Практикум по решению физических задач с применением компьютера молекулярная физика и термодинамика методическое пособие новосибирск
 Скачать 1.09 Mb.
|
|
№ 4590 53 П 691 ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ КОМПЬЮТЕРА МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Методическое пособие НОВОСИБИРСК 2016 Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ __________________________________________________________________________ 53 № 4590 П 691 ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ КОМПЬЮТЕРА МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Методическое пособие к практическим занятиям по курсу физики для студентов АВТФ, обучающихся по направлениям Информатика и вычислительная техника, Информационные системы и технологии, Программная инженерия, Информационная безопасность НОВОСИБИРСК 2016 УДК 539.19 + 536.7]:004(076.5) П 691 Рассмотрены примеры решения задач по всем темам раздела молекулярная физика и термодинамика рабочей программы по физике для студентов АВТФ: уравнения состояния идеального газа внутренняя энергия газа, распределение энергии по степеням свободы распределения Максвелла, Больцмана первое начало термодинамики, теплоемкость циклы, циклы Карно, энтропия явления переноса (диффузия, вязкость, теплопроводность. Особенностью пособия является описание применения компьютера при решении задач по физике, в качестве языка программирования используется Python. Составитель др физмат. наук, профессор А.А. Штыгашев Рецензент канд. техн. наук, доцент В.В. Христофоров Работа подготовлена на кафедре общей физики © Новосибирский государственный технический университет, 2016 3 ВВЕДЕНИЕ Вычислительные устройства проникли во многие сферы человеческой жизни, их используют в производственном технологическом оборудовании, транспорте, измерительных устройствах, различных бытовых приборах, сотовых телефонах и т. д. Все эти устройства объединяет то, что они работают по строго определенным правилам – алгоритмам. Умение разрабатывать не только вычислительные, но и другие алгоритмы решения практических задач входит в компетенцию выпускника высшей технической школы. Это умение формируется исключительно посредством решения задач из разных сфер деятельности студента, например физики. При решении задачи компьютер применяют как на стадии анализа постановки задачи, на стадии поиска решения, таки на стадии анализа полученного решения. Визуализация процесса решения и представления результатов расчета – одно из важнейших применений компьютера. Программирование даже одной расчетной формулы значительно эффективней расчетов на инженерном калькуляторе, поскольку а) текст программы уже является протоколом, который можно сохранить б) со временем накопляется набор текстов таких программ, образуя базу знаний, к которой можно возвращаться, черпая идеи решения более сложных задач в) вычисления можно повторить, меняя исходные параметры, тем самым более подробно изучая исследуемое физическое явление или процесс г) умения и навыки решения физических задач с помощью компьютера в дальнейшем могут пригодиться в повседневной практике специалиста, в том числе даже при решении бытовых задач. В работе рассмотрены различные аспекты применения компьютеров при решении физических задач. Задачи подбирались из апробированных задачников, составляющих золотой фонд для студентов и преподавателей естественнонаучных дисциплин, список которых приведен в конце пособия [1–5]. 4 Несмотря на то что существуют универсальные математические пакеты, такие как MathCad, MATLAB, Mathematica и Maple, позволяющие проводить достаточно сложные вычисления, затрачивая при этом на сам процесс программирования минимум усилий (не считая затратна изучение интерфейса и входного языка пакета, при этом для пользователя математический пакет представлял кибернетический черный ящик. Именно поэтому для решения задач обучения выбран язык программирования высокого уровня, что дает возможность студенту контролировать все детали вычислительного процесса. В работе использованы простейшие численные алгоритмы, реализованные на языке программирования Python. Основной причиной такого выбора являются краткость и ясность кода по сравнению, например, с кодом на языке С, кроме того, Python является интерпретатором, следовательно, удобен в отладке кода. Описание Python широко представлено в Internet, также выпущено огромное количество обучающей литературы от кратких справочников до многотомных изданий, например [6– 10], поэтому здесь приведены лишь готовые примеры программ с комментариями. Ускоренное развитие производительных сил в нашей стране впервой половине ХХ века привело к индустриализации обработки огромных объемов численных данных. Были созданы машиносчетные станции (бюро, просуществовавшие вплоть до восьмидесятых годов ХХ века. В то время сами по себе вычисления имели конечную стоимость и именно поэтому были разработаны эффективные экономичные приемы приближенных вычислений с необходимой точностью, при проведении расчетов удерживалось согласованное с точностью исходных данных и точностью метода вычислений количество значащих разрядов в мантиссе числа. В настоящее время, после цифровой революции, произошла своего рода инфляция вычислений, стали ненужными многочисленные таблицы разнообразных функций, канули в Лету русские счеты, логарифмические линейки, арифмометры Феликс, номограммы. За редким исключением современные бытовые, учебные, производственные и научные вычисления производятся с максимальным для вычислительной среды количеством разрядов. Поэтому в работе все вычисления выполняются над числами с удвоенной мантиссой и только на этапе выписывания ответа проводится согласование результатов вычислений расчета с точностью исходных данных. 5 1. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА Уравнение Менделеева–Клапейрона. Основное уравнение состояния идеального газа имеет вид , pV vRT (1) где , , p V T – давление, объем и температура газа соответственно 8.31 R Дж/моль · К – универсальная газовая постоянная v – число молей газа A , m N v N (2) где – молярная масса газа m – масса газа 23 A 6.022 10 N моль – число Авогадро. Основное уравнение кинетической теории газов , p nkT (3) где / n N V м – концентрация частиц, 23 A / 1.38 10 k R N Дж/К – постоянная Больцмана. Закон Дальтона для вычисления давления смеси газов 1 2 p p p , (4) где p – давление смеси газов 1 2 , , p p – парциальные давления компонент смеси газов. Закон Бойля-Мариотта const T const pV 1 1 2 2 p V p V . (5) 6 Закон Гей-Люссака const p / const V T 1 1 2 2 / / V T V T . (6) Закон Шарля const V / const p T 1 1 2 2 / / p T p T . (7) Пример 1.1. В медицинском термометре 2.0 m грамма ртути. Случайно градусник разбился, и ртуть испарилась. Найти концентрацию ртути в воздухе комнаты размером 3.0 4.0 м при температуре С. Давление насыщенного пара ртути при этой температуре составляет 0.133 s p Па, молярная масса 0.201 кг/моль, температура К. Решение Найдем концентрацию n паров ртути в предположении о том, что вся ртуть испарилась, и найдем концентрацию s n насыщенного пара ртути. Если s n n , тов комнате будет концентрация насыщенных паров ртути, если же s n n , тов комнате концентрация ртути будет равна. Из уравнения (3) концентрация / s s n p kT , из (2) число атомов ртути равно A N vN , концентрация n равна A / ( ) n Составим программу вычисления концентрации атомов ртути. Листинг программы MP_N1_mercury.py 01 02 03 04 05 06 # Пример 1.1. Ртуть R=8.31; mu=0.201; NA=6.02e23; m=0.002; V=30; ps=0.133; T=293; ns=ps*NA/(R*T); n=m*NA/(mu*V); print("ns=%5.2e"%ns,"\n n=%5.2e"%n); print( "\n n/ns=%5.2f"%(n/ns)) Комментарий к программе Здесь и далее во всех листингах программ строки пронумерованы для удобства комментирования. Строки 01 – комментарий определение исходных данных 04 – вычисление концентрации 7 насыщенных паров и концентрации атомов ртути в предположении, что вся ртуть испарилась 05-06 – вывод расчетных данных. Приведем результат расчета по программе >>> ns= 3.29e+19 n= 2.00e+20 n/ns=6.07 >>> Таким образом, концентрация паров ртути равна 20 2.0 ми более чем враз превышает концентрацию насыщенного пара ртути это означает, что в воздухе концентрация ртути равна концентрации насыщенного пара, а остальная масса ртути находится в жидком состоянии. Согласно санитарным нормам предельно допустимая плотность паров ртути в воздухе жилых помещений составляет 7 3 10 m кг/м 3 . Найдем соответствующую концентрацию m n , для этого разделим (2) на объем V комнаты A m m n N , (8) тогда A / m m n N . Добавим две строчки в программу 07 08 rom=3.0e-7; nom=rom*NA/mu print(" nom=%5.2e"%nom,"\n n/nom=%5.2e"%(n/nom)) и пересчитаем еще раз >>> ns=3.29e+19 n=2.00e+20 n/ns= 6.07 nom=8.99e+17 n/nom=2.22e+02 >>> 8 Итак, концентрация ртути в воздухе больше ПДК враз, следовательно, необходима санитарная обработка жилого помещения. Ответ 3.3 10 s n м –3 Пример 1.2. В сосуде объемом 3.0 V л находится 1 4.0 m мг гелия мг азота, 21 3 5 10 N молекул водорода. Каково давление смеси, если температура смеси 300 T К Молярные массы равны 3 1 4.0 10 кг/моль, 2 0.028 кг/моль, 3 3 2.0 10 кг/моль. Решение Давление смеси газов определяется, согласно закону Дальтона (4), суммой парциальных давлений 1 2 3 , , p p p , где 1 1 / p v RT V , 2 2 / p v RT V , 3 3 / p v RT V , где 1 1 1 / v m , 2 2 2 / v m , 3 3 A / v N N – количество вещества компонентов смеси газов. Составим программу вычисления давления смеси газов. Листинг программы MP_N2_Dalton.py 01 02 03 04 05 06 # Пример 1.2. Смесь газов R=8.31; NA=6.02e23; T=300; V=0.003; m1=4.0e-6; m2=70.0e-6; N3=5.0e21; mu1=0.004; mu2=0.028; v1=m1/mu1; v2 =m2/mu2; v3=N3/NA; p1=v1*R*T/V; p2=v2*R*T/V; p3=v3*R*T/V; p=p1+p2+p3; print (" p1=",p1,"\n p2=",p2,"\n p3=",p3,"\n Комментарий к программе Строки 01 – комментарий 02-03 – определение исходных данных 04 – вычисление количества вещества исходных компонентов смеси 05 – вычисление парциальных давлений и давления смеси газов 06 – вывод расчетных данных 9 Приведем результат расчета по программе >>> p1= 831.0000000000001 p2= 2077.5 p3= 6901.993355481728 p = 9810.493355481729 >>> Приводим в соответствие с точностью исходных данных, тогда искомое давление смеси газов будет равно 3 9.8 10 p Па. Ответ: 3 9.8 10 p Па. Пример 1.3. Приняв, что воздух по массе состоит из 75.5 % азота кислорода, 1.40 % аргона, найти массу одного моля воздуха. Молярная масса азота 1 0.028 кг/моль, кислорода 2 0.032 кг/моль, аргона 3 0.040 кг/моль. Решение Массовые доли смеси газов равны 1 / 0.755 m m , 2 / 0.231 m m , 3 / 0.0140 m m , где 1 2 3 m m m m . Состояние смеси газов, а также компоненты смеси описываются (1), те. парциальные давления азота, кислорода и аргона 1 1 / p v RT V , 2 2 / p v RT V , 3 3 / p v RT V и давление воздуха / p vRT V . Складываем парциальные давления 1 2 3 1 2 3 ( ) / p p p v v v RT V и применяем закон Дальтона (4), получаем, тогда 1 1 2 2 1 / / / m m m m 3 3 / m m , и окончательно расчетная формула имеет вид 1 1 1 2 2 3 3 ( / / / ) m m m m m m Составим программу расчета молярной массы воздуха. Листинг программы MP_N4_MolMassa.py 01 02 # Пример 1.3. Молярная масса воздуха mu1=0.028; mu2=0.032; mu3=0.040; 10 03 04 05 a1=0.755; a2=0.231; a3=0.014; mu=1/(a1/mu1+a2/mu2+a3/mu3); print(" mu=%6.3f"%mu) Комментарий к программе Строки 01 – комментарий 02-03 – определение исходных данных 04 – вычисление молярной массы воздуха 05 – вывод расчетных данных. Приведем результат расчета по программе >>> mu= 0.029 >>> Ответ 0.029 кг/моль Часто в задаче требуется построить график зависимости искомой величины от независимой переменной. Рассмотрим простейший алгоритм построения такой зависимости. Алгоритм 1. Графическое представление процесса в координатах x, y 1. Определяем независимую переменную x процесса в области определения min max [ , ] X X 2. Задаем сетку в области определения x : min i x X i x , 0, , i N , max min ( ) / x X X N 3. Выразим зависимую переменную y через x : ( ) y f x 4. Вычисляем одномерный массив ( ) i i y f x в узлах сетки. 5. Пользуясь процедурами пакета Matplotlib, строим график процесса. Пример 1.4. При аэродинамическом торможении в атмосфере планеты температура внутри автоматического спускаемого аппарата повысилась с 2 786 T К до 2 353 T К. Какую часть воздуха необходимо выпустить, чтобы давление внутри аппарата не изменилось Построить график процесса. 11 Решение Выделим процессы 1 2 – изохорное повышение давления, система замкнутая 2 3 – удаление из системы части газа, при этом система незамкнутая. Определим сначала долю воздуха, которую надо выпустить через выпускной клапан 1 / m m , где 2 1 m m m , 1 m – масса воздуха до аварийного срабатывания клапана 2 m – масса воздуха после сброса давления, конечным состоянием является состояние 3, при котором давление газа 1 3 p p . Поскольку при переходе 2 3 система незамкнута (обмен веществом с внешней средой, можно использовать только (1): 1 1 1 / p V m RT и 3 2 2 / p V m RT , их левые части равны, равны и правые, тогда 1 1 2 2 m T m T . Излишек воздуха равен и искомая расчетная формула имеет вид 2 1 ( / 1) T T . Для построения зависимости ( ) m T воспользуемся алгоритмом 1 , где x T , а y m : 1) 1 2 [ , ] T T T ; 2) 1 j T T j T , 100 N , 0,1, , j N , 2 1 ( ) / T T T N ; 3) / m pV RT , где давление и объем V в условиях задачи не заданы, но для расчета качественного графика необходимо доопределить эти величины. Воспользуемся приемом, который в метеорологии называют «BOGUS DATA» [11], те. определим давление и объем так 5 Паи м 4) вычислим) строим график (рис. 1.1). Составим программу расчета массовой доли удаляемого из аппарата воздуха. Листинг программы MP_N4_SatelliteMassa.py 01 02 03 04 05 06 07 08 09 # Пример 1.4. Излишек массы воздуха import matplotlib.pyplot as plt R=8.31;T1=293;T2=353;p=1.0e5;V=1; mu=0.029; N=100; dT=(T2-T1)/N; alpha=1-T1/T2; print(" alpha=%6.3f"%alpha) x=[]; m=[]; x.append(T1); m.append((p*V*mu/R)/T1); for i in range(1,N): 12 10 11 12 13 14 15 16 t=T1+i*dT; x.append(t); m.append((p*V*mu/R)/t); plt.plot(x,m,'k-') plt.xlabel('$T$',fontsize=16) plt.ylabel('$m$',fontsize=16) plt.grid(True) plt.show() Комментарий к программе. Строки 01 – комментарий 02 – подключение пакета matplotlib.pyplot; 03-04 – определение исходных данных 05-06 – вычисление и вывод массовой доли стравливаемого воздуха 07 – инициализация одномерных массивов (списков, 08 – запись начальных значений температуры и массы 09-11 – циклический расчет массы воздуха в аппарате и формирование выходных массивов , T m , 12-16 – вывод графика. Приведем результат расчета по программе >>> alpha= 0.170 >>> Рис. 1.1. Зависимость массы воздуха в аппарате от температуры 13 Проверка оценка из графика дает значение ( (0) ( )) / (0) 0.17 m m N m . Отметим, что только приведенное отношение масс имеет реальное значение, тогда как значение массы фиктивно, поскольку оно получено с использованием «BOGUS DATA». Таким образом, 0.170 – такую массовую долю воздуха надо стравить, чтобы снизить давление воздуха до начального значения. Ответ 0.17 Пример 1.5. Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом 100 V л. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем, равный 0.5 V л. Через сколько циклов n давление в сосуде уменьшится враз Процесс считать изотермическим, а газ – идеальным. Решение Пусть 0 / n n p p и / ( ) q V V V , тогда изотермический процесс можно записать в виде 1 ( ) n n p V p V V или 1 n n p Для получения итерационной формулы, описывающей изменение давления воздуха в сосуде, удобно представить процесс откачки в виде таблицы. n Прогрессия Прогрессия 0 1 ( ) p V p V V 1 0 p p q 1 q 2 1 2 ( ) p V p V V 2 1 p p q 2 2 q 3 2 3 ( ) p V p V V 3 2 p p q 3 3 q n 1 ( ) n n p V p V V 1 n n p p q n n q Из соотношения (правая колонка, последняя строка) n n q (9) 14 найдем количество циклов, необходимых для понижения давления в сосуде враз и lg lg n n q . (10) Составим программу расчета давления воздуха в сосуде в каждом цикле. Листинг программы MP_N5_nasos.py 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 |