Практикум по решению физических задач с применением компьютера молекулярная физика и термодинамика методическое пособие новосибирск
 Скачать 1.09 Mb.
|
|
Matplotlib, строим график составного процесса. Пример 4.1. Автомобильная камера накачана до давления 1 220 p кПа при температуре 1 290 T К. Вовремя движения она нагрелась до температуры 2 330 T Кис шумом лопнула. Считая процесс, происходящий после повреждения камеры, адиабатным, определить изменение температуры вышедшего из нее воздуха. Внешнее давление кПа. Решение Выделим два термодинамических процесса задачи. Первый 1 2 – изохорическое нагревание воздуха в камере второй 2 0 – адиабатическое расширение воздуха 1) 1 1 2 2 / / p T p T , 2 1 2 1 / p p T T ; 2) (1 )/ (1 )/ 2 0 2 0 T p T p , где 0 T – температура воздуха в конце адиабатического расширения, (1 )/ (1 )/ 0 2 2 0 / T T p p . Найдем разность температур и 2 T T (1 )/ 2 0 ( / ) 1 p p . 40 Составим программу TD_N4_1_TD_1.py для расчета T Листинг программы TD_N4_1_TD_1.py 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 # Пример 4.1. TD_N4_1_TD_1.py import matplotlib.pyplot as plt import math as mt R=8.31;p0=1.0e5;p1=2.2e5;T1=290;T2=330;g=1.4; b=(1-g)/g;c=1/b;p2=p1*T2/T1; T0=T2*mt.pow(p2/p0,b); DT=T2-T0; print ("p2=%8.3e"%p2,"T0=%5.1f"%T0,"DT=%5.1f"%DT); N1=100; dT1=(T2-T1)/N1; dT2=(T0-T2)/N1; t=[];DN=[]; t.append(T1); DN.append(p1) for i in range(1,N1): t1=T1+i*dT1; t.append(t1); DN.append(p1*t1/T1) for i in range(1,N1): t1=T2+i*dT2; t.append(t1);DN.append(p2*mt.pow(T2/t1,c)); plt.plot(t,DN,'k-') plt.xlabel('$T$',fontsize=14) plt.ylabel('$p$',fontsize=14) plt.show() Комментарий к программе. Строки 00 – комментарий 01-02 – подключение библиотек matplotlib.pyplot, math; 03 – определение исходных данных 04-06 – расчет 2 0 , , p T T и их вывод 07 – определение двух сеток для процессов 1 2 и 2 0 соответственно 08-13 – вычисление одномерных массивов температуры и давления 14-17 – графический вывод результатов расчета (рис. 4.1). Вычисление 2 0 , , p T T для исходных данных дает такой результат Рис. 4.1. Зависимость давления от температуры в процессе 1 2 0 Ответ К. Примечание Самые большие грузовики трудятся в карьерах, их грузоподъемность более 300 тонн, например, БЕЛАЗ-75710 имеет рекордную грузоподъемность 450 тонн. Определите, насколько понизится температура, если лопнет шина такого карьерного самосвала. Пример 4.2. В результате обратимого адиабатического расширения температура 1 кг азота понижается на 20 К. Определить работу, совершаемую газом при расширении. Учесть, что колебательные степени свободы молекул азота при рассматриваемых температурах не возбуждаются. Решение Для расчета работы адиабатического расширения удобно использовать первую формулу (46). Учитывая, что / v m и 1.4 , найдем величину работы A адиабатического расширения. Составим программу для расчета 12 A . 42 Листинг программы TD_N4_2_TD_1.py 00 01 02 03 # Пример 4.2. TD_N4_2_TD_1.py R=8.31;mu=0.028; m=1.0;DT=20; g=1.4; A12=m*R*DT/(mu*(g-1)); print ("A12=%8.3e"%A12); Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01 – определение исходных данных 02 – расчетная формула для работы 12 A – адиабатического расширения 03 – вывод результата расчета 12 A . Вычисление адиабатической работы дает такой результат >>> A12=1.484e+04 >>> Ответ кДж. Пример 4.3. Смешали две части водорода и одну часть кислорода по объему. Общая масса смеси 72 г, температура 290 К. Определить молярную теплоемкость V C и внутреннюю энергию U смеси газов. Параметры 1 5 i , 2 5 i , 1 0.002 , 2 0.032 кг/моль. Решение Внутренняя энергия смеси газов есть сумма внутренних энергий компонентов 1 2 V U U U vC T , где / 2 V C iR – молярная теплоемкость при постоянном объеме. Найдем количество молей v вещества. Для этого воспользуемся законом Авогадро в форме в равных объемах содержится равное количество молей газов при прочих равных условиях, тогда 1 1 2 m n – масса водорода, 2 2 m n – масса кислорода, где n – число частей компонент смеси, которое определим из массы смеси 1 2 m m m , 1 2 2 m n n и 1 2 / (2 ) n m . Число молей смеси газов есть 1 2 v v v 1 1 2 2 / / v m m . Составим программу TD_N4_3_TD_1.py для расчета , . V C U 43 Листинг программы TD_N4_3_TD_1.py 00 01 02 03 04 05 # Пример 5.3. TD_N5_3_TD_1.py R=8.31;mu1=0.002;mu2=0.032;m=0.072;T=290; n=m/(2*mu1+mu2); m1=2*n*mu1; m2=n*mu2; v1=m1/mu1; v2=m2/mu2; v=v1+v2; i1=i2=5; CV=0.5*i1*R; U=v*CV*T; print ("CV=%8.3f"%CV," U=%8.3e"%U); Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01-03 – определение исходных данных 04 – расчетные формулы для молярной теплоемкости и внутренней энергии смеси газа U; 05 – вывод результатов расчета. После вычисления мы получили такой результат >>> CV= 20.775 U=3.615e+04 >>> Ответ 21 V C Дж/моль·К, 36 U кДж. Самостоятельная работа 4 4.1. Один моль идеального двухатомного газа сначала изохориче- ски нагрели, а затем изобарически охладили до первоначальной температуры К, уменьшив при этом объем газа в 3 раза. Какое количество теплоты получил газ на первом участке Какая работа совершена газом на втором участке 4.2. Расширяясь, один моль водорода совершил работу, равную 10 Дж. Какое количество теплоты было подведено к газу, если газ расширялся а) изотермически; б) изобарически? 4.3. Принимая, что процесс распространения звука в воздухе является адиабатическим, Пьер Лаплас для определения скорости звука получил формулу / p , где p – давление, – плотность воздуха показатель адиабаты. Докажите а) что скорость звука в воздухе является функцией температуры б) что скорость звука при 44 температуре 0 С равна 332 мс определите скорость звука при температуре С. 4.4. Воздух, занимавший объем 10 л при давлении 1 атм, был адиабатически сжат до объема 1 л. Под каким давлением находился воздух после сжатия А При адиабатическом увеличении объема враз его внутренняя энергия уменьшилась на 42 кДж. Начальная температура кислорода К. Найти массу кислорода. 4.6. Сравнить конечные температуру и объем воздуха при его сжатии в поршневом компрессоре от 1 до 5 атм а) адиабатически б) изо- термически. 4.7. Вычислить удельные теплоемкости V c и p c для газовой смеси, состоящей из 7 г азота и 20 г аргона. Газы идеальные. 5. ЦИКЛЫ. ЦИКЛ КАРНО. ЭНТРОПИЯ Коэффициент полезного действия (КПД) * 1 2 1 2 1 1 1 1 1 , Q Q T T A Q Q T , (49) где A – работа системы за цикл 1 Q – количество теплоты, полученной рабочим телом системы от нагревателя 2 Q – количество теплоты, отданной рабочим телом системы холодильнику 1 T – температура нагревателя 2 T – температура холодильника. Коэффициент преобразования холодильника (КПХ) * 3 2 2 2 1 2 | | , | | Q T A T T , (50) где 3 Q – количество теплоты, полученной рабочим телом от холодильника работа системы за цикл. 45 Энтропия S Q dS T , 2 1 Q S T , (51) 0 ln ( ) S k , (52) где 0 – число микросостояний, посредством которых реализуется состояние системы (статистический вес макросостояния) Пример 5.1. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изохор (1-2, 3-4) и двух адиабат (2-3, 4-1). Температура рабочего тела (двухатомный газ) в точках 1, 2 и 4 равна 1 524 T К, 2 786 T К и 4 300 T К. Найти температуру 3 T и коэффициент полезного действия. Решение Состояния в краевых точках цикла 1 1 1 p V RT , 2 2 2 p V RT , 3 3 3 p V RT , 4 4 4 p V RT . В цикле 1 2 V V и 3 4 V V . Состояния 2-3 и 4-1 связаны таки, те и 1 1 4 4 1 / ( / ) T T V V , поэтому 2 3 1 4 / / T T T T . Таким образом, 3 2 4 1 / T T T На участке 1-2 тепловая машина получает энергию 12 Q от нагревателя, а на участке 3-4 отдает количество теплоты 34 Q холодильнику. Коэффициент полезного действия равен 1 12 / A Q , где 12 23 34 41 A A A A A , 23 41 A A A и, окончательно, 12 34 A считается, что диссипативных потерь нет. Согласно первому началу термодинамики 12 2 1 ( / 2) ( ) Q i R T T и 34 4 3 ( / 2) ( ) Q i R T T , тогда КПД тепловой машины равен 1 2 1 3 4 2 1 ( ) / ( ) T T T T T T Дополнение При решении задачи зачастую не проводят анализ правильности решения. На этом этапе использование численного моделирования достаточно эффективно. Например, расширим постановку задачи и найдем КПД цикла 2 , вычисляя параметры процесса. Для численного расчета циклической диаграммы в координатах ( , ) p V необходимо доопределить одно состояние, например, первое. 46 Состояние 1 определим как 5 1 10 p Па, 1 0.1 V ми вычислим инвариант цикла 1 1 1 / R p V T (произвольное задание начального состояния не должно влиять начисленное значение КПД 2 цикла, так как в расчетной формуле КПД 1 используются только температуры. Состояние 2 определяем из изохорического процесса 1 1 2 2 / / p T p T , 2 1 2 1 / p p T T , 2 1 V V . Состояние 3 определяем из адиабатического процесса 2 3 2 3 p V p V , 1 1 2 3 2 3 T V T V , 1/( 1) 3 2 2 3 ( / ) V V T T , 3 3 3 p V vRT , 3 1 1 1 3 3 ( / ) / p p V T T Состояние 4 определяем из изохорического процесса 3 3 4 4 / / p T p T , 4 3 4 3 / p p T T , 4 3 V V . Найдем работу тепловой машины за цикл 12 23 34 41 23 41 3 1 3 1 2 4 2 4 2 4 2 4 A A A A A A A dV dV pdV pdV p V p В листинге программы расчета приведен простейший квадратурный метод прямоугольников (28) для расчета интегралов. Составим программу для расчета КПД тепловой машины Листинг программы TD_N5_1_engine_1.py 00 01 02 03 04 05 06 07 # Пример 5.1. Тепловая машина Карно g=1.4; T1=524.0; T2=786.0; T4=300.0 T3=T4*T2/T1 k1=(T2-T1-T3+T4)/(T2-T1) print ("T3=%6.1f"%T3," k1=%5.3f"%k1) p1=1.0e5; V1=0.1; vR=p1*V1/T1; p2=p1*T2/T1; V2=V1 V3=V2*(T2/T3)**(1/(g-1)); p3=vR*T3/V3 47 08 09 10 11 12 13 14 15 16 p4=p3*T4/T3; V4=V3 NV=4000; dV=(V4-V1)/NV; s1=0.0;s2=0.0; a1=p1*V1**g;a2=p2*V2**g; for i in range(1,NV): v=V1+(i-1)*dV s1=s1+dV*a1/(v**g);s2=s2+dV*a2/(v**g) print ("s1=%5.3e"%s1, " s2=%5.3e"%s2) A=s2-s1;Q12=vR/(g-1)*(T2-T1); k2=A/Q12;dk=(k2-k1)/k1 Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01 – исходные данные 02 – вычисление 3 T и КПД рабочего цикла 1 ; 04 – вывод рассчитанных значений 3 T и 1 ; 05 – доопределение (BOGUS DATA) параметров цикла состояние 1) 1 p , 1 V ; 06-08 – вычисление параметров циклического процесса 09 – задание параметров сетки 11-14 – вычисление и вывод работ на участках 23 A 2-3 и 14 A 4-1; 15-16 – вычисление и вывод суммарной работы цикла, теплоты поступающей в нагреватель, КПД и относительной точности КПД. После вычисления мы получили такой результат >>> T3= 450.0 k1=0.427 s1=1.069e+04 s2=1.603e+04 A=5.345e+03 Q12= 1.250e+04 k= 0.428 dk=0.0002 >>> Итак, относительная погрешность приближенного расчета 4 1 2 1 | | / 2 10 , следовательно, результаты расчета с хорошей точностью совпали. Как убедились, от конкретных значений давления и объема начального состояния результат не зависит. Ответ К, 1 0.428 Пример 5.2. Холодильная машина работает по обратному циклу Карно в интервале температур от 250 до 310 К. Рабочее тело – азот, 48 масса которого 0.2 m кг. Найти количество теплоты 3 Q , отбираемого от охлаждаемого тела, работу внешних сил * A зацикли КПХ холодильной машины, если отношение максимального объема 2 V к минимальному равно пяти. Решение Обратный цикл Карно состоит из 1-2 – изотермического расширения при температуре 2 T в тепловом контакте с охлаждаемым телом, при этом рабочим телом производится работа 12 A и отбирается 3 Q теплоты от холодильника 2-3 – адиабатического сжатия, при этом температура рабочего тела возрастает до 1 T , над рабочим телом совершается работа 23 A ; 3-4 – изотермического сжатия при температуре, при этом в теплообменнике выделяется 4 Q теплоты и передается в термостат (комнатный воздух 4-1 – адиабатического расширения, при этом температура понижается до 2 T , рабочее тело совершает работу. Выпишем формулы, описывающие этот цикл 1-2: 12 2 2 1 ln( / ) A RT V V , 3 12 Q A ( 12 0 U ); 2-3: 23 0 Q , 23 23 A U , 23 1 2 ( ) V A C T T ; 3-4: 34 1 4 3 ln( / ) A RT V V , 4 34 Q A ( 34 0 U ); 4-1: 41 0 Q , 41 41 A U , 41 2 1 ( ) V A C T T Полная работа за цикл 12 23 34 41 A A A A A , 0 273 T , 5 0 1.013 10 p , 2 2 1 1 4 3 ln( / ) ln( / ) A RT V V RT V V Для цикла Карно известно, что 2 1 3 4 / / V V V V и 2 1 ( ) A R T T 2 1 ln( / ) V V . Найдем отношение объемов из условия задачи 2 4 / 5 V V n , а 4 V связан с 1 V уравнением Пуассона 1 const TV , тогда 1 1 1 2 4 1 T V T V , 1/( 1) 1 4 1 2 ( / ) V V T Тогда 2 1 / V V 1/( 1) 1/( 1) 4 4 1 2 2 1 / ( / ) ( / ) nV V T T n T T . Полная работа за цикл равна 1/( 1) 2 1 2 1 ( )ln ( / ) A R T T n T T , работа внешних сил (компрессора) 49 равна * A A , количество теплоты, отнятой у охлаждаемого тела, равна 1/( 1) 3 2 2 1 ln ( / ) Q RT n T T , холодильный коэффициент 2 3 / | | Q A Составим программу TD_N5_2_cryo_1.py для расчета , . V C U Листинг программы TD_N5_2_cryo_1.py 00 01 02 03 04 05 06 07 08 # Пример 5.2. Холодильная машина Карно import math as mt R=8.31;g=1.4;mu=0.028;m=0.2;T1=310;T2=250;a24=5; v=m/mu; b=1/(g-1); a21=a24*mt.pow(T1/T2,b); A0=v*R*(T2-T1)*mt.log(a24*a21); Q3=v*R*T2*mt.log(a24*a21); k1=Q3/mt.fabs(A0); k2=T2/(T1-T2); A1=-A0; print ("A1=%6.3e"%A1," Q3=%6.3e"%Q3) print ("k1=%5.3f"%k1, " k2=%5.3f"%k2) Комментарий к программе. Строки 00 – комментарий 01 – подключение библиотеки math; 02 – определение исходных данных 03-06 – расчетные формулы 2 1 / V V (a21), работы A рабочего тела за цикл (A0), количество теплоты, отнятое у охлаждаемого резервуара (Q3); КПХ 1 (k1), КПХ 2 тепловой машины, работающей по обратному циклу Карно, рассчитанный по второй формуле (50) (k2); 07-08 – вывод результатов расчета. После вычисления мы получили такой результат >>> A1=1.338e+04 Q3=5.575e+04 k1=4.167 k2=4.167 >>> Проверка КПХ тепловой машины, работающей по обратному циклу Карно, согласно (50) равен * 2 2 , что и требовалось показать. Ответ * 13 A кДж, 3 56 Q кДж, 2 4.2 50 Пример 5.3. Главный герой романа известного писателя Ж. Верна Вокруг света в 80 дней Филеас Фогг требовал от слуги, чтобы тот готовил воду строго определенной температуры. Паспарту эту задачку решил. Решим подобную задачу. Смешали 3 л воды при температуре 10 С с 2 л воды при температуре 100 С. Найти 1) температуру смеси 2) изменение энтропии, происходящее при смешивании. Теплоемкость воды 4190 c Дж/кг · К. Решение 1. Количество теплоты, которым обмениваются эти части 1 1 1 ( ) Q cm T T и 2 2 2 ( ) Q cm T T , численно равно 1 2 Q Q , те, тогда 1 1 2 2 ( ) ( ) m T T m T T и получаем расчетную формулу 1 1 2 2 ( ) / T m T m T m , где 1 2 m m m 2. Найдем изменение энтропии при смешивании двух частей воды, для этого используем (51) и, учитывая, что изменение энтропии при смешивании равно сумме изменения энтропий смешиваемых частей 1 2 S S S , где 1 2 1 1 1 1 1 ln T T Q dT T S cm cm T T T , 2 2 2 2 2 2 1 ln T T Q dT T S cm cm T T T , получаем 1 2 1 2 ln ln T T S cm cm T T Составим программу TD_N5_3_entropy_1.py для расчета , . T S Листинг программы TD_N5_3_entropy_1.py 00 01 02 03 04 05 # Пример 6.3. Энтропия import math as mt m1=3; m2=2; T1=283; T2=373; c=4190; m=m1+m2; T=(m1*T1+m2*T2)/m; DS=c*m1*mt.log(T/T1)+c*m2*mt.log(T/T2); print ("T=%4.1f"%T," DS=%6.3f"%DS) Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01 – подключение библиотеки math; 02 – определение исходных данных, 03 – расчетные 51 формулы m, температуры смеси T холодной и горячей воды 04 – изменение энтропии при смешивании S (DS); 05 – вывод результатов расчета. После вычисления мы получили такой результат >>> T=319.0 DS=194.659 >>> Ответ 1. 319 T Кили. Паспарту смешивал в определенной пропорции две части воды, одна часть воды при температуре, меньшей требуемой, а вторая – большей температуры, чем требуемая. 2. 195 S Дж/К. Пример 5.4. Найти приращение энтропии двух молей идеального газа с показателем адиабаты 1.3 , если в результате некоторого процесса объем газа увеличился в 2 раза, а давление уменьшилось в 3 раза. Решение Энтропия является функцией состояния, следовательно, неважно, при помощи каких обратимых процессов система перешла изначального состояния 1 в конечное состояние тогда мы разобьем весь процесс на 1-3 – изохорический процесс и 3-2 – изобарический процесс, как показано на рис. 5.1. При помощи) найдем изменение энтропии 3 2 3 2 12 13 32 1 3 1 3 V p Q Q dT dT S S S vC vC T T T T или 3 2 12 1 3 ln Рис. 5.1. Изопроцессы в координатах p, V 52 На участке 13: 1 1 2 3 / / p T p T и 3 1 2 1 / / 1 / T T p p , на участке и 2 3 2 1 / / T T V V . Учитывая, что показатель адиабаты / p V C C и / 2 / ( 1) V C iR R , получаем для изменения энтропии 12 ln ln p V S vC vC и 12 ( ln ln ) V S vC ( ln ln ) / ( 1) vR . Составим программу TD_N5_4_entropy_1.py для расчета S . Листинг программы TD_N5_4_entropy_1.py 00 01 02 03 04 # Пример 5.4. Энтропия import math as mt R=8.31; v=2; g=1.3; a=2; b=3; CV=R/(g-1); DS=v*CV*(g*mt.log(a)-mt.log(b)); print ("DS=%6.3f"%DS) Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01 – подключение библиотеки math; 02 – определение исходных данных 03 – расчетные формулы V C (CV), изменение энтропии при смешивании S (DS); 04 – вывод результатов расчета. После вычисления мы получили такой результат >>> DS=-10.943 >>> Ответ 11 S Дж/К. Самостоятельная работа 5 5.1. Паровая машина мощностью 14.7 кВт потребляет за один час работы 8.1 кг угля с удельной теплотой сгорания 7 3.3 10 Дж/кг. Температура котла 473 К, холодильника 331 К. Найти КПД этой машины и сравнить его с КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно. 5.2. Домашний холодильник потребляет из электрической сети 200 Вт. Температура окружающей среды (воздух в комнате) равна 293 К. Определить температуру в камере холодильника, если количество отведенного тепла враз превышает количество затраченной энергии. Холодильник работает по циклу Карно. 5.3. Масса водорода, равная 6.6 г, изобарически расширяется от V до 2 . V Найти изменение энтропии при этом расширении. 5.4. Идеальный газ, расширяясь изотермически при температуре 400 К, совершает работу 800 Дж. Что происходит при этом с энтропией. Некоторое количество идеального газа (воздух) совершает цикл, состоящий из двух изохор 12 и 34 при объемах 1 25 V лили двух изотерм при температурах 1 300 T К и 2 600 T К. Доказать, что КПД этого цикла меньше, чему цикла Карно. 6. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА Диффузия. Закон Фика ( ) i i n i dn J x D S dx , i i i d m D St dx , 1 3 i i D , (53) где i n J – поток молекул i D – коэффициент диффузии i n – концентрация масса i – плотность i – средняя скорость (18) молекул й компоненты газа соответственно S – площадь поперечного сечения t – длительность процесса. Внутреннее трение. Вязкость. Закон Ньютона d F S dy , 1 3 , (54) где F – касательная сила трения между слоями газа или между поверхностью тела и примыкающим слоем / d dy – градиент скорости течения слоев газа (жидкости – коэффициент динамической вязкости плотность газа (жидкости – средняя арифметическая скорость молекул – средняя длина свободного пробега молекул S – площадь касательной поверхности. 54 Теплопроводность. Закон Фурье Q T dT J S dx , 1 3 T V c , 2 V i c R . (55) где Q J – поток энергии T – коэффициент теплопроводности S – площадь поперечного сечения V c – удельная теплоемкости материала градиент температуры – плотность материала – средняя арифметическая скорость молекул. Параметры 1 2 , 2 z n n , 1 2 n . (56) где z – среднее число соударений молекулы газа в единицу времени – эффективное поперечное сечение, 2 d ; d – эффективный диаметр молекулы n – концентрация молекул – среднее время свободного движения. Вероятность того, что молекулы испытывают столкновения, пройдя путь x на отрезке [ , ] x x dx , ( , ) ( ) dW x x dx w x dx , ( ) exp( / ) / w x x , (57) где ( ) w x – плотность распределения вероятности. Пример 6.1. Какая часть молекул азота, находящегося при температуре К и давлении 2.5 Па, имеет длину свободного пробега, лежащую в интервале от 1 2.5 x мм до 2 3.5 x мм Эффективный диаметр молекулы азота 0.36 нм. Решение Найдем среднюю длину свободного пробега по (56), для этого надо найти концентрацию азота / n p kT ; эффективное поперечное сечение молекулы азота 2 d ; 1/ 2 n м. Искомую вероятность найдем из (57) интегрированием 2 1 1 2 1 ( , ) exp x x x W x x dx , 1 2 1 2 ( , ) exp( ) exp( ) W x x r r , (58) где 1 1 / r x и 2 2 / r x . 55 Составим программу TD_N6_1_transfer_1.py для расчета вероятности Листинг программы TD_ N6_1_transfer_1.py 00 01 02 03 04 05 # Пример 6.1. Явление переноса import math as mt k=1.38e-23;T=273;p=2.5;d=0.36e-9; x1=0.0025;x2=0.0035; sigma=mt.pi*d*d; n=p/(k*T); lam=1/(mt.sqrt(2)*sigma*n); r1=x1/lam; r2=x2/lam; W=mt.exp(-r1)-mt.exp(-r2); print ("W=%6.3f"%W) Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01 – подключение библиотеки math; 02 – определение исходных данных 03 – расчетные формулы (sigma), концентрации n (n), средней длины свободного пробега (lam); 04-05 – вычисление пределов интегрирования 1 r (r1), 2 r (r2), вероятности молекул иметь в интервале от 1 x до 2 x ; 06 – вывод результатов расчета. Результат машинного расчета такой >>> W= 0.122 >>> Ответ 2 ( , ) 0.12 W x Пример 6.2. Расстояние между катодом и анодом в разрядной трубке равно 15 L см. Какое давление надо создать в трубке, чтобы электроны не сталкивались с молекулами по пути от катода к аноду Температура 300 T К эффективный диаметр молекулы 0.3 d нм. Средняя длина свободного пробега электрона в газе в 5.7 раза больше, чему молекул газа. Решение Найдем верхнюю границу давления газа, считая, что расстояние 1 L , где 1 – средняя длина свободного пробега электронов, которая определяется из средней длины свободного пробега молекул воздуха, где 2 определяется из (56). 2 1 / 2 n , 1 2 / 2 n , / 2 L n , p nkT , / 2 p kT L , 2 d . Составим программу TD_N6_2_transfer_1.py для расчета давления. Листинг программы TD_ N6_2_transfer_1.py 00 01 02 03 04 # Пример 6.2. Явление переноса import math as mt k=1.38e-23;T=300;L=0.15; d=0.3e-9;a=5.7; sigma=mt.pi*d*d; p=a*k*T/(mt.sqrt(2)*sigma*L); print ("p=%6.3f"%p) Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01 – подключение библиотеки math; 02 – определение исходных данных 03 – расчетные формулы (sigma), давления р (p); 04 – вывод результатов расчета. Результат машинного расчета такой >>> p= 0.393 >>> Давление в трубке равно 0.39 p Па. Ответ. При давлении газа 0.39 p Па электроны не рассеиваются в рентгеновской трубке на пути от катода к аноду. Пример 6.3. Определить коэффициент диффузии кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекулы 0.3 d нм. Решение Нормальные условия 273 T К, 5 1.013 10 p Па, коэффициент диффузии определяется по (53): / 3 D , где средняя скорость молекул кислорода определяется по (18): 8 / RT , средняя длина свободного пробега вычисляется по (56): 1 2 2 n kT p 57 Составим программу TD_N6_3_transfer_1.py для расчета D . Листинг программы TD_ N6_3_transfer_1.py 00 01 02 03 04 05 # Пример 6.3. Явление переноса import math as mt k=1.38e-23;R=8.31;mu=0.032;T=273;p=1.013e5;d=0.3e-9; sigma=mt.pi*d*d; vt=mt.sqrt(8.0*R*T/(mt.pi*mu)); lam=k*T/(mt.sqrt(2)*sigma*p); D=vt*lam/3.0; print ("vt=%5.1f"%vt,"lambda=%5.2e"%lam,"D=%5.2e"%D) Комментарий к программе. Строки 00 – комментарий 01 – подключение библиотеки math; 02 – определение исходных данных 03 – расчетные формулы (sigma), скорости (vt); 04 – средней длины свободного пробега) и коэффициента диффузии D (D); 05 – вывод результатов расчета. Результат машинного расчета такой >>> vt=424.9 lambda=9.30e-08 D=1.32e-05 >>> Ответ 5 1.3 10 D мс. Пример 6.4. Найти массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 100 см за 10 с, если градиент плотности в направлении перпендикулярной площадки равен / 1.26 x кг/м 4 . Температура азота 300 T К, средняя длина свободного пробега молекул равна мкм. Решение Согласно закону Фика (53) масса газа равна d m D St dx , где d dx x и m D St x , где D – коэффициент диффузии, который подсчитаем по (53). Составим программу TD_N6_4_transfer_1.py для расчета S . 58 Листинг программы TD_ N6_4_transfer_1.py 00 01 02 03 04 05 # Пример 6.4. Явление переноса import math as mt R=8.31; mu=0.028; T=300; lam=1.0e-5; dr=1.26; S=0.01; t=10; vt=mt.sqrt(8.0*R*T/(mt.pi*mu)); D=vt*lam/3.0; m=D*dr*S*t; print ("vt=%5.1f"%vt,"D=%5.2e"%D,"m=%5.2e"%m) Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01 – подключение библиотеки math; 02 – определение исходных данных 03-04 – расчетные формулы средней скорости (vt), коэффициента диффузии D (D), массы азота т (m); 05 – вывод результатов расчета. Результат машинного расчета такой >>> vt=476.2 D=1.59e-03 m=2.00e-04 >>> Масса азота, прошедшего через площадку за 10 с, равна 4 2 10 m кг. Ответ 4 2 10 m кг. Пример 6.5. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной м могут свободно вращаться вокруг общей оси. Радиус большого цилиндрам, радиус внутреннего цилиндрам. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормальных условиях 0 273 T К, 5 0 1.013 10 p Па. Внутренний цилиндр приводят во вращение с постоянной скоростью 1 40 рад/с. Внешний цилиндр заторможен. Определить, через какое время с момента освобождения внешнего цилиндра он приобретет угловую скорость 2 2 рад/с. Масса внешнего цилиндра 0.1 m кг, эффективный диаметр молекул воздуха 0.3 d нм. 59 Решение Описанная конструкция является основой ротационных вискозиметров. На внешний цилиндр действует момент силы внутреннего трения, вызывая угловое ускорение, которое определим из основного уравнения вращательного движения J M , где 2 2 J mR – момент инерции внешнего цилиндра, 2 M R F . Поскольку угловое ускорение не зависит от времени, искомое время находится из соотношения 2 1 t и 1 2 / t . Найдем сначала силу внутреннего трения (54), коэффициент вязкости есть / 3 a nm . Угловое ускорение 2 2 2 2 / | | / | | R F mR S mR R , где 1 1 | | R , 2 1 | | R R R , 2 2 S R h Составим программу TD_N6_5_transfer_1.py для расчета 1 , , , . t Листинг программы TD_ N6_5_transfer_1.py 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 # Пример 6.5. Явление переноса import math as mt k=1.38e-23;R=8.31;NA=6.02e23;mu=0.029;T=273;p=1.013e5; d=0.3e-;R1=0.048;R2=0.05;h=0.1;m1=0.1; w1=40*mt.pi;w2=2*mt.pi; sigma=mt.pi*d*d; vt=mt.sqrt(8.0*R*T/(mt.pi*mu)); n=p/(k*T); lam=1/(mt.sqrt(2)*sigma*n); D=vt*lam/3.0; ma=mu/NA; S=2*mt.pi*R2*h; nu=n*ma*vt*lam/3; dv=w1*R1; dR=R2-R1; e=nu*dv*S/(m1*R2*dR); t1=w2/e; print("vt=%5.1f"%vt,"nu=%5.2e"%nu) print("e=%5.2f"%e,"t1=%5.2f"%t1) Комментарий к программе. Строки 00 – комментарий 01 – подключение библиотеки math; 02-03 – определение исходных данных 04 – расчетные формулы (sigma); 05 – скорость (vt), концентрация n (n); 06 – средняя длина свободного пробега (lam), коэффициент диффузии D (D), масса молекулы площадь боковой поверхности внешнего цилиндра S 60 (S), коэффициент вязкости (nu), , R ; 08 – ускорение (e), время раскрутки вывод результатов расчета. Результат машинного расчета такой >>> vt=446.3 nu=1.79e-05 e=0.34 t1=18.50 >>> Ответ 1 с. Пример 6.6. Для расчета отопительной системы рассчитывают потерю теплоты через единицу площади поверхности стены здания в течение ч. Толщина кирпичной стены 1 0.40 L м, температура стены внутри здания 1 291 T К, снаружи 2 253 T К. Определить потери тепла через единицу площади 1 S м поверхности кирпичной стены. Какой толщины должна быть деревянная стена, чтобы потеря теплоты была такой же Какой толщины должна быть стена, изготовленная из сэндвич-панели, чтобы потеря теплоты была такой же Коэффициенты теплопроводности кирпичной кладки 0.70 T Вт/м · К, дерева поперек волокон 0.175 T Вт/м · К, минеральной ваты 0.054 T Вт/м · К. Решение Найдем потери энергии за сутки 1 1 1 Q Q J St , где поток 1 Q J определяется законом Фурье (55) 1 1 1 2 1 ( ) / Q T J T T L Вт/м 2 . Найдем толщину деревянной стены из бруса с эквивалентными потерями тепла 2 2 1 Q Q J St , где 2 2 1 2 2 ( ) / Q T J T T L , 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) / ( ) / T T T T L T T L и 1 2 1 2 / / T T L L , окончательно 2 1 2 1 / T T L L . Найдем толщину сэндвич-панели с эквивалентными потерями тепла 1 3 1 3 / / T T L L , окончательно 3 1 3 1 / T T L L . Составим программу TD_N6_6_transfer_1.py для расчета 1 2 3 , , . Q L L 61 Листинг программы TD_ N6_6_transfer_1.py 00 01 02 03 04 05 # Пример 6.6. Явление переноса import math as mt T1=291;T2=253;L1=0.4;lamt1=0.7;lamt2=0.175;lamt3=0.054; dT=T1-T2;JQ1=lamt1*dT/L1;time1=24*3600;Q1=JQ1*time1; L2=L1*lamt2/lamt1; L3=L1*lamt3/lamt1; print("Q1=%5.2e"%Q1,"L2=%5.3f"%L2,"L3=%5.3f"%L3) Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01 – подключение библиотеки math; 02 – определение исходных данных 03 – расчетные формулы 1 2 T T T (DT), поток тепла 1 Q J (JQ1), промежуток времени 1 t (time1), количество теплоты, прошедшей за единицу площади стены 1 Q (Q1); 04 – толщина деревянной стены 2 L (L2), толщина сэндвич-панели 3 L (L3); 05 – вывод результатов расчета. Результат машинного расчета такой >>> Q1=5.75e+06 L2=0.100 L3=0.031 >>> Ответ 5.8 Q МДж 2 0.10 L мм. Самостоятельная аудиторная работа 6 6.1. Определить относительную долю молекул, длина свободного пробега которых меньше 0.5 . 6.2. Вакуум считается высоким, если длина свободного пробега молекул больше линейных размеров сосуда, в котором находится газ. Какое давление можно считать высоким вакуумом для шарообразного сосуда диаметром 3 см, заполненного воздухом при температуре 300 К Эффективный диаметр молекулы воздуха принять равным 0.3 нм. 6.3. При помощи ионизационного манометра, установленного на искусственном спутнике Земли, определили, что на высоте 300 км от 62 поверхности Земли концентрация частиц газа в атмосфере 15 10 n м –3 Найти среднюю длину свободного пробега частиц газа на этой высоте. Эффективный диаметр молекулы воздуха на высоте 300 км принять равным 0.2 нм. 6.4. Коэффициенты диффузии и вязкости при некоторых условиях равны 4 1.42 10 D мс, 8.5 мкПа · с. Найти число молекул водорода в единице объема, его плотность, среднюю длину свободного пробега и среднюю арифметическую скорость его молекул. 6.5. Определить массу азота, прошедшего вследствие диффузии через см за минуту, если градиент плотности в направлении перпендикулярной площадки равен 1 кг/м 4 . Температура азота 300 К, давление азота 10 Па, эффективный диаметр молекулы воздуха принять равным 0.31 нм. 6.6. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено газом. Радиусы цилиндров равны 5 и 5.2 см. Высота внутреннего цилиндра 25 см. Внешний цилиндр вращается со скоростью 360 об/мин. Для того чтобы внутренний цилиндр оставался неподвижным, к нему надо приложить касательную силу 1.38 мН. Определить вязкость газа между цилиндрами. 6.7. Какое количество теплоты теряет помещение за один час через окноза счет теплопроводности воздуха, заключенного между рамами Площадь каждой рамы 4 м, расстояние между ними 30 см, температура помещения 291 К, температура наружного воздуха 253 К. Температуру воздуха между рамами считать равной среднему арифметическому температур помещения и наружного воздуха. Давление воздуха 1 атм. Эффективный диаметр молекулы воздуха принять равным 0.3 нм. Ответы Раздел 1. 1.1. 265 см 1.2. 0.04 %, 3.3 нм 1.3. 2.02 кг 1.4. 19.6 с 1.5. 140 К 1.6. 5 1.15 10 Па 1.7. 0.93 м 3 Раздел 2. 2.1. 183 мс 2.2. 2.42 кДж 2.3. 25 5 м 2.4. 3.8 кДж 0.6 и 0.4; 2.5. 750 Дж 2.6. а) 0 мс, б) 191 мс 2.7. 8 1.2 10 Па. 63 Раздел 3. 3.1. 0.91; 3.2. 0.57; 3.3. 16 000 Кмоль кг, 2 1220 m кг, 3 7380 m кг, 1 1.00 , 2 1.06 , 3 1.75 ; 3.6. 6.5 h м. Раздел 4. 4.1. 1 кДж, 2 5.0 A кДж 4.2. 1 Дж, 2 Дж 4.3. 345 мс МПа 4.5. кг. ad iso ad iso / / 1.6 T T p p ; 4.7. 423 V c Дж/кг·К, 654 p c Дж/кг · К. Раздел 5. 5.1. 20 %, 30 %; 5.2. 2 К 5.3. 66.5 Дж/К; 5.4. 2.0 S Дж/К; 5.5. * / 2.8 Раздел 6. 6.1. 0.39; 6.2. Па 6.3. 5600 м 6.4. 0.23 нм 0.092 кг 6.6. 18 мкПа · с 6.7. кДж. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – е. изд. – М Высшая школа, 1988. – 528 с. 2. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. – М Лаборатория базовых знаний с. 3. Савельев ИВ. Сборник вопросов и задач по общей физике. – СПб.: Лань, 2005. – 288 с. 4. Булат В.Л., Рязанова Е.Ф., Фадеева МС. Задачник-практикум по общей физике. Молекулярная физика и введение в термодинамику. – М Просвещение с. 5. Горбунова О.И., Зайцева А.М., Красников С.Н. Задачник-практикум по общей физике. Термодинамика и молекулярная физика. – М Просвещение, 1978. – 120 с. 6. Лутц М Изучаем Python. – СПб.: Символ-Плюс, 2009. 7. Лутц М. Программирование на Python. – е изд. – Том 1. – СПб.: Сим- вол-Плюс, 2011. 8. Лутц М. Программирование на Python. – е изд. – Том 2. – СПб.: Сим- вол-Плюс, 2011. 9. Сузи Р Язык программирования Python. – М Бином, 2007. 10 Вабишевич П.Н. Численные методы. Вычислительный практикум. – М ЛЕНАНД, 2015. – 320 с. 11. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. – е. изд. – М Физматлит, 2013. – 736 с. 12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. – М Наука, 1982. – 780 с. 64 ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ КОМПЬЮТЕРА МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Методическое пособие Редактор ИЛ. Кескевич Выпускающий редактор И.П. Брованова Корректор И.Е. Семенова Компьютерная верстка СИ. Ткачева Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП) Подписано в печать 20.04.2016. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 200 экз. Уч.-изд. л. 3,72. Печ. л. 4,0. Изд. № 293/15. Заказ № 646. Цена договорная Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20 |