Практикум по решению физических задач с применением компьютера молекулярная физика и термодинамика методическое пособие новосибирск
 Скачать 1.09 Mb.
|
|
# Пример 1.5. Насос import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import math N=950; V=0.1;dV=0.0005; p0=1.0e5; qV=V/(V+dV); n1=math.log10(0.01)/math.log10(qV); print ("n=",n1) x=[]; p=[]; x.append(0); p.append(p0); for i in range(1,N): p0=p0*qV; x.append(i); p.append(p0); plt.plot(x,p,'k-') plt.xlabel('$n$',fontsize=14) plt.ylabel('$\eta_n$',fontsize=14) plt.show() Комментарий к программе строки 00 – комментарий 01-03 – подключение библиотек numpy – для работы с одномерными массивами, mat- plotlib.pyplot – для графического вывода приведенного давления 0 / n p p от номера n цикла, math – для вычисления математических функций 04-06 – определение исходных данных 07 – вывод числа циклов 08 – инициализация одномерных массивов (списков 09 – запись начальных значений номера цикла и давления 10-12 – циклический расчет приведенного давления и формирование выходных массивов , x p ; 13-16 – вывод графика. 15 Подставляя значения давлений и объемов, получаем требуемое число качаний поршня 933 n цикла. Полученный результат относится к точечным оценкам для одного набора данных. Найдем поведение давления p на отрезке [0, ] n в зависимости от соотношения объемов и V . График функции 0 ( ) / p n p , рассчитанный по программе (листинг программы MP_N5_nasos.py приведен выше, для 0.995 q показан на рис. 1.2. Рис. 1.2. Зависимость приведенного давления 0 / n p p от числа циклов при Согласно рис. 1.2 можно указать, какое давление газа в сосуде будет после определенного количества качаний поршня, например, давление газа понизилось вдвое после 139–140 качаний. Ответ Пример 1.6. Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки t . Объем сосуда 100 V л. Процесс считать изотермическими скорость откачки независимой от давления и 16 равной 0.01 C л/с. Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент времени. Решение Рассмотрим изотермический процесс при изменении объема на dV и давления на dp , тогда ( )( ) pV p dp V dV , или pV pV pdV ; Vdp dpdV пренебрегая последним слагаемым, мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными Учитывая, что изменение объема dV Cdt , уравнение можно проинтегрировать 0 ln ln C p p t V , или 0 exp p C t p V . (11) Полученная формула является решением задачи. Анализ Представим решение (11) в безразмерном виде exp( ) t , (12) где 0 / p p и / C V . Это решение отличается от формулы (9). Для того чтобы сравнить (9) и (12), необходимо привести оба решения к одной области определения, те. перейти вот безразмерного номера цикла к соответствующему моменту времени n t , где n t n t . Для произвольного n t выпишем два решения 1 1 n n q и n n q , затем составим разностное уравнение n 1 1 n n n n q q 1 (1 ) n q q , или 1 / 1 n n q . Найдем сумму от 0 до n : 1 0 0 (1 ) n n n n n n q 17 Правая часть выражения есть 1 1 (1 ) (1 ) / n q n q t t , а левую часть вычислим, учитывая, что 0 1 , и, переходя от суммирования к интегрированию, запишем 0 0 0 ln ln ln n n n n n n n d Итак, выражение (9) записывается в виде 1 ln (1 ) / n n q t t или exp( ) n n t , (13) где 1 ( 1) / , n q t и совпадает св узлах n t дискретной временной сетки. Листинг программы TD_N2_nasos.py 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 15 16 17 18 # Пример 1.6. Насос 2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import math N=20; C=0.01; tmax=50.0; dt=tmax/N ; V=0.1; dV=0.0005;qV=V/(V+dV); b1=C/V;dt1=V*(1.0/qV-1.0)/C p0=1.0 print (" q =",qV," b1=",b1," \Delta t=",dt1) t=[]; p1=[]; p2=[] t.append(0); p1.append(p0); p2.append(p0) for i in range(1,N): t1=i*dt; t.append(t1) p1.append(math.exp(-b1*t1)) p2.append(qV**(t1/dt1)) plt.plot(t,p1,'k-') plt.plot(t,p2,'ko:') plt.xlabel('$t$',fontsize=14) plt.ylabel('$\eta_1, \eta_2$',fontsize=14) plt.show() 18 Комментарий к программе Строки 01 – комментарий, 02-04 – подключение библиотек numpy, matplotlib.pyplot, math; 05-08 – определение исходных данных 09-10 – инициализация одномерных массивов (списков 11-14 – циклический расчет приведенного давления и формирование выходных массивов , 1, 2; t p p 15-18 – вывод графиков (13) и (9). На рис. 1.3 показаны решение (13) (сплошная линия, 2 T ) и решение) (кружки, 2 ). Рис. 1.3. Зависимость приведенного давления от времени откачки t (пояснения в тексте) Ответ exp( ) t . Самостоятельная работа 1 1.1. Самое низкое давление, получаемое с помощью самой совершенной вакуумной техники, приблизительно равно 12 10 Па. Сколько молекул воздуха содержится при таком давлении в 1 см при температуре К 1.2. Какую часть объема одного моля газа при нормальных условиях занимает собственный объем его молекул и каково среднее расстояние между ними 19 1.3. В баллоне вместимостью 30 л находится кислород при давлении МПа и температуре 264 К. Затем часть газа из баллона выпустили, причем температура газа повысилась до 290 Ка давление упало до 2.94 МПа. Найти количество кислорода, выпущенного из баллона. 1.4. Камеру автомобильной шины накачивают с помощью насоса, работающего от двигателя. Сколько времени потребуется, чтобы накачать камеру от давления 1 атм до давления 2.5 атм, если объем автомобильной камеры 40 л, при каждом ходе насос захватывает из атмосферы столб воздуха высотой 10 см и диаметром 10 см Время одного качания с, температуру считать постоянной. 1.5. Давление воздуха в бутылке равно 0.1 МПа при температуре 280 К. Насколько нужно нагреть бутылку, чтобы пробка вылетела Без нагревания пробку можно вынуть, прикладывая к ней силу 10 Н. Сечение пробки 2 см Два сосуда вместимости 200 см и 100 см разделены подвижным поршнем, не проводящим тепло. Сначала температура газа в сосудах Ка его давление 0.1013 МПа, затем меньший сосуд охладили льдом до 273 Ка больший нагрели до 373 К. Какое давление установится в сосудах 1.7. Баллон вместимости 50 л заполнили воздухом при 300 К до давления 10 МПа. Какой объем воды можно вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом этого баллона, если вытеснение производится на глубине 40 м Температура воздуха после расширения 276 К. 2. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ ГАЗА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ. Основное уравнение кинетической теории газов 2 3 d p n , (14) где n – концентрация молекул d – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул. Часто используют другую форму основного уравнения кинетической теории газов (3). 20 Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы 1 1 2 kT (15) Число степеней свободы молекулы 1 2 3 2 i n n n , (16) где 1 n – число поступательных степеней свободы 2 n – число вращательных степеней свободы 3 n – число колебательных степеней свободы. Средняя квадратичная (тепловая) скорость молекул 3 / 3 / T a RT kT m , (17) где a m – масса частицы. Средняя арифметическая скорость молекул 8 / 8 / a a RT kT m . (18) Наиболее вероятная скорость молекул 2 / 2 / p a RT kT m . (19) Внутренняя энергия идеального газа / 2 U i RT (20) Пример 2.1. Кислород массой 0.012 m кг находится при температуре К, при этом 40 % ( 0.4 ) молекул диссоциировались на атомы. Чему равна средняя энергия E теплового движения частиц Колебательные степени свободы молекул кислорода заморожены кг/моль, 1 3 i , 2 5 i – число степеней свободы атома и молекулы кислорода. 21 Решение При высокой температуре молекул диссоциировалось на атомы, поэтому расчетная формула для смеси из атомарного и молекулярного кислорода будет иметь вид 1 1 2 2 E N N , (21) где 1 0 2 N N – число атомов кислорода 2 0 (1 ) N N – число молекул кислорода 0 A / N mN – исходное число молекул кислорода 1 1 ( 2) i kT и 2 2 ( 2) i kT – средняя тепловая энергия атома и молекулы кислорода соответственно. Составляем программу MP_N2_1_disso.py для расчета средней энергии теплового движения частиц. Листинг программы MP_N2_1_disso.py 00 01 02 03 04 05 # Пример 2.1. Диссоциация k=1.38e-23; NA=6.02e23; m=0.012; mu=0.032; T=973; a=0.4; i1=3; i2=5; e1=i1*k*T/2; e2=i2*k*T/2; N0=m*NA/mu; N1=2*a*N0; N2=(1-a)*N0; E=N1*e1+N2*e2; print (" E= ",E) Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01-02 – определение входных данных 03-04 – расчетные формулы 05 – вывод результата расчета. Расчет по программе дает >>> E= 8184.335985 >>> Приводим результат расчета в соответствие с точностью исходных данных, тогда искомая средняя энергия газа будет равна 3 8.2 10 E Дж. Ответ: 3 8.2 10 E Дж. 22 Пример 2.2. При определении скорости атомов серебра по методу Штерна установлено, что при вращении цилиндра А против часовой стрелки со скоростью 80 с середина серебряной полоски на медном полированном цилиндре сместилась на 3.2 l мм. Определить скорость атомов серебра, если радиус цилиндра А 0.1 A R м, а соосного с ним цилиндра В 0.01 B R м. Сравнить полученный результат со средней квадратичной скоростью (17) и найти относительную погрешность, если температура нити равна 2000 T К. Молярная масса серебра 0.108 кг/моль. Решение Расстояние от внутреннего цилиндра до полированной поверхности внешнего цилиндра частица пролетит за время 1 ( ) / A B R R , где 1 – скорость частиц атомного пучка. За это время полета внешний цилиндр повернется на угол , связанный с длиной отрезка дуги A l R , тогда / A l R . Приравнивая правые части полученных выражений, находим искомую скорость атомов серебра в пучке 1 ( ) / A B A R R R l . Тепловая скорость атомов серебра, соответствующая температуре пучка атомов серебра, согласно (17), есть 2 3 / RT . Эксперимент имеет более высокий статус, чем теория, поэтому определим относительную ошибку скорости частиц пучка так 1 2 1 | | / . Составим программу MP_N2_2_stern.py для расчета скорости атомов серебра в пучке. Рис. 2.1. Схема опыта Штерна 23 Листинг программы MP_N2_2_stern.py 00 01 02 03 04 05 06 # Пример 2.2. Опыт Штерна-Герлаха import math R=8.31; mu=0.108; T=2000; RA=0.1; RB=0.01; DL=0.0032;omega=2*math.pi*40; v1=(RA-RB)*omega*RA/DL; v2=math.sqrt(3*R*T/mu); dv=math.fabsabs(v1-v2)/v1; print("v1=%7.2f"%v1,"\nv2=%7.2f"%v2,"\ndv=%7.3f"%dv) Комментарий к программе. Строки 00 – комментарий 01 – подключение библиотеки math; 02-03 – определение исходных данных 04-05 – расчетные формулы 06 – форматированный вывод результатов расчета. Расчет по программе дает >>> v1= 706.86 v2= 679.46 dv= 0.039 >>> Ответ 707 мс, 2 679 мс, 0.04 Самостоятельная работа 2 2.1. Самая низкая температура в космосе составляет 2.7 К. Какова средняя квадратичная скорость молекул водорода при такой температуре. Определить среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул водорода, содержащихся водном моле газе при 291 К. Средняя энергия молекул одноатомного идеального газа равна 21 6.00 10 Дж. Давление газа 0.2 МПа. Найти концентрацию молекул газа. 24 2.4. Найти внутреннюю энергию 20 г кислорода при температуре 293 К. Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения молекул и какая – на вращательное движение 2.5. Найти внутреннюю энергию двухатомного газа, находящегося в сосуде объемом 2 л под давлением 0.15 МПа. 2.6. Как изменится средняя квадратичная скорость молекул кислорода, находящихся в сосуде объемом 2.5 л при нормальных условиях, если газ расширяется до объема 5 л а) изотермически; б) изобари- чески 2.7. На пути направленного молекулярного пучка, излучаемого накаленной нитью, в вакууме стоит зеркальная стенка. Найти давление, испытываемое этой стенкой, если температура нити, из которой вылетают атомы серебра, равна 1500 К, концентрация атомов в пучке м, стенка расположена перпендикулярно направлению движения частиц в пучке. 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА, БОЛЬЦМАНА A. Распределение молекул по скоростям Максвелла Пусть ( , ) W a b – вероятность, что случайная величина лежит вин- тервале [ , ] a b , тогда 2 1 1 2 ( , ) ( ) x x x x x x W f d , 2 ( ) exp 2 2 a x x m m f kT kT ; (22) 2 1 1 2 ( , ) ( ) W F d , 3/2 2 2 4 ( ) exp 2 2 a a m m F kT kT ; (23) 2 2 1 2 ( , ) ( ) W g d , 1/2 2 ( ) exp 2 a a m m g kT kT , (24) где 2 2 2 x y z , 2 4 x y z d d d d , 2 2 2 25 Используя наиболее вероятную скорость p , (22) и (23) можно представить как 2 1 1 2 ( , ) ( ) x x u x x x x u W u u f u du , 2 1 ( ) exp x x f u u ; (25) 2 1 1 2 ( , ) ( ) u u W u u F u du , 2 2 4 ( ) exp( ) u u F u , (26) где / x x p u , / p u , 2 / p RT . (27) Рис. 3.1. Вероятность ( , ) W u в зависимости от и Пример 3.1. Определите, какая часть молекул азота при температуре К обладает скоростями от 1 300 мс до 2 800 мс. Решение Найдем согласно (27) наиболее вероятную скорость p 2 / 501 RT мс, тогда грубая оценка доли молекул по рис. 3.1 26 равна (0.6, 1.6) (0.6, ) (1.6, ) 0.87 0.15 0.72 W W W . Уточним оценку приближенным интегрированием по методу прямоугольников 1 1 ( ) ( ) b N n n a f x dx x f x , (28) где n x a n x , ( ) / x b a N . Искомая вероятность равна 1 2 1 2 1 2 ( , ) 4 exp N n n n u W u u u u . (29) Составим программу |