панков практикум. Панков Практикум по АСП 21.05 (1). Практикум по дисциплине анализ случайных процессов Версия от 11. 05. 2021 Учебное пособие для обучающихся в бакалавриате по направлении

• Название: Практикум по дисциплине анализ случайных процессов Версия от 11. 05. 2021 Учебное пособие для обучающихся в бакалавриате по направлении
• Анкор: панков практикум
• Дата: 06.04.2022
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: Панков Практикум по АСП 21.05 (1).pdf
• Тип: Практикум; #449321
• страница: 3 из 4

Раздел № 3 Марковские процессы с непрерывным временем.
Пуассоновский поток. Поток Эрланга.
3.1
Показать, что если переходные функции
 
p
t
ij
однородного во времени Марковского процесса известны на интервале
0 0 t
t
 
,
0 0
t 
, то они однозначно определяются для всех t>0.
3.2
Показать, что если переходные функции
( )
p
t
ij
однородного во времени
Марковского процесса непрерывны при t=0, то они равномерно непрерывны по t при
0
t 
3.3
Поток событий подчиняется следующим условиям: а) числа событий, наступивших на непересекающихся интервалах времени, суть независимые случайные величины; б) вероятность того, что в интервале
( ,
)
t t
t
  произойдёт более одного события есть величина
 
o
t

; в) вероятность того, что в интервале
( ,
)
t t
t
  произойдёт хотя бы одно событие, равна
( )
(
)
t
t
o
t

 
 , где
( )
t

- некоторая ограниченная функция времени. Число событий, наступивших до момента времени t, есть случайный процесс
 
t

, называемый неоднородным во времени пуассоновским процессом. Если
( )
0
t



 , то процесс
 
t

называется простейшим пуассоновским процессом интенсивности

. Показать, что процесс
 
t

является Марковским и найти его переходные функции.
3.4
Поток событий устроен таким образом, что интервалы времени между последовательными событиями суть независимые одинаково распределённые неотрицательные случайные величины с функцией распределения F(t). Пусть
( )
t

есть число событий, наступивших до момента t,
 
0 0


. Показать, что процесс
( )
t

будет Марковским тогда и только тогда, когда
 
1
,
0
t
F t
e
t


 

В этом последнем случае
( )
t

есть простейший пуассоновский процесс интенсивности

3.5
Показать, что для простейшего пуассоновского процесса с единичной интенсивностью условное распределение моментов наступления событий на интервале (0:t) при условии что всего на этом интервале произошло n событий, совпадает с распределением координат n точек, наудачу и независимо друг от друга выбранных на промежутке (0:t).
3.6
Пусть
1 1
0
n






- моменты наступления первых n+1 событий в простейшем пуассоновском потоке. Показать, что величины
1
/
,1
i
i
n
i
n

 


 
имеют такое же совместноераспределение, как и упорядоченный ряд чисел, выбранныхнезависимо друг от друга на отрезке [0;1] в оответствии с равномерным распределением.
3.7
На некоторое обслуживающее устройство поступает простейший пуассоновский поток заявок. Устройство с вероятностью p мгновенно

30
обслуживает заявку, либо с вероятностью q=1-p оставляет её необслуженной.
Показать, что поток обслуженных заявок, выходящих из устройства, снова является простейшим пуассоновским потоком. Найти его интенсивность.
3.8
В условиях предыдущей задачи устройство обслуживает каждую вторую заявку. Показать, что поток обслуженных заявок в этом случае не будет марковским.
3.9
В некоторый прибор поступает простейший пуассоновский поток частиц с интенсивностью

. Каждая частица обладает некоторой энергией, величина которой суть случайная величина с законом распределения G(x). Прибор ре- гистрируетсуммарную величину энергии всех поступивших в него частиц.
Показания прибора
 
t

образуют марковский процесс и, более того, процесс с независимыш приращениями. Найти характеристическую функцию случаной величины
 
t

. Описать строение траекторий
 
t

3.10 В условиях предыдущей задачи прибор регистрирует лишь частицы, энергия которых заключена в пределах


1 2
,
x x
,
1 2
x
x

. Показать, что поток регистрируемых частиц также простейший пуассоновский. Определить его интенсивность.
3.11 В прибор поступают частицы из n независимых источников. Поток частиц каждого из источников - простейший пуассоновский со своей для каждого источника интенсивностью
, 1
i
i
n

 
. Показать, что общий поток частиц, поступающих в прибор, снова простейший пуассоновский. Определить его интенсивность.
3.12 Некоторое устройство может находиться в двух состояниях: исправном "1" и неисправном "0". Если в некоторый момент времени устройство находится в состоянии i, (i=0,1), то вероятность того, что в отрезке времени
( ,
)
t t
t
  произойдет смена состояний, равна
(
)
i
t
o
t
  

независимо от того, что происходило с устройством до момента t. Если
 
t

означает состояние устройства в момент t, то
 
t

- марковский процесс (''случайный телеграфный сигнал"). Найти переходные функции
( )
ij
p t
этого процесса.
3.13 (продолжение). Как распределено: а) время исправного состояния устройства от момента окончания его ремонта до следующей поломки; б) время, затрачиваемое на ремонт устройства?
3.14 (Продолжение). Какими должны бить вероятности p
0
и p
1
начальных состояний устройства дая того, чтобы процесс был стационарным? Показать, что стационарные вероятности равны пределам lim
( ), ( ,
1, 2)
ij
t
p t
i j


3.15 Имеется система из a приборов, каждый из которых может находиться в исправном "1" и неисправном "0" состоянии. Переход приборов из одного состояния в другое происходит для разных приборов независимо и так, как это описано в задаче 3.12. Состояние
 
t

системы

31
определяется числом исправных приборов. Написать прямые и обратные уравнения для переходных функций процесса
 
t

3.16 (Продолжение).
Пусть
( , )
i
P x t
- производящая функция распределения числа
 
t

исправных приборов в момент времени
t
при условии, что в начальный момент было
i
исправных приборов. Получить дифференциальное уравнение в частных производных относительно функции
( , )
i
P x t
3.17 (Продолжение). Пусть
( )
i
M t
означает математическое ожидание числа исправных приборов в момент времени t при условии, что в начальный момент было исправно i приборов.
Составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет
( )
i
M t
, и найти явное выражение для
( )
i
M t
3.18 (Продолжение). Найти явное выражение для
( , )
i
P x t
, решая дифференциальное уравнение из задачи 3.16. Дать веротностное объяснение полученного результата.
3.19 Имеется система из бесконечного числа обслуживающих устройств, в которую поступает простейший пуассоновский поток заявок на обслуживание. Интенсивность входящего потока равна

. Поступившая в систему заявка тотчас же принимается на обслуживание одним из свободных устройств. Время обслуживания в каждом устройстве случай- но и распределено по эспоненциальному закону с параметром

Обслуживание в различных устройствах происходит независимо.
Состояние системы
 
t

в момент времени определяется числом устройств, занятых в это время обслуживанием. Составить системы прямых и обратных уравнений для переходных функций процесса
 
t

3.20 (Продолжение).
Пусть
( , )
i
P x t
- производящая функция распределения числа занятых устройств в момент времени
t
при условии, что в начальный момент было занято
i
устройств. Показать, что функция
( , )
i
P x t
удовлетворяет дифференциальному уравнению


( , )
( , )
1
( , )
i
i
i
P x t
P x t
x
P x t
t
x















3.21 (Продолжение). Пусть
 
i
M t
означает математиче ожидание числа занятых устройств в момент времени t при условии, что в начальный момент было занято t устройств. Получить дифференциальное уравнение для
 
i
M t
и найти явное выражение математического ожидания.
3.22 (продолжение). Решить дифференциальное уравнение из задачи
3.20 и найти явное выражение для переходных функций процесса
 
t

(обратить внимание, что при условии
 
0 0


величина
 
t

имеет распределение Пуассона).

32 3.23 (Продолжение). Найти стационарное распределение числа занятых устройств и показать, что стационарные вероятности совпадают с пределами переходных вероятностей при
t  
3.24 Простейший пуассоновский поток заявок на обслуживание с интенсивностью

поступает в систему из a обслуживающих устройств.
Поступившая в систему заявка тотчас же принимается на обслуживание одним из свободных устройств, если таковые есть в системе. Если в момент поступления заявки в систему все устройства заняты, то поступившая заявка не обслуживается и уходит из системы.
Обслуживание в различных устройствах происходит независимо.Время обслуживания в каждом устройстве распределено экспоненциально с параметром

. Состояние системы
 
t

определяется числом устройств, занятых обслуживанием в момент t. Составить системы прямых и обратных уравнений для переходных функций процесса
 
t

3.25 (Продолжение). Найти стационарное распределение для числа занятых устройств.
3.26 Простейший пуассоновский поток заявок с интенсивностью

поступает на одно обслуживающее устройство. Время обслуживания распределено экспоненциально с параметром

. Обслуженные заявки покидают систему. Заявки, поступившие в момент, когда устройство занято, становятся в очередь. Состояние системы
 
t

определяется чис- лом заявок, находящихся на обслуживании и стоящих в очереди.
Составить прямые и обратные уравнения для переходных функций процесса
 
t

3.27 (Продолжение). Найти стационарное распределении длины очереди, считая и заявку, находящуюся на обслуживали.
3.28 Имеется колония частиц, которые размножаются путём деления на две. Каждая из частиц, после своего появления в колонии, претерпевает деление в случайный момент времени по следующему правилу: если частица еще не разделилась к моменту времени t и если в момент t в колонии реется n частиц, то вероятность того, что частица разделится в интервале времени от t до
t
t
 
равна
(
)
n
t
o
t
  

. Величины
n

называются интенсивностями рождения. Их зависимость от n отражает то обстоятельство, что общая численность колонии может ускорять или, наоборот, замедлять рождение новых частиц. Обозначим через
 
t

число частиц в колонии в момент t. Марковский процесс
 
t

называется процессом чистого размножения. Составить системы прямых и обратных уравнений для переходных функций процесса
 
t

3.29 Процесс чистого размножения, отвечающий тому случаю, когда интенсивности делений частиц
n

не зависят от численности колонии, т.е.
n



, называется процессом Юла. Найти явное выражение для переходных функций такого процесса.

33 3.30 Найти выражение для переходных функций процесса чистого размножения в том случае, когда развитие колонии уменьшает интенсивность размножения таким образом, что
n
n



3.31 Пусть развитие колонии в процессе чистого размножения увеличивает интенсивность размножения таким образом, что
n
n



. Показать, что в этом случае за любое конечное время с положительной вероятностью численность колонии становится бесконечной.
3.32 Имеется колония частиц, каждая из которых может либо разделиться на
2, либо погибнуть. Превращения частиц происходят независимо и таким образом, что на любом временном интервале
( ,
)
t t
t
  частица, существующая в момент t, может разделиться на 2 с вероятностью
(
)
t
o
t

 
 и погиьнуть с вероятностью
(
)
t
o
t

 
 . Обозначим через
 
t

число частиц в колонии в момент
t
. Процесс
 
t

называется процессом размножения и гебели.
Составить системы прямых и обратных уравнений для переходных функций процесса
 
t

3.33 (Продолжение) Пусть
0
( , )
( )
j
i
ij
j
P x t
p t x


 
- производящая функция распределения численности колонии в момент t при условии, что развитие колонии начинается с i частиц. Показать, что


1
( , )
( , )
i
i
P x t
P x t

Получить дляфункции
1
( , )
( , )
P x t
P x t

дифференциальные уравнения в частных производных, используя для этого соответственно прямые и обратные системы уравнений относительнопереходных функций.
3.34 (Продолжение). Вычислить математическое ожидание числа частиц в колонии в момент t приусловии, что развитие колонии начинается с одной частицы. В этой и последующих задачах рассмотреть отдельно случаи



и



3.35 (Продолжение). Вычислить дисперсию числа частиц в колонии в момент t при условии, что развитие колонии начинается с одной частицы.
3.36 (Продолжение). Найти вероятности
1
( )
( )
j
j
P t
P t

, решая прямое дифференциальное уравнение относительно производящей функции
( , )
P x t .
3.37 (Продолжение).
Найти вероятности
( )
j
P t
, решая обратное дифференциальное уравнение относительно производящей функции
( , )
P x t .
3.38 (Продолжение). Вычислить вероятность вырождения колонии и найти распределение времени до вырождения колонии.
Найти математическое ожидание времени до вырождения колонии.
3.39 (Непрерывный аналог модели Эренфестов). Имеется 2N шаров, занумерованных числами от 1 до 2N. В начальный момент времени каждый шар сравной вероятностью помещается в одну из двух урн. В

34
дальнейшем шары независимым образом перемещаются в случайные моменты времени в соответствии со следующим правилом: шар с вероятностью
1
(
)
2
t
o
t
 

попадает из одной урны в другую в течении интервала
( ,
)
t t
t
  и с вероятностью
1 1
(
)
2
t
o
t

 

остаётся в той же урне.
Пусть
 
t

- число шаров в первой урне в момент времени t. Обозначим


( )
( )
| (0)
ij
P t
P
t
j
i





. Доказать формулу








2 2
2 0
1
( )
1 1
1 1
2
N
N i
j
t
t
t
t
N
j
i
P t x
e
e
x
e
e
x
ij














Указание: ввести случайные величины
i

, равные 1, если i-й шар в момент времени t находится в первой урне, и равные 0 в противном случае и рассмотреть
 
2 1
N
i
i
t



 
3.40 В аэропорт прибывает три простейших пуассоновских потока самолетов в среднем с интенсивностями 1, 2 и 2.5 самолетов за 30 мин.
Найти наиболее вероятное число самолетов объединенного потока за один час. Какова вероятность того, что 1) за 20 минут прибудет
4 самолета; 2) за 10 мин появится хотя бы 1 самолет объединенного потока 3) за 2 часа прибудет четное число самолетов?
Решение. Сумма простейших пуассоновских потоков является простейшим пуассоновским потоком (пуассоновским процессом) с интенсивностью, равной сумме интенсивностей соответствующих потоков.
Следовательно, интенсивность прибытия самолетов в аэропорт равна
1 2 2,5 11 30 60

 


(самолетов в минуту).
Согласно теореме 5.1 [3], случайная величина
t

, равная числу самолетов прибывших в аэропорт за время t, имеет распределение Пуассона с параметром
t

:


 
P
!
k
t
t
t
k
e
k






,
0
k  
Эту формулу принято называть формулой Пуассона.
Чтобы найти наиболее вероятное число самолетов объединенного потока за один час, равный 60 минутам сравним с единицей отношение










1 1
60 60 60
P
60 60 1
1 1
11
P
1
!
1 !
60 11 60 60
k
k
t
k
k
k
k
e
e
k
k
k
































Очевидно, что при всех k<10 отношение меньше 1 (вероятности событий
60 1
k
  
больше вероятностей событий
60
k
 
), а при всех k>10 –больше 1
(наоборот).
Следовательно, наиболее вероятное число самолетов объединенного потока за один час равно 10 или 11.

35


 
 
60 10 11 11 11 60 11 11
P
10 0,119378 1
P(
11 10!
1!
)
e
e










1) По формуле Пуассона






4 4
11 20 3
20 20 11 / 3
P
4 0,1925 4!
4!
e
e









2) Появление за 10 минут хотя бы одного самолета означает, что
10 1
 
.Следовательно,








0 11 10 6
10 10 10 10
P
1 1 P
1 1 P
0 0,15988 0!
e
e








 

 




3)






2 120 22 0
120 120 0
0 120
P
:
2
P
2
ch 22 0,5 2 !
s
s
s
s
s
s
e
e
s










 









3.41 Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий
( ) 1
/ 3
t
t

 
. Найти вероятность того, что на участке времени от
0 до
3


мин. появится не менее двух событий.
Решение. В нестационарном пуассоновском потоке вероятность наступления k событий на некотором интервале


0 0
t ;t
τ

вычисляется по формуле:




0 0
k t ;t
τ
P
= k e
k!
a
a




, где a есть математическое ожидание числа событий за указанный интервал, т.е.


 
0 0
t
τ
0 0
t t ; t
τ
λ t dt
a
a





В нашем случае:
 
τ
3 0
0
λ t dt
1
dt
4,5 3
a
t












Вероятность того, что на участке времени от 0 до
3


мин. появится не менее двух событий равна
















0 0
0 0
0 0
0 0
t ;t
τ
t ;t
τ
t ;t
τ
t ;t
τ
P
2 1 P
<2 1 P
=0
P
=1









 
 

Следовательно,








0 0
0 1
4,5 4,5 4,5
t ;t
τ
9 4,5 4,5
P
2 1
e e
1 5,5 e
0!
!
0,938 1






 

 


3.42 Поток автомобилей, движущихся по шоссе, представляет собой поток
Эрланга 4-го порядка с параметром
44


(авт/мин). Найти его интенсивность, плотность распределения,математическое ожидание и дисперсию участка времени между автомобилями в потоке, а также вероятность того, что за 4 сек. не проедет ни одного автомобиля.
Решение. Поток Эрланга 4 порядка с параметром

получается из простейшего пуассоновского потока с интенсивндостью

сохранением в нем каждого 4-го события. Согласно свойствам потока Эрланга, его интенсивность
 
4

равна

36
 
 
4 44 11 4
k
k







(авт/мин).
Согласно курсу дисциплины, участок времени
 
 
4
k
T
T

между автомобилями в потоке Эрланга 4-го порядка имеет плотность распределения:
 
 




 
 
1 4
3 44 4
44
,
0 6
-1 !
k
x
x
k
x
x
p
x
e
e
p
x x
k

 







, а математическое ожидание и дисперсия равны:
 
 
4 4
1
E
E
44 11
k
k
T
T





,
 
 
4 2
2 4
1
D
D
44 484
k
k
T
T





Вероятность того, за 4 сек. (1/15 мин) не проедет ни одного автомобиля равна вероятности того, что участок времени между автомобилями в потоке более 4 сек.
 


 


 
 
 
 
4 4
4 3
1/15 1/1 4
44 5
4 0
P
4 1 P
4 1
4 1
1 6
44
x
T
T
T
T
F
p
x dx
dx
x
e



 

 
 
 


Получившийся интеграл можно найти непостредственно, а можно использовать свойство потока Эрланга k-го порядка, согласно для выполнения события
 
4 4
T
 требуется, чтобы на соответствующем интервале времени появилосься не более k-1 события простейшего потока (см. задачу 10.13 [1]), поэтому, используя формулу Пуассона (1), получим
 




 
 
 
 
5 2
3 3
2
/15 44/1 3
4 0
44 44 44
P
4 1
0,55
/ 15 15 2
!
15 6 15
m
m
e
m
T
e





















3.43 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов.
Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей:
Решение. Полагая систему с дискретными состояниями и непрерывным временем консервативной выпишем по размеченному графу для нее матрицу интенсивностей
1 0
1 0
1 4
3 0
2 0
6 4
0 2
0 2








 








3 1
2
S
1
S
2
S
3
S
4 1
2 4

37
В матричном виде систему дифференциальных уравнений Колмогорова для системы с дискретными состояниями и непрерывным временем записывается как
 
 
' t
t

 

или
 
 
' t
t

 
, где
,
( )
( )
ij
N N
t
p t


- матричная переходная функция
 
'
||
'( ) ||
ij
t
p
t


- матрица, состоящая из производных переходных функций с начальными условиями
 
0
N N
E



- единичная матрица порядка
4
N 
По свойствам предельных стационарных распределений, если начальное распределение равно стационарному, то
( )
ij
j
p t
p

-не зависит от tи отi, а также '( )
0
ij
p
t 
Тогда система дифференциальных уравнений Колмогорова
 
 
' t
t

 

эквивалентна системе для неизвестного предельного стационарного распределения вероятностей


1
;...;
N
p
p
p

, где N=4 0
p
 
или
 
 
0
T
T
T
p


Решением данной системы с условием
1 1
N
k
k
p



являетя вектор
3 1 1 2
; ; ;
7 7 7 7
p


 



3.44 В аэропорт прибывает два простейших потока самолетов с интенсивностями в среднем 3 и 2,5 самолета за час. Найти вероятность того, что за полчаса прибудет не более 4 самолетов объединенного потока. Найти наиболее вероятное число прибывающих самолетов объединенного потока за 3 часа.
3.45 Устройство состоит из трех узлов, причем первый узел в среднем отказывает 1 раз в месяц, второй – 1 раз в полтора месяца, а третий – 1 раз за два месяца. Потоки отказов узлов простейшие. Найти вероятности того, что за месяц устройство а) откажет ровно один раз, б) откажет хотя бы два раза. Найти наиболее вероятное число отказов за 3 месяца.
3.46 В результате статистической обработки промежутков времени T между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и дисперсии величины T :
1.8
t 
(мин),
D
0,27
t

(мин
2
). Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Написать плотность распределения величины T .
3.47 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов.
Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
3 1
2
S
1
S
2
S
3
S
4 1
2 4

38 3.48 На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 5 вызовов за 2 секунды. Найти вероятность того, что за 4 секунды: а) придет хотя бы два вызова, б) придет четное число вызовов. Найти наиболее вероятное число вызовов за 7 секунд.
3.49 Поток автомобилей, движущихся по шоссе в одном направлении, является потоком Эрланга 5-го порядка с параметром


40 авт/мин. Найти интенсивность данного потока, плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию участка времени между автомобилями в потоке.
3.50 По шоссе в одном направлении движется два простейших потока автомобилей с интенсивностями
1 1.5
 
(авт/мин) и
2 3
 
(авт/мин). Найти наиболее вероятное число автомобилей объединенного потока за 5 минут, а также вероятность этого числа. Найти вероятность того, что за 6 минут проедет нечетное число автомобилей объединенного потока.
3.51 Пассажир выходит на остановку автобуса в момент времени, никак не связанный с расписанием. Поток автобусов представляет собой поток Эрланга
2-го порядка с параметром
12


авт/час. Найти плотность распределения и математическое ожидание того участка времени
*
T
между автобусами, на который попал пассажир.
3.52 Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,1 отказа в мин. Найти вероятность того, что а) за 1 час работы наступит более одного отказа, б) за 2 час не будет ни одного отказа, в) за полчаса будет четное число отказов. Найти наиболее вероятное число отказов.
3.53 Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий
( ) 1.5 0.5
t
t



. Найти вероятность того, что на участке времени от
0
t 
1.5 до
0 3.5
t

 
появится не меньше трех событий.
3.54 В систему массового обслуживания (СМО) поступает в среднем

заявок в час. Найти вероятность того, что за время
t
минут в СМО поступит: а) ровно
k
заявок, б) менее
k
заявок, в) нечетное число заявок:
30


,
4
t 
,
4
k 
3.55 В результате статистической обработки промежутков между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и дисперсии величины
T
:
2
t
m 
(мин),
D
2
t

(мин
2
). Заменить этот поток нормированным потоком
Эрланга с теми же характеристиками. Написать плотность распределения интервала времени между соседними событиями в данном потоке.
3.56 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов.
Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.

39 3.57 Испытывают три элемента, работающие независимо друг от друга.
Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону и равна
1 8
t 
,
2 4
t 
и
3 5
t 
часа. Для каждого случая найти вероятность того, что в интервале времени


0,
отк
t
откажут: а) только один элемент, б) не более 2-х элементов в) все три элемента. (
5
отк
t

)
3.58 Поток автомобилей, движущихся по шоссе в одном направлении, является простейшим потоком с интенсивностью
5


авт/мин. Инспектор выходит на шоссе, чтобы остановить первый попавшийся автомобиль. Найти плотность распределения того интервала
*
T
между автомобилями, на который попадет инспектор, его математическое ожидание и дисперсию.
3.59 В СМО поступает в среднем
30


заявок в час. Найти вероятность того, что за время
4
t 
минуты в СМО поступит: а) ровно 4 заявки, б) менее 4 заявок, в) более 3 заявок; г) нечетное число заявок за 10 минут.
3.60 Поток автомобилей, движущихся по шоссе в одном направлении, является потоком Эрланга 3-го порядка с интенсивностью
12
 
авт/мин.
Инспектор выходит на шоссе, чтобы остановить первый попавшийся автомобиль. Найти плотность распределения того интервала времени
*
T
между автомобилями, на который попадет инспектор и вероятность того, что за 2 минуты не проедет ни одного автомобиля.
3.61 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов.
Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
3.62 Испытывают три элемента, работающие независимо друг от друга.
Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону и равна
1 10
t 
,
2 5
t 
и
3 4
t 
часа. Для каждого случая найти вероятность того, что в интервале времени


0, 5
откажут: а) только один элемент, б) не более 2-х элементов в) все три элемента.
3 4
1 1
2 2
S
1
S
2
S
3
S
4 3
4 1
1 2
2
S
1
S
2
S
3
S
4

40 3.63 Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий
( ) 1
t
t

  . Найти вероятность того, что на участке времени от
0
t 
0.5 до
0 2
t

 
появится больше трех событий.
3.64 В аэропорт прибывает простейший поток самолетов, в среднем 2 самолета за 5 минут. Найти вероятность того, что а) за 10 минут прибудет не менее 3 самолетов; б) за 20 минут прибудет не более 5 самолетов; в) за 5 минут прибудет нечетное число самолетов.
3.65 Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий
( )
0.5 2
t
t



. Найти вероятность того, что на участке времени от 0.5 до
1.5


появится не более двух событий.
3.66 На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 2 вызова в минуту. Найти вероятность того, что за 3 минуты а) не придет ни одного вызова, б) придет хотя бы 1 вызов, в) придет четное число вызовов.
3.67 Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий
( ) 1 2
t
t

 
. Найти вероятность того, что на участке времени от 0 до
2


появится не менее трех событий.
3.68 На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью
2


вызова в минуту. Найти вероятность того, что за время
t
=3 минуты: а) не придет ни одного вызова, б) придет ровно 5 вызовов, в) менее 5 вызовов, г) четное число вызовов.
3.69 Производится детерминированное прореживание простейшего потока с интенсивностью
7


на три потока: если номер события имеет вид
3k
l

,
1,2,3
l 
,
0,1,2,...
k 
, то это событие направляется соответственно в канал с номером
l
. Какое распределение и мат.ож. имеют промежутки между событиями в каждом из новых потоков?
3.70 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов.
Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
3.71 Система представляет собой простейший поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,001 отказа в час. Найти вероятность того, что 300 часов работы наступит: а) не более 3 отказов; б) больше одного отказа; в) четное число отказов.
4 3
2 1
1 2
3 4
2 2
1

41 3.72 Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий
( )
0.5
t
t


 . Найти вероятность того, что на участке времени от
0
t 
0.5 до
0 1.5
t

 
появится меньше трех событий.
3.73 По шоссе в одном направлении движутся 2 простейших потока автомобилей с интенсивностями 2,5 и 3,5 машины в минуту соответственно.
Найти вероятность того, что за время
t
=5 минут: а) не проедет ни одного автомобиля, б) проедет ровно 6 автомобилей, в) менее 4 автомобилей, г) четное число автомобилей.
3.74 В результате статистической обработки промежутков времени T между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и дисперсии величины T :
3
t
m 
(мин),
D
0,9
t

(мин2). Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Написать плотность распределения интервала времени между соседними событиями в данном потоке.
3.75 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов.
Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
3.76 Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,002 отказа в час. Найти вероятность того, что а) за 200 часов работы наступит более 2 отказов, б) за 100 часов не будет ни одного отказа, в) за 100 часов будет нечетное число отказов.
3.77 Производится детерминированное прореживание простейшего потока с интенсивностью

на четыре потока: если номер события имеет вид
4k
l

,
1,4
l 
,
0,1,2,...
k 
, то это событие направляется соответственно в канал с номером
l
. Какое распределение и мат.ож. имеют промежутки между событиями в каждом из новых потоков?
3.78 На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 9 вызовов в две минуты.
3.79 Найти вероятность того, что за 3 минуты а) не придет ни одного вызова, б) придет хотя бы 1 вызов. Найти наиболее вероятное число вызовов за 5 мин.
3.80 Пассажир выходит на остановку автобуса в некоторый момент времени, никак не связанный с расписанием движения. Автобусы следуют друг за другом случайно с интервалом времени, распределенным по показательному закону с параметром длины
4
l 
(мин). Найти плотность распределения
5 2
2 2
1 4
S
1
S
2
S
3
S
4

42
времени T , которое придется пассажиру ждать автобуса и выразить его характеристики
t
m
,
t

через интенсивность потока автобусов

3.81 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов.
Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
3.82 Даны три простейших потока событий с интенсивностями
1 0.15
 
и
2 0.25
 
и
3 0.2
 
соб/мин. Найти вероятность того, что за 5 минут: а) поступит не более 2-х требований объединенного потока, б) не поступит ни одного требования объединенного потока, в) Найти наиболее вероятное число требований за 10 минут.
3.83 2. Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий
( )
2 2
t
t

 
. Найти вероятность того, что на участке времени от
0
t 
1 до
0 2
t

 
появится меньше трех событий.
3.84 На АТС поступает два простейших потока вызовов с интенсивностями 10 и 5 вызовов в минуту. Для объединенного потока найти вероятность того, что за 3 минуты а) не придет ни одного вызова, б) придет хотя бы 1 вызов, в) придет четное число вызовов.
3.85 Пассажир выходит на остановку автобуса в момент времени никак не связанный с расписанием. Поток автобусов представляет собой поток Эрланга
3-го порядка с параметром


0,6 (авт/час). Найти плотность распределения того интервала
*
T
между автобусами, на который попал пассажир, его математическое ожидание и дисперсию.
3.86 На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 15 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за 5 минут а) придет 3 вызова, б) придет хотя бы 2 вызова. Найти наиболее вероятное число вызовов за полминуты.
3.87 Производится случайное прореживание простейшего потока событий с интенсивностью
12


соб/мин, причем сохраняется, только каждое четвертое событие. Каким будет поток, получающийся в результате такого прореживания.
Найти его интенсивность, плотность распределения, математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение интервала времени между соседними событиями в потоке.
3.88 Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов системы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Все потоки событий
5 1
4
S
1
S
2
S
3
S
4 2
2 3

43
простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений
Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
3.89 По шоссе в одном направлении движутся 3 простейших потока автомобилей с интенсивностями 2.5, 3, и 3.5 автомобилей в минуту. Найти вероятность того, что для объединенного потока за 5 минут: а) проедет не более
3-х автомобилей, б) не проедет ни одного автомобиля, в) проедет нечетное число автомобилей.
3.90 В результате статистической обработки промежутков времени T между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и дисперсии величины T :
5
t
m 
(мин),
D
0,4
t

(мин2). Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Написать плотность распределения интервала времени между соседними событиями в данном потоке.
3.91 Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и найти предельные вероятности состояний для системы
S
, описываемой марковским процессом с непрерывным временем, граф состояний которой изображен ниже
(вдоль стрелок указаны интенсивности перехода):
3.92 В аэропорт прибывает пуассоновский поток самолетов, в среднем 7 самолетов за 10 минут. Найти вероятность того, что 1) за 30 минут прибудет не менее 4-х самолетов; 2) за 1 минуту прибудет не более одного самолета, 3) за 10 минут прибудет не менее двух самолетов.
3.93 Производится случайное прореживание простейшего потока событий с интенсивностью
10


соб/мин, причем сохраняется, только каждое k-ое событие. Каким будет поток, получающийся в результате такого прореживания.
Найти его интенсивность, плотность распределения и математическое ожидание интервала времени между соседними событиями в потоке. k=2.
Найти вероятность того, что за 1 минуту не поступит ни одного события в образованном потоке.
S
1
S
2
S
0
S
3 2
4 1
1 2
3 3
1 2
S
1
S
2
S
3
S
4 1
2 4

44 3.94 В СМО поступает в среднем
70


заявок в час. Найти вероятность того, что за время
10
t 
минут в СМО поступит: а) ровно
3
k 
заявок, б) менее 3 заявок, в) более 2 заявок.
3.95 Производится случайное прореживание простейшего потока событий с интенсивностью

, причем сохраняется только каждое третье событие. Каким будет поток, получающийся в результате такого прореживания. Найти его интенсивность, математическое ожидание и вероятность того, что за 2 минуты не поступит ни одного события в образованном потоке.
3.96 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов.
Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
3.97 По шоссе движется два простейших потока автомобилей с интенсивностями
0,7
и
0,9
авт/сек. Найти наиболее вероятное число автомобилей объединенного потока за одну секунду. Какова вероятность того, что за две секунды проедет 1) четыре автомобиля, 2) более двух автомобилей объединенного потока?
3.98 2. Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий
( )
3 2
t
t


 . Найти вероятность того, что на участке времени от
0
t 
5 до
0 7
t

 
появится больше трех событий.
3.99 В аэропорт прибывает три простейших пуассоновских потока самолетов в среднем с интенсивностями 1, 2 и 2.5 самолет/час. Найти наиболее вероятное число самолетов объединенного потока за один час. Какова вероятность того, что за 2 часа прибудет десять самолетов объединенного потока?
3.100 Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий
( ) 1 2
t
t

 
. Найти вероятность того, что на участке времени от 0 до
10


мин. появится не менее двух событий.
3.101 Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,003 отказа в час. Найти вероятность того, что а) за 300 часов работы не наступит ни одного отказа отказов, б) за 100 часов работы наступит ровно три отказа; в) за 200 часов придет четное число отказов.
3.102 Производится детерминированное прореживание простейшего потока с интенсивностью
5


на три потока: если номер события имеет вид
3k
l

,
1,2,3
l 
,
0,1,2,...
k 
, то это событие направляется соответственно в канал с
5 4
1
S
1
S
2
S
3
S
4 1
2 3

45
номером
l
. Какое распределение и мат.ож. имеют промежутки между событиями в каждом из новых потоков?
3.103 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов.
Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
3.104 Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,001 отказа в час. Найти вероятность того, что а) за 100 часов работы наступит более 4 отказов, б) за 200 часов придет четное число отказов. Найти наиболее вероятное число отказов за
200 часов.
3.105 В результате статистической обработки промежутков времени T между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и дисперсии величины T :
0.2
t
m 
(мин),
D
0,24
t

(мин2). Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Написать плотность распределения интервала времени между соседними событиями в данном потоке.
3.106 Поток вызовов, поступающих на АТС – простейший пуассоновский поток. Математическое ожидание числа вызовов, поступающих за 2 секунды, равно 7. Найти вероятность того, что 1) за 1 секунду поступит ровно 6 вызовов;
2) за 1 секунду не поступит ни одного вызова. Найти наиболее вероятное число вызовов, поступающих за 3 секунды.
3.107 Пассажир выходит на остановку автобуса в момент времени никак не связанный с расписанием. Поток автобусов представляет собой поток Эрланга k-го порядка с параметром

. Написать плотность распределения того интервала
*
T
между автобусами, на который попадет пассажир. Найти его математическое ожидание и дисперсию.
4,
4
k


 авт/час.
3.108 Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний системы
S
и найти предельные вероятности состояний системы, описываемой марковским процессом с непрерывным временем, граф состояний которой изображен ниже (вдоль стрелок указаны интенсивности перехода):
5 2
2 2
1 4
S
1
S
2
S
3
S
4

46 3.109 Даны три простейших пуассоновских потока с интенсивностями 1, 2 и 3 соб/мин. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) поступит не более 2-х требований объединенного потока, б) поступит больше одного требования объединенного потока. Найти наиболее вероятное число поступающих событий за одну минуту.
3.110 Производится случайное прореживание простейшего потока событий с интенсивностью
5


соб/мин, причем сохраняется только каждое четвертое событие. Каким будет поток, получающийся в результате такого просеивания.
Найти его интенсивность, а также плотность распределения интервала времени между соседними событиями в потоке. Найти вероятность того, что за 2 минуты не поступит ни одного события в образованном потоке.
3.111 Даны три простейших пуассоновских потока с интенсивностями 1.5, 1 и 2 требований/мин. Найти вероятность того, что за 3 минуты: а) поступит не более 3-х требований объединенного потока, б) не поступит требований. Найти наиболее вероятное число поступающих требований за одну минуту.
3.112 В результате статистической обработки промежутков времени T между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и дисперсии величины T :
1.8
t 
(мин),
D
0,27
t

. Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Написать плотность распределения величины T .
3.113 Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов системы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений
Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
4 1
1
S
1
S
2
S
3
S
4 2
3 2
3 4
1 1
2 2
S
1
S
2
S
3
S
4

47