панков практикум. Панков Практикум по АСП 21.05 (1). Практикум по дисциплине анализ случайных процессов Версия от 11. 05. 2021 Учебное пособие для обучающихся в бакалавриате по направлении
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
Раздел № 4 Элементы теории массового обслуживания. 4.1 Определить класс системы массового обслуживания по следующим основаниям: а) по характеру поступления заявок на обслуживание; б) по характеру поведения заявки в системе; в) по ограничению потока заявок; г) по числу каналов обслуживания. a. В районной налоговой инспекции в отделе по налогообложению физических лиц работают 3 инспектора. Ежедневно декларации о доходах принимаются с 16 до 18 часов. Если плательщик заходит в отдел, когда все работники заняты, но до конца приема есть время, то он становится в очередь и ожидает приема. Если время приема закончено, то плательщик покидает отдел. b. Частная компания имеет 5 вертолетов для коммерческих перевозок. Эти вертолеты обслуживаются двумя инженерами-техниками. Профилактические осмотры осуществляются раз в неделю в порядке очередности. В случае поломки какого-либо вертолета сначала выполняются ремонтные работы по устранению его неполадок и только потом плановый профилактический осмотр. 4.2 В мастерской бытового обслуживания работают 4 мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую в течение часа, равно 25, а среднее время обслуживания одного клиента мастером равно 6 минутам. Определить 1) вероятность того, что клиент получит отказ; 2) вероятность того, что клиент будет обслужен; 3) среднее число клиентов, обслуживаемых мастерской в течение часа; 4) среднее число занятых мастеров. 4.3 В парикмахерской работают 3 мастера. Если клиент заходит в парикмахерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в парикмахерскую в течение часа, равно 12, а среднее время обслуживания одного клиента мастером равно 15 минутам. Определить 1) вероятность того, что клиент получит отказ; 2) вероятность того, что клиент будет обслужен; 3) среднее число клиентов, обслуживаемых парикмахерской в течение часа; 4) среднее число занятых мастеров. 4.4 Таможенный пропускной пункт обслуживает погранзастава из 7 пограничников. Время, которое каждый пограничник тратит на досмотр груза в среднем равно 20 минутам. Количество машин, прибывающих к таможенному пункту за час, в среднем равно 15. Определить основные характеристики СМО (вероятность того, что все пограничники свободны, вероятность того, что в очереди находится k машин, среднее число заявок, находящихся в очереди, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе, среднее время обслуживания одной заявки). 4.5 Два рабочих обслуживают группу из 8 станков. В среднем каждый станок останавливается раз в час. Обслуживание 1 станка занимает у рабочего в среднем 10 минут. Найти среднее число неисправных автоматов, среднее число автоматов в очереди, ожидающих ремонта, среднее число свободных рабочих. Какова вероятность того, что не менее 3 станков находятся в рабочем состоянии. 48 4.6 В железнодорожной кассе имеются 3 окна. Время, которое тратит кассир на обслуживание одной пассажира, равно 5 минутам, пассажиры подходят к кассе, в среднем , по 15 человек в час. Найти 1) вероятность того, что все кассиры свободны; 2) среднее число занятых кассиров; 3) среднее число пассажиров в очереди; 4) среднее число пассажиров у касс; 5) среднее время, которое пассажир проводит в очереди; 6) среднее время, которое пассажир тратит на приобретение билета. 4.7 В кооперативе по ловле рыбы имеется 7 катеров, для ремонта которых используется два дока. Док может принять для ремонта только один катер. В среднем на ремонт 1 катера уходит 10 дней (1/3 месяца). Каждый функционирующий катер выходит из строя в среднем 2 раза в месяц. Найти 1) вероятность того, что оба дока свободны; 2) среднее число занятых доков; 3) среднее число катеров в очереди на ремонт; 4) среднее время, которое катер проводит в очереди; 5) среднее время от выхода катера из строя до завершения ремонта. Какова вероятность того, что не менее 4 катеров находятся в рабочем состоянии. 4.8 Ремонтная бригада на трубопроводе состоит из 6 человек и работает по плану, в котором установлена очередность объектов, нуждающихся в профилактике и ремонте. Бригада выезжает на объект в полном составе и переходит на следующий объект только после окончания работ на предыдущем. В среднем за неделю поступает одна заявка. Одни рабочий мог бы выполнить полный объем работ, в среднем, за две недели. Найти среднее время, необходимое бригаде для проведения работ на одном объекте. 4.9 Транспортная фирма, имеющая в своем распоряжении 7 машин, принимает заявки на перевозку урожая различных культур. В среднем, за рабочий день (12 часов) поступает 5 заявок. Время погрузки, доставки к хранилищу и разгрузки для одной машины , в среднем занимает 9 часов. Контора не принимает заявок на перевозку от хозяйств, пока не выполнить текущий заказ. Найти 1) вероятность того, что очередная заявка получит отказ; 2) вероятность того, что заявка будет обслужена; 3) среднее число заявок, которые фирма может обслужить за день. 4.10 Бригада грузчиков из 7 человек работает на разгрузке грузовиков, прибывающих на овощную базу. Разгрузка одной машины производится всей бригадой, а машина, прибывающая в момент разгрузки, ставится в очередь. В среднем на базу за 2 часа прибывают три машины. Работая один, грузчик разгружает машину за 5 часов. Оценить эффективность такой организации разгрузки с точки зрения времени, затрачиваемого на разгрузку одной машины. 4.11 Транспортная фирма, имеющая в своем распоряжении 6 машин, принимает заявки на перевозку урожая различных культур. В среднем, за рабочий день (12 часов) поступает 4 заявки. Время погрузки, доставки к хранилищу и разгрузки для одной машины , в среднем. Занимает 10 часов. Контора, помимо текущего заказа принимает 2 заявки на перевозку от хозяйств и обслуживает их по очереди. Найти 1) вероятность того, что очередная заявка 49 получит отказ; 2) вероятность того, что заявка будет обслужена; 3) среднее число заявок, которые фирма может обслужить за день. 4.12 Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) с отказами. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [час -1 ]. Среднее время обслуживания заявки равно t ser [мин]. Время обслуживания распределено по показательному закону. Определить: 1) число каналов, при котором вероятность того, что заявка получит отказ, не больше α; 2) абсолютную пропускную способность СМО; 3) среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок; 4) среднее время пребывания заявки в СМО; 5) среднее время простоя одного (произвольно взятого) канала № λ t ser α № λ t ser α a. 12 12 0,07 f.. 6 15 0,02 b. 13 12 0,08 g. 7 15 0,03 c. 19 6 0,04 h. 11 12 0,05 d. 9 15 0,06 i. 5 30 0,07 e. 9 12 0,03 j. 11 15 0,09 4.13 Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) с ожиданием. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час]. Среднее время обслуживания заявки равно t ser [мин]. Время обслуживания распределено по показательному закону. Определить: а) существует ли стационарный режим работы СМО; б) среднее число заявок, находящихся в СМО; в) среднее время пребывания заявки в СМО; г) вероятность того, что все каналы заняты; д) среднее время простоя одного (произвольно взятого) канала. № n λ t ser № n λ t ser a. 5 18 15 f.. 3 10 12 b. 4 5 30 g. 5 22 12 c. 3 18 6 h. 4 20 7,5 d. 5 30 6 i. 3 14 7,5 e. 4 19 6 j. 3 12 12 4.14 Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) с ожиданием и ограничением на длину очереди. Число мест в очереди равно m. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час]. Среднее время обслуживания заявки равно t ser [мин]. Время обслуживания распределено по показательному закону. a. n = 4; m = 3; λ = 6; t ser = 40. Определить: 1) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием; 2) вероятность того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию; 3) вероятность того, что в СМО будет не более 2-х заявок. 50 b. п = 3; m = 4; λ = 8; t ser = 15. Определить: 1) вероятность того, что заявка получит отказ в обслуживании; 2) среднее число каналов, не занятых обслуживанием; 3) среднее время пребывания заявки в СМО; c. n = 4; m = 2; λ = 4; t ser = 60. Определить: 1) среднее число заявок в СМО; 2) среднее время пребывания заявки в очереди; 3) вероятность того, что будет простаивать не более одного канала. d. n = 3; m = 3; λ = 6; t ser = 20. Определить: 1) относительную пропускную способность СМО; 2) среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок; 3) среднее время пребывания заявки в СМО. e. n = 3; m = 4; λ = 9; t ser = 20. Определить: 1) абсолютную пропускную способность СМО; 2) среднее число заявок в очереди; 3) вероятность того, что не более 2-х каналов будут заняты обслуживанием заявок. f. n = 3; m= 3; λ = 5; t ser = 30. Определить: 1) вероятность того, что заявка получит отказ в обслуживании; 2) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием; 3) вероятность того, что менее 2-х заявок будут находиться в очереди на обслуживание. g. n = 2; m = 4; λ = 6; t ser = 15. Определить: 1) среднее число свободных каналов; 2) вероятность того, что заявка будет принята в СМО; 3) вероятность того, что заявка, поступившая в СМО, встанет в очередь на обслуживание. h. n = 4; m = 3; λ = 5; t ser = 30. Определить: 1) среднее число заявок, находящихся в СМО; 2) вероятность того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию; 3) вероятность того, что не более 2-х каналов будет занято обслуживанием заявок. i. n = 4; m= 3; λ = 9; t ser = 20 . Определить: 1) абсолютную пропускную способность; 2) среднее время пребывания заявки в СМО; 3) среднее число заявок в очереди. j. n = 3; m= 4; λ = 6; t ser = 15 . Определить: 1) относительную пропускную способность СМО; 2) среднее время ожидания заявки в очереди; 3) среднее число занятых каналов. 51 4.15 Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания. Заявка ожидает обслуживания в среднем t wait [мин], а затем покидает СМО. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час], среднее время обслуживания заявки равно t ser [мин]. a. n = 4; λ = 8; t ser = 15; t wait = 5. Определить: 1) абсолютную пропускную способность СМО; 2) среднее число заявок в очереди; 3) вероятность того, что в очереди будут находиться не более 2-х заявок. b. n = 3; λ = 6; t ser = 30; t wait = 15. Определить: 1) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием; 2) вероятность того, что заявка уйдет из очереди не обслуженной; 3) вероятность того, что менее 3-х заявок будут находиться в очереди на обслуживание. c. n = 4; λ = 9; t ser = 20; t wait = 10. Определить: 1) вероятность того, что заявка будет обслужена; 2) среднее время пребывания заявки в СМО; 3) среднее число свободных каналов. d. n = 3; λ = 10; t ser = 15; t wait = 12. Определить: 1) среднее число заявок, находящихся в СМО; 2) вероятность того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию; 3) среднее время простоя канала. e. n = 3; λ = 8; t ser = 30; t wait = 10. Определить: 1) среднее число заявок в очереди; 2) абсолютную пропускную способность СМО; 3) среднее время пребывания заявки в СМО. f. n = 4; λ = 10; t ser = 15; t wait = 6. Определить: 1) среднее число занятых каналов; 2) относительную пропускную способность СМО; 3) среднее время ожидания заявки в очереди. g. n = 3; λ = 6; t ser = 20; t wait = 12. Определить: 1) вероятность того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию; 2) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием; 3) вероятность того, что в СМО будет не более 4-х заявок. h. n = 4; λ = 12; t ser = 12; t wait = 6. Определить: 1) вероятность того, что заявка уйдет из СМО не обслуженной; 2) среднее время пребывания заявки в СМО; 3) среднее число каналов, не занятых обслуживанием. i. n = 3; λ = 15; t ser = 12; t wait = 5. Определить: 1) среднее число заявок в СМО; 2) среднее время простоя канала; 3) вероятность того, что будет простаивать не более одного канала. 52 j. n = 4; λ = 10; t ser = 12; t wait = 3. Определить: 1) относительную пропускную способность СМО; 2) среднее время пребывания заявки в СМО; 3) среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок. 4.16 Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) замкнутого типа с m источниками заявок. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час], среднее время обслуживания заявки равно t ser [мин]: a. n = 2; m = 7; λ = 3; t ser = 15. Определить: 1) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием; 2) среднее время ожидания заявки в очереди; 3) вероятность того, что не менее 4-х источников будут находиться в активном состоянии. b. n = 3; m= 8; λ = 2; t ser = 20. Определить: 1) среднее число заявок в очереди; 2) среднее время простоя источника; 3) вероятность того, что не более 5-ти источников будут находиться в пассивном состоянии. c. n = 2; m = 8; λ = 1; t ser = 30. Определить: 1) среднее число заявок в СМО; 2) вероятность того, что поступившая заявка сразу же будет принята к обслуживанию; 3) вероятность того, что не менее 4-х заявок будут ожидать в очереди на обслуживание. d. n = 3; m = 7; λ = 2; t ser = 15. Определить: 1) среднее число простаивающих каналов; 2) вероятность того, что поступившая заявка встанет в очередь для ожидания начала обслуживания; 3) вероятность того, что будет простаивать не более одного канала. e. n = 4; m = 8; λ = 3; t ser = 12. Определить: 1) среднее число занятых каналов; 2) среднее время простоя канала; 3) вероятность того, что более 2-х источников будут находиться в активном состоянии. f. n = 3; m = 7; λ = 4; t ser = 10. Определить: 1) вероятность того, что произвольный источник находится в активном состоянии (коэффициент готовности); 2) среднее время пребывания заявки в СМО; 3) вероятность того, что в очереди на обслуживание будет более 2-х заявок. g. n = 3; m = 8; λ = 3; t ser = 10. Определить: 1) среднее число заявок в очереди; 53 2) вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию; 3) вероятность того, что заняты все каналы. h. n = 2; m = 8; λ = 2; t ser = 12. Определить: 1) среднее число источников, находящихся в пассивном состоянии; 2) вероятность того, что поступившая заявка встанет в очередь для ожидания начала обслуживания; 3) вероятность того, что в очереди на обслуживание окажется не более 3-х заявок. i. n = 4; m = 7; λ = 6; t ser = 7,5. Определить: 1) вероятность того, что произвольный источник находится в активном состоянии (коэффициент готовности); 2) среднее число простаивающих каналов; 1) среднее время ожидания заявки в очереди. j. n = 3; m= 8; λ = 9; t ser = 4. Определить: 1) среднее число занятых каналов; 2) среднее время простоя канала; 3) вероятность того, что в СМО будет менее 6-ти заявок. 54 Использованная литература 1. Вентцель Е.С., Задачи и упражнения по теории вероятностей. / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. — М.: Юстиция, 2018. — 494 с. 2. Вентцель Е.С., Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. — М.: КНОРУС, 2016. — 448 с. 3. Израйлевич В.Л. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике часть 2. Случайные процессы / В.Л. Израйлевич, И.А. Кузнецова, О.А. Мыльцина, И.Я. Чернявский. — Саратов: Саратовский государственный университет, 2009. — 50 c. 4. Кадомская К.П. Теория случайных процессов. Сборник задач для студентов курса и магистрантов факультета энергетики. / К.П. Кадомская. — Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 1998. — 26 c. 5. Лабскер Л.Г. Вероятностное моделирование в финансово-экономической области. / Л.Г. Лабскер. — М.: Инфра-М, 2019. — 176 с. 6. Панков К.Н. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике для инженерных специальностей. Учебно-методическое пособие. / К.Н. Панков, Д.А. Лосев– М.: в/ч 33965, 2015. — 265 с. 7. Панков К.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Ч.1. Учебное пособие. / К.Н. Панков. – М.: МТУСИ, 2021. — 91 с. — Текст : электронный // Система дистанционного обучения МТУСИ: [сайт]. — URL: https://lms.mtuci.ru/lms/pluginfile.php/42038/mod_resource/content/1/Панков %20Пособие%20по%20ТВиМС%20часть%201.pdf 8. Син Л.И. Задачи “Элементы теории случайных процессов” для студентов 2 – 3 курсов радиотехнических специальностей Л.И. Син, И.С. Шрайфель Шахты: Южно-российский государственныйуниверситет экономики и сервиса, 2002, — 25 c. 55 Приложение - греческий алфавит Начертание Произношение ; альфа ; бета ; гамма ; дельта ; эпсилон ; дзета ; эта ; , тэта ; йота ; каппа ; лямбда ; мю ; ню ; кси ; омикрон ; пи ; ро ; сигма ; тау ; ипсилон ; , фи ; хи ; пси ; омега 56 Оглавление Раздел № 1 Основные понятия. Стационарные процессы .......................... 3 Раздел № 2 Дискретные цепи Маркова ...................................................... 18 Раздел № 3 Марковские процессы с непрерывным временем. Пуассоновский поток. Поток Эрланга. ...................................................... 29 Раздел № 4 Элементы теории массового обслуживания. .......................... 47 Использованная литература ........................................................................ 54 Приложение - греческий алфавит ............................................................... 55 Оглавление ................................................................................................... 56 57 План УМД на 2020/21 уч.г. С. __, п. __ Константин Николаевич Панков ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ» Учебное пособие Подписано в печать __.__.2021г. Формат 60х90 1/16. Объём усл.п.л. Тираж экз. Изд. № . Заказ |