функцию
1 2
( , )
X
K
t t
1.12 Рассматривается случайная функция
( )
exp(
)

X t
U
t

 , где
U
случ. велич., распределенная по экспоненциальному закону
E ( )

x
. Найти плотность распределения сечения, математическое ожидание
( ),
X
m
t
дисперсию
D ( ),
( )

X
X
t
t
и корреляционную функцию
1 2
( , )
X
K
t t
1.13 Рассматривается случайная функция
2
( )
2 2
X t
Ut
t


, где
U
– случайная величина, распределенная по равномерному закону
( 1; 3)
R 
. Найти плотность распределения сечения, математическое ожидание
( ),
X
m
t
дисперсию
D ( ),
( )

X
X
t
t
и корреляционную функцию
1 2
( , )
X
K
t t
1.14 Рассматривается случайная функция
3
( )
1
X t
Ut
t

  , где
U
– случайная величина, распределенная по закону
R(0, 4) . Найти закон распределения

5
сечения этой случайной функции
 
t
F x , ее математическое ожидание
( ),
X
m
t
дисперсию D ( ),
( )

X
X
t
t
и корреляционную функцию
1 2
( , )
X
K
t t
1.15 Рассматривается случайная функция
( )
cos(3 2)
X t
U
t


, где
U
– случайная величина, распределенная по равномерному закону
( 2; 7)
R 
. Найти плотность распределения сечения, математическое ожидание
( ),
X
m
t
дисперсию
D ( ),
( )

X
X
t
t
и корреляционную функцию
1 2
( , )
X
K
t t
9.1.
1.16 Рассматривается случайная функция
( )
X t
Ut
b

 , где
U
— случайная величина, распределенная по нормальному закону
2
( ;
)
N a

, b — неслучайная величина. Найти плотность распределения сечения этой случайной функции, математическое ожидание
( ),
X
m
t
дисперсию D ( ),
( )

X
X
t
t
и корреляционную функцию
1 2
( , )
X
K
t t
1.17 Найти математическое ожидание m
X
(t), корреляционную функцию К
X
(t
1
,t
2
), дисперсию D
X
(t) случайного процесса Х(t). U, V  некоррелированные случайные величины для случаев a.
Х(t) = t
2
U + V cost  sint. U

N(3; 2), V Exp(0.5). b.
Х(t) = t U – 3е
3t
V + cost. U R[0; 6], V Bi(10; 0.5). c.
Х(t) = e
t
U – V cht + 3. U Π(0.2), V R[–2; 2]. d.
Х(t) = U sint  V t + t
5
. U N(1; 2), V Π(2). e.
Х(t) = t
3
U
– V cos t – 2. U R[–1; 3], V Exp(0.4). f.
Х(t) = 3 U sht – е
3t
V + cost. U Exp(0.25), V R[2; 4]. g.
Х(t) = 3 + U sin2t – 4t V. U Bi(10; 0.3), V Π(3). h.
Х(t) = U cos3t – V sint – t. U R[–3; 1], V N(–1; 0.5). i.
Х(t) = t
2
U – V cht + t
2
. U Exp(0.1), V Bi(20; 0.2). j.
Х(t) = е
t
U  V sint + t. U N(–2; 2), V Exp(4). k.
Х(t) = е
3t
U – V t + 2t. U R[–3; 3], V Bi(10; 0.6). l.
Х(t) = 3Usint – V е
t
– е
t
. U Π(4), V R[1; 3]. m.
Х(t) = t
2
– е
2t
U – V t. U N(–1; 0.7), V Exp(0.5). n.
Х(t) = t U – V sin2t + 4t
2
. U R[3; 6], V N(2; 3). o.
X(t) = U cos3t – V t
2
+ 3. U Π(5), V R[–3; 5]. p.
Х(t) = 5t + 3t
2
U – V е
2t
. U N(–2; 1.5), V Exp(0.2). q.
Х(t) = 5 + U sint – V t
2
. U Bi(10; 0.1), V N(3; 0.3). r.
Х(t) = t
2
U – V cht + t. U Π(2), V R[–2; 4]. s.
Х(t) = t + U sh2t – 2t V. U N(–1; 2), V Exp(1/3). t.
Х(t) = t U – V sint + cost. U R[–2; 2], V Bi(20; 0.4). u.
Х(t) = е
–t
+ U cost – V t. U Exp(1/4), V R[–5; –1]. v.
Х(t) = –t  U cht + V cost. U N(5; 2), V Π(3). w.
Х(t) = t
2
U – V t – е
3t
. U R[3; 6], V Bi(20; 0.5). x.
Х(t) = 3sint + 2U sht – V е
t
. U Exp(2), V R[–1; 5]. y.
Х(t) = U cos2t  V t – 4t. U Π(2), V N(3; 0.3)
1.18 Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса X(t), зависящего от Y и Z где Y и Z –

6
случайные величины, характеризуемые следующими числовыми характеристиками: a.
X(t) = Ysin2t + Zcost, EY=2, EZ = 1, DY = 0.1, DZ = 0.004, корреляция между случайными величинами Y и Z равна 0; b.
Ycost + Zsint + 5t, EY=1, EZ = 0.2, DY = 0.1, DZ = 0.05, корреляция между случайными величинами Y и Z равна 0; c.
Yt – Zt
2
, EY=3, EZ = 0.5, DY = 0.1, DZ = 0.05, корреляция между случайными величинами Y и Z равна 0; d.
t–3cost+Y(t + cost)+Zcos2t, EY=0, EZ = 0, DY = 1, DZ = 2, корреляция между случайными величинами Y и Z равна 0; e.
Ye
-t
+ Ze
t
, EY=2, EZ = -2, DY = 1, DZ = 1, корреляция между случайными величинами Y и Z равна 0; f.
Ye
-t
+ Zsint, EY=1, EZ = 2, DY = 1, DZ = 1, корреляция между случайными величинами Y и Z равна 0.
Решение. a. В рассматриваемом случайном процессе множители sin2t и cost
не являются случайными величинами.
Поэтому при определении математического ожидания процесса
Х(t) они выносятся за знак математического ожидания случайных величин Y и Z. Математическое же ожидание суммы равно сумме математических ожиданий составляющих случайного процесса:
E[X(t)] =
)
(t
x
= sin2tE[Y]+ costE[Z].
Подставляя в последнее выражение числовые значения E[Y] и E[Z], получим
( )
X
m
t 
2sin2t + cost.
Поскольку случайные величины Y и Z некоррелированы, корреляционная функция процесса X(t) равна сумме корреляционных функций его составляющих. При этом коэффициенты (неслучайные процессы) выносятся за знак корреляционных функций случайных величин Y и Z в виде произведения неслучайных процессов в двух сечениях по времени t
1
и t
2
. Учитывая также, что
К
Y
(t
1
, t
2
)=D
Y
и K
Z
(t
1
, t
2
)=D
Z
, будем иметь
KX(t1, t2)=sin2t1sin2t2DY + cost1cost2DZ.
Подставляя числовые значения для DY и DZ, получим
K
XX
(t
1
, t
2
)=0.1sin2t
1
sin2t
2
+ 0.05cost
1
cost
2
Дисперсия случайного процесса X(t) определится как D
X
(t)=K
X
(t
1
, t
2
) при t
1
=t
2
=t:
D
X
(t) = 0.1sin
2 2t + 0.05cos
2
t.
1.19 Найти математическое ожидание и корреляционную функцию суммы двух некоррелированных случайных функций X(t) и Y(t) с характеристиками
( )
,
X
m
t
t

1 2
1 2
( , )
,
X
K
t t
t t

( )
,
Y
m t
t
 


1 2
1 2
1 2
( , )
,
t
t
Y
K
t t
t t e



1.20 Пусть k
X
(τ)  корреляционная функция стационарного случайного процесса X(t). Найти его спектральную плотность в следующих случаях: a. k
X
(τ) = (cosτ+sin|τ|) exp(|τ|). b. k
X
(τ)= 5(sin2τ)/τ. c. k
X
(τ) = 4(1+2|τ|) exp(2|τ|). d. k
X
(τ)= 81exp(9τ
2
). i. k
X
(τ) = 16 cos2τ exp(|τ|) . f. k
X
(τ)= 64exp(4|τ|). g. k
X
(τ) = 4exp(τ
2
). h. k
X
(τ)= 3(cos2τ sinτ)/τ.

7
i. k
X
(τ) = 3(sin4τ)/ (4τ). j. k
X
(τ)= 18/(9+τ
2
)
2
k. k
X
(τ)=








2
при
0
,
2
при
2 1



l. k
X
(τ)=








5
при
0
,
5
при
5 1



m. k
X
(τ) = 8/(8+2τ
2
)
2 n. k
X
(τ)= 32exp(16 τ
2
). o. k
X
(τ) = 27exp(|τ|)cos3τ. p. k
X
(τ)= 20/(1+25τ
2
)
q. k
X
(τ) = sin
2 4τ / (16τ
2
). r. k
X
(τ)= sin
2 2τ / τ
2
s. k
X
(τ) = 16exp(4τ
2
). t. k
X
(τ)= 9/(1+9τ
2
). u. k
X
(τ) = 4exp(2|τ|).
v. k
X
(τ)= 2exp(|τ|)(1+|τ|). w. k
X
(τ)=






4
при
0
,
4
при
4



x. k
X
(τ)=






6
при
0
,
6
при
6



y. k
X
(τ)= 8exp(2|τ|)cos τ.
1.21 Пусть S
X
(ω)  спектральная плотность стационарного случайного процесса X(t). Найти его корреляционную функцию в следующих случаях a. S
X
(ω)=








3
при
0
,
3
при
9 1
2



b. S
X
(ω)= 20/(25+ω
2
).
c. S
X
(ω)=
2 2
9 1
1 9
(1
)
9
(1
)














d. S
X
(ω)= 4exp(ω
2
). e. S
X
(ω)=





случаях остальных в
0
,
3 1
при
8

f. S
X
(ω)=
)
1
(
4 1
)
1
(
4 1
8 2
2
















g. S
X
(ω)= exp(|ω|/2).
h. S
X
(ω)= 27exp(ω
2
/36).
i. S
X
(ω)= 2(sin4ω)/(4ω). j. S
X
(ω)= 12/(π(9+ω
2
)).

8
k. S
X
(ω)= 4/(π(1+ω
2
)
2
).
l. S
X
(ω)=
10 при
2,
0 при
2.







m. S
X
(ω)= 10(sin
2
ω)/ω
2
n. S
X
(ω)=
2 1
при
2,
4 0
при
2.











o. S
X
(ω)= 2exp(|ω|/9). p. S
X
(ω)=
2 2
2 1
1 1 (2
)
1 (2
)














q. S
X
(ω)= 10/(π(4+ω
2
)). r.18. S
X
(ω)=
18
при 2 5,
0 в остальных случаях.






s. S
X
(ω)=
)
1
(
1 1
)
1
(
1 1
4 2
2
















t. S
X
(ω)= 32/(π (4+ω
2
)
2
). u. S
X
(ω)= 6(1cos2ω)/( πω
2
). v. S
X
(ω)= 10(sin2ω)/ω. w. S
X
(ω)= exp(ω
2
/4).
x. S
X
(ω)= 2exp(|ω|/4). y. S
X
(ω)=
20 при
5,
0 при
5.








9 1.22 Заданы случайные процессы
( )
sin 2
cos 2
t
U
t V
t



,
( )
cos3
sin 3
t
U
t V
t



, где
U
и
V
– стандартизованные некоррелированные
(т.е. с нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и нулевой ковариацией между ними) случайные величины.
Найти автоковариационные функции этих процессов, а также взаимную ковариационную функцию этих процессов.
1.23 Дана случайная функция
( )
exp(2 )
X t
U
t

, где
U
– случайная величина, распределенная по равномерному закону
(0;6)
R
. Найти характеристики функции
0
( )
( )
( )
t
Z t
t X
d
X t





:
( )
Z
m t
,
1 2
( , )
Z
K t t
1.24 Дана спектральная плотность стационарного случайного процесса:
2 0
0 0
, 0
,
0,
( )
0,
X
a
S
else

 







 


Определить автоковариационную функцию и дисперсию случайного процесса
( )
( )
dX t
Y t
dt

1.25 Случайная функция
( )
Z t задана своим каноническим разложением
3 3
2
( )
3
X t
t
t Ut
Vt
Wt





, где
,
U V
,
W
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
D( )
2, D( )
3, D(
) 1
U
V
W



. Найти характеристики случайной функции
3
( )
( )
3
dX t
Y t
t
t
dt
 

:
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
,
D ( )
Y
t
1.26 Дана случайная функция
( )
sin 3
X t
U
t

, где
U
– случайная величина, распределенная по нормальному закону
(2, 4)
N
. Найти характеристики функции
( )
( )
3 ( )
dX t
Y t
X t
dt


:
( )
Y
m t
,
( , )
Y
K t t
1.27 Дана корреляционная функция стационарного случайного процесса:
2
( )
exp(
| |)
X
X
k


 


. Определить спектральную плотность
( )
Y
S

случайного процесса
( )
( )
dX t
Y t
a
dt

1.28 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением:
1 2
( )
4sin sin 2
cos3
X t
t V
t V
t



, где V
1
и V
2
– центрированные случайные величины с дисперсиями
1 2
D
3, D
2
V
V


. Найти характеристики с.ф.
( )
( )
cos sin 2
dX t
Y t
t
t
dt



:
( )
Y
m t
,
( , )
Y
K t t
,
D ( )
Y
t

10 1.29 Дана случайная функция
( )
exp( 4 )
X t
U
t


, где
U
– случайная величина, распределенная по равномерному закону
(1; 3)
R
. Найти характеристики функции
( )
( )
exp( )
( )
dX t
Y t
t
X t
dt



:
( )
Y
m t
,
( , )
Y
K t t
1.30 Дана спектральная плотность стационарного случайного процесса
( )
X t :
*
( )
X
S
с
 
,
0
c 
,
0 0






,
0 0
 
. Определить автокорреляционную функцию
( )
Y
K

стационарного процесса
( )
( )
dX t
Y t
a
dt

1.31 Случайный процесс
( )
X t задан своим каноническим разложением:
2 3
2 1
2
( )
1
X t
t
t
V t
V t

  

,
1 2
D
3, D
4
V
V


. Найти характеристики процесса
2 3
( )
( )
dX t
Z t
t
t
dt


:
( )
Z
m t
,
1 2
( , )
Z
K t t
,
D ( )
Z
t
1.32 Дана случайная функция
2
( )
X t
Ut

, где
U
– случайная величина, распределенная по нормальному закону
(1; 9)
N
. Найти характеристики функции
0
( )
( )
4 ( )
t
Z t
X
d
X t





:
( )
Z
m t
,
( , )
Z
K t t
1.33 Дана автоковариационная функция стационарного случайного процесса:
(1 | |), | | 1
( )
0,
X
C
K
else






 

,
0
С 
. Определить спектральную плотность
*
( )
X
S

этого случайного процесса.
1.34 Случайный процесс
( )
X t имеет характеристики
( ) 1,
X
m t 
1 2
1 2
( , )
4cos(
)
X
K
t t
t
t


Найти характеристики случайного процесса
( )
( )
( )
2 1
dX t
Y t
X t
dt


 :
( )
Y
m t
,
( , )
Y
K t t
, и определить, будет ли он стационарным.
1.35 Стационарный случайный процесс
( )
X t имеет спектральную плотность
0
|
|
( )
1
X
S
a











,
0
|
|



,
0
a 
,
0 0
 
. Найти корреляционную функцию случайного процесса
( )
aX t .
1.36 Случайный процесс
( )
X t имеет характеристики
1 2
1 2
( ) 1,
( , )
cos (
)
X
X
m t
K
t t
A
t
t




, A –постоянная. Найти характеристики случайного процесса
( )
( )
X t
Y t
a
b
dt

 и определить, будет ли он стационарным.
1.37 Случайный процесс
( )
X t задан своим каноническим разложением:
1 2
( )
2
cos sin
X t
V
t V
t
 

,
1 2
D
3, D
2
V
V


. Найти корреляционную функцию случайного процесса
( )
( )
3 ( )
dX t
Z t
X t
dt



11 1.38 Стационарный случайный процесс
( )
X t имеет спектральную плотность
2 2
0
( )
1
X
S
a











,
0
|
|



,
0
a 
,
0 0
 
. Определить дисперсию случайного процесса
( )
( )
dX t
Y t
dt

1.39 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
2 2
( ) 1
X t
t
t
Ut Vt
  


, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю и дисперсиями
D( )
D( )
2
U
V

 . Найти характеристики случайной функции
0
( )
( )
t
Y t
t X s ds


1.40 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
( ) 1 | |
X
K


 
. Найти взаимную корреляционную функцию случайных функций
( )
X t и
( )
( )
dX t
Y t
dt

1.41 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
2
( )
cos(
)
X
K




, | | T


. Найти спектральную плотность случайной функции
1
( )
( )
Y t
X t


1.42 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
( )
3 2
sin 3
cos 2
X t
t
U
t V
t

 

, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю и дисперсиями
D( ) 1, D( )
2
U
V

 . Найти характеристики случайной функции
0
( )
( )
3
t
Y t
X s ds



1.43 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
( )
exp( | |) (1 | |)
X
K





 
. Найти корреляционную функцию случайной функции
( )
( )
dX t
Y t
a
dt

1.44 Спектральная плотность случайной функции
( )
X t имеет вид:


( )
1 |
|
X
S
a




,
|
| 1


Найти дисперсию случайной функции
( )
( )
( )
dX t
Y t
aX t
b
dt


1.45 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
( )
cos 3
sin 3
cos3
X t
t U
t
V
t



, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю и дисперсиями
D( )
4, D( )
2
U
V

 . Найти характеристики случайной функции
( )
( )
sin 3
cos 3
dX t
Y t
t
t
dt


:
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
,
D ( )
Y
t

12 1.46 Случайная функция
3
( )
X t
Ut

, где
U
– случайная величина, распределенная по нормальному закону
(1, 4)
N
. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции
( )
( )
( )
dX t
Y t
t
X t
dt


1.47 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
( ) 1 | |, | |
X
K
T



 

. Найти спектральную плотность случайной функции
( )
( )
( )
dX t
Y t
aX t
b
dt


1.48 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
2 2
3
( )
8
X t
t
Ut Vt
Wt




, где
, ,
U V W
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
D( )
4, D( )
3, D(
)
2
U
V
W


 . Найти характеристики случайной функции
( )
X t :
( ),
X
m t
1 2
( , )
X
K
t t
, а также случайной функции
0
( )
( )
3
t
Y t
X
d
t





:
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
,
D ( )
Y
t
1.49 Случайная функция
( )
sin
X t
U
t

, где
U
– случайная величина, распределенная по равномерному закону
(0, 1)
R
. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции
( )
( )
cos
( )
sin
dX t
Y t
t X t
t
dt



1.50 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
( )
exp(
| |)
X
K


 


. Найти спектральную плотность
*
( )
Y
S

случайной функции
( )
( )
dX t
Y t
a
b
dt

 .
1.51 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
3 2
2 3
( )
3
X t
t
t
Ut
Vt


 

, где ,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю и дисперсиями
D( )
2, D( )
3
U
V

 . Найти характеристики
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
случайной функции
2
( )
(
2) ( )
2
Y t
t
X t
t




1.52 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
2
( )
cos
X
K




. Найти корреляционную функцию случайной функции
( )
( )
( )
dX t
Y t
X t
dt


1.53 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет спектральную плотность
*
( )
|
|
X
S
a


 
, |
| a


,
0
a 
. Найти дисперсию случайной функции
1
( )
( )
dX t
Y t
a
dt

1.54 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
( )
3cos 4 2 sin 4 3 cos 4
X t
t
U
t
V
t



, где
,
U V
– некоррелированные случайные

13
величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
D( )
2, D( ) 1
U
V

 . Найти характеристики
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
( )
( )
cos 4
( )
dX t
Y t
t
X t
dt


1.55 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
( )
exp( 2 | |)
X
K

 


. Найти взаимную корреляционную функцию случайных функций
( )
X t и
( )
( )
dX t
Y t
a
dt

1.56 Спектральная плотность случайной функции
( )
X t имеет вид:
2 0
( )
X
S




,
0
|
|



,
0 0
 
. Найти дисперсию случайной функции
( )
( )
dX t
Y t
dt

1.57 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
( )
sin 3 1
sin 2
cos 3
X t
t
U
t V
t

 

, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю и дисперсиями
D( )
3, D( )
2
U
V

 . Найти характеристики случайной функции
0
( )
( )
t
Y t
X
d




:
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
1.58 Случайная функция
( )
cos3
X t
U
t

, где
U
– случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону
E
(
2)
xp


Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции
( )
( )
( )
dX t
Y t
X t
dt


1.59 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет спектральную плотность
0
| |
( )
X
S
ae
 



,
0 0,
0
a



. Определить корреляционную функцию
( )
X
K

этой функции.
1.60 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
( )
3 2
3
X t
t
U
t
Vt



, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю и дисперсиями
D( )
D( )
4
U
V

 . Найти характеристики случайной функции
0
( )
( )
t
Y t
t X
d




:
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
1.61 Дана корреляционная функция стационарного случайного процесса:


( )
1
| |
X
K
C

 


,
,
0
С

 . Определить взаимную корреляционную функцию случайных функций
( )
aX t и
( )
( )
dX t
Y t
b
dt

1.62 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
2
( )
exp(
| |)
X
K


 


,
0
 
. Найти спектральную плотность случайной функции
( )
( )
( )
dX t
Y t
aX t
b
dt



14 1.63 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
( )
5
sin 5 3 cos 5
X t
t
U
t
V
t
  

, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
D( )
2, D( ) 1
U
V

 . Найти характеристики случайной функции
2 0
( )
( )
t
Y t
t
X
d




:
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
1.64 Случайная функция
( )
sin cos
X t
U
t V
t


, где
U
– случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону
E
(
1)
xp


, а
V
– случайная величина, распределенная по равномерному закону
(0, 1)
R
. С.в.
U
и
V
некоррелированы. Найти
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
случайной функции
( )
( )
dX t
Y t
dt

1.65 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет спектральную плотность
*
| |
( )
X
S
e
 



,
0
 
. Определить дисперсию случайной функции
( )
( )
dX t
Y t
dt

1.66 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
2
( )
sin 2
cos 2
X t
t
U
t V
t





, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
D( )
2, D( )
3
U
V

 . Найти характеристики случайной функции
( )
sin
( )
cos
Y t
t X t
t



:
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
1.67 Случайная функция
2
( )
X t
Ut

, где
U
– случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону
E
(
1)
xp


Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции
2
( )
( )
( )
dX t
Y t
t
tX t
dt


1.68 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
( ) 1 | |, | | 1
X
K



 

. Найти спектральную плотность случайной функции
( )
( )
Y t
aX t

1.69 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
( )
cos(2 )
sin(2 )
cos(2 )
X t
t
U
t
V
t



, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
D( )
2, D( )
3
U
V

 . Найти характеристики случайной функции
( )
( )
sin(2 )
cos(2 )
dX t
Y t
t
t
dt


:
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
1.70 Заданы случайные процессы
( )
sin cos
t
U
t
V
t

 

,
( )
cos sin
t
U
t V
t



, где
U
и
V
– центрированные некоррелированные случайные величины с дисперсиями
D( )
2,
U 
D( )
3
V  . Найти корреляционные функции этих процессов, их взаимную корреляционную функцию, а также корреляционную функцию их суммы.

15 1.71 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
2
( )
exp(
| |)
X
k


 


,
0
 
. Определить дисперсию случайной функции
( )
Y t 
1
( )
dX t
dt

1.72 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
( )
cos sin cos
X t
t U
t V
t






, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
D( )
4, D( ) 1
U
V

 . Найти характеристики случайной функции
0
( )
( )
t
Y t
X
d




:
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
1.73 Заданы случайные процессы
2 2
( )
t
t Ut
Vt

 

,
2
( )
t
t
Ut Vt




, где
U
и
V
– некоррелированные стандартизованные (т.е. с нулевыми математическими ожиданиями и нулевой ковариацией между ними) случайные величины. Найти нормированные корреляционные функции этих процессов, а также взаимную корреляционную функцию этих процессов.
1.74 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет спектральную плотность
0
*
0
, при |
|
,
( )
0, при |
|
X
S








 


. Определить взаимную корреляционную функцию случайных функций
( )
X t и
( )
( )
dX t
Y t
dt

1.75 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
( )
t
at
bt
X t
e
Ue
Ve





, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
D( )
3,
U 
D( )
2
V  .
Найти характеристики случайной функции
( )
( )
t
t
Y t
e X t
e



:
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
1.76 Случайная функция
2
( )
X t
Ut

, где
U
– случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону
E
( )
xp

, Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции
( )
( )
( )
dX t
Y t
X t
dt



1.77 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет спектральную плотность
( ) 1
|
|
X
S

 
 
,
0
 
,
1 /
1 /






Определить корреляционную функцию случайной функции
( )
X t .
1.78 Найти математическое ожидание и корреляционную функцию суммы двух некоррелированных случайных функций
( )
X t и
( )
Y t .
( )
X t имеет характеристики
2
( )
X
m t
t

,
1 2
1 2 1
2
( , )
exp( (
))
X
K
t t
t t
t
t



, а
( )
Y t задано своим каноническим разложением
2 2
( )
t
Y t
e
Ut
Vt




где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
2
D( )
D( )
U
V




16 1.79 Случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
1 2
1 2
( , )
4exp(2(
))
X
K
t t
t
t


Найти корреляционную функцию случайной функции
0 1
( )
( )
( )
4
t
Y t
X t
X
d





1.80 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
( )
exp(
| |)
X
k

 


,
0
 
. Найти спектральную плотность случайной функции
( )
Y t 
1
( )
dX t
dt

1.81 Случайная функция
( )
X t задана своим каноническим разложением
2
( )
t
t
X t
t
Ue
Ve




, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
D( )
4,
U 
D( ) 1
V  .
Найти характеристики случайной функции
2
( )
( )
dX t
Y t
t
t
dt


:
( ),
Y
m t
1 2
( , )
Y
K
t t
1.82 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
2
( )
(1 | |)
X
K
a




, | | 1


. Найти спектральную плотность
( )
X
S

и взаимную корреляционную функцию случайных функций
( )
X t и
( )
( )
dX t
Y t
dt

1.83 Стационарная случайная функция имеет спектральную плотность
2 1
, | | 1,
( )
0,
|
| 1
X
S




 

 


. Найти корреляционную функцию случайной функции
( )
X t .
1.84 Найти математическое ожидание и корреляционную функцию суммы двух некоррелированных случайных функций
( )
X t и
( )
Y t .
( )
X t имеет характеристики
2
( )
X
m t
t

,
1 2
1 2 1
2
( , )
exp( (
))
X
K
t t
t t
t
t



, а
( )
sin
Y t
V
t


, где
V
случайная величина, распределенная по нормальному закону
(0,1)
N
1.85 Случайная функция
( )
cos sin
X t
U
t V
t




, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
D( )
U  D( )
4
V  . Найти характеристики
( )
X t , а также взаимную корреляционную функцию случайных функций
( )
X t и
( )
( )
dX t
Y t
dt

1.86 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет спектральную плотность
( ) 1 |
|
X
S


 
,
1 1

 

. Определить взаимную корреляционную функцию случайных функций
( )
X t и
( )
( )
dX t
Y t
dt

1.87 Случайная функция
( )
Z t задана в виде: ( )
( )
( )
Z t
X t
tY t
t


 , где
( )
X t и
( )
Y t некоррелированные случайные функции с характеристиками:
( )
X
m t
t

,
( ) 1
Y
m t 
,
1 2
2 1
( , )
exp(
|
|)
X
K
t t
t
t




,
1 2
2 1
( , )
exp(
|
|)
Y
K
t t
t
t




Найти характеристики случайной функции
( )
Z t :
( ),
Z
m t
1 2
( , )
Z
K
t t

17 1.88 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
2
( )
exp(
| |)
X
K


 


. Найти взаимную корреляционную функцию случайных функций
( )
X t и
( )
( )
dX t
Y t
dt


1.89 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет спектральную плотность
0 0
0 0
0
/
, 0
;
( )
2
/
,
2
X
S
 




 






 




,
0
,
0
  
Определить дисперсию случайной функции
( )
X t .
1.90 Найти математическое ожидание и корреляционную функцию суммы двух некоррелированных случайных функций
( )
X t и
( )
Y t .
( )
X t имеет характеристики
2
( )
X
m t
t

,
1 2
1 2
( , )
exp( (
))
X
K
t t
t
t



, а
( )
3
Y t
Vt

 , где
V
случайная величина, распределенная по нормальному закону
(1, 4)
N
1.91 Случайная функция
( )
sin cos sin
X t
t U
t V
t



, где
,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
D( )
2
U  , D( )
4
V  . Найти характеристики
( )
X t , а также взаимную корреляционную функцию случайных функций
( )
X t и
( )
( )
dX t
Y t
t
dt

1.92 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет спектральную плотность
| |
( )
X
S
e




, ,

 
  . Определить взаимную корреляционную функцию случайных функций
( )
X t и
( )
( )
dX t
Y t
dt

1.93 Случайный процесс
( )
X t имеет характеристики
1 2
1 2
( )
0,
( , )
cos(
)
X
X
m t
K
t t
A
t
t



,
A
–постоянная. Найти характеристики случайного процесса
0
( )
( )
2
t
Y t
X
d





и определить, будет ли он стационарным.
1.94 Случайная функция
2
( )
t
X t
Ue

, где
U
– случайная величина, распределенная по нормальному закону
(2, 1)
N
. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции
( )
( )
3 ( )
dX t
Y t
X t
dt


1.95 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
( ) 1 | |
X
K


 
, | | 1


. Найти дисперсию случайной функции
( )
( )
dX t
Y t
a
dt

1.96 Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции
0
( )
( )
( )
t
Y t
X t
X s ds



, где
3
( )
X t
Ut

, а
U
– случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с параметром
3
 

18 1.97 Заданы случайные функции:
( )
sin cos sin
X t
t U
t V
t



,
( )
cos sin cos
Y t
t U
t V
t



, где ,
U V
– некоррелированные случайные величины с мат.ож., равными нулю, и дисперсиями
D( )
2
U  , D( )
3
V  . Найти корреляционные функции
( )
X t и ( )
Y t , а также их взаимную корреляционную функцию.
1.98 Стационарная случайная функция
( )
X t имеет корреляционную функцию
2 0
( )
cos(
)
X
K


 

Найти дисперсию случайной функции
0 1
( )
( )
( )
dX t
Y t
X t
dt


