Практикум по решению физических задач с применением компьютера молекулярная физика и термодинамика методическое пособие новосибирск
 Скачать 1.09 Mb.
|
|
MP_N3_1_maxwell_1.py для расчета вероятности нахождения молекул в заданном скоростном интервале 1 2 [ , ] Листинг программы MP_N3_1_maxwell_1.py 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 # Пример 4.1. Вероятность -1 import math R=8.31; mu=0.028; T=423; v1=300; v2=800; vp=math.sqrt(2*R*T/mu); u1=v1/vp; u2=v2/vp; N=100; du=(u2-u1)/N; sum=0; print("vp=%7.3f"%vp,"\nu1=%7.3f"%u1,"\nu2=%7.3f"%u2) for j in range(1,N): u =u1+j*du; sum=sum+u*u*math.exp(-u*u); W=4*du*sum/math.sqrt(math.pi); print("N = ",N,"\nW=%7.3f"%W) Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01 – подключение библиотеки math; 02 – определение исходных данных 03-04 – расчетные формулы 05 – вывод результата расчета 06-08 – интегрирование по (29); 09 – расчет вероятности W; 10 – вывод значений N и W. 27 Расчет по программе дает >>> vp= 501.080 u1= 0.599 u2= 1.597 N = 100 W = 0.699 >>> При 100 N , (0.6, 1.6) 0.699 W , при 1000 N , (0.6, 1.6) 0.704 W , округлим до двух значащих цифр, таким образом, более точная оценка составляет 0.70 W , что практически совпадает с нашей грубой оценкой по графику. Ответ Распределение молекул по энергиям в интервале , E E dE : 3/2 ( ) 2 ( ) exp( / ) dW E kT E E kT dE . (30) Пример 3.2. Энергия ионизации атомов водорода составляет ion 13.6 E эВ. Найти, при какой температуре 10 % всех атомов водорода имеют энергию поступательного движения атомов, превышающих энергию ионизации. Решение В безразмерных единицах / E kT распределение молекул по энергиям (30) принимает следующий простой вида вероятность, или доля частиц, имеющих кинетическую энергию , большую некоторой энергии 1 , есть 1 1 ( , ) 2 exp( ) W d , (32) 28 график которой показан на рис. 3.2. Из этого рисунка по условию 1 ( , ) 0.1 W определим значение энергии, равное 1 3.1 . Более точный расчет 1 требует решения нелинейного уравнения 1 1 ( ) ( , ) 0.1 f W . Этот расчет проведем на основе метода деления пополам, а интегрирование (32) при этом выполним с учетом следующего аддитивного свойства определенных интегралов 0 0 2 exp( ) 2 exp( ) 2 exp( ) m m d d d , где первое слагаемое равно единице [12], а второй интеграл в конечных пределах легко вычислить любым квадратурным методом, например, методом прямоугольников 1 1 2 ( , ) 2 e exp( xp( ) 1 ) m N n n n m W d . (33) Рис. 3.2. Вероятность ( , ) W в зависимости от , где / E kT 29 Составим программу MP_N3_2_ maxwell_1.py для расчета температуры, при которой с вероятностью, большей , частицы находятся в заданном энергетическом интервале [ , ] E Листинг программы MP_N3_2_maxwell_1.py 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 # Пример 4.2. Вероятность -1 import math as mt k=1.38e-23; q=1.6e-19; E1=q*13.6; W=0.1; def f(x): NX=800; dx=x/NX; sum=0.0; for j in range(NX): xj=j*dx; sum=sum+mt.sqrt(xj)*mt.exp(-xj); return 1.0-2*dx*sum/mt.sqrt(mt.pi)-W; u1=2.0; u2=4.0; f1=f(u1); f2=f(u2); tol=0.001; n=int(mt.ceil(mt.log(abs(u2-u1)/tol/mt.log(2.0)))) for i in range(n): u3=0.5*(u1+u2); f3=f(u3); if f2*f3<0.0: u1=u3; f1=f3; else: u2=u3; f2=f3; u=0.5*(u1+u2); T=E1/(k*u); print ("e1= %7.3f"%u,"\nT1= %8.3e"%T) Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01 – подключение библиотеки math; 02 – определение исходных данных 03-08 – определение функции 1 ( ) f ; 09-17 – нахождение нуля функции 1 ( ) f ; 18 – температура газа 19 – вывод результата расчета. 30 Расчет по программе дает >>> e1= 3.129 T1= 5.039e+04 >>> При температуре атомарного газа 4 ion / 5.0 10 m T E k К десять процентов атомов водорода имеют энергию, превышающую энергию ионизации атома водорода. Ответ 5.0 10 T К. Пример 3.3. По оси откачанной цилиндрической трубки натянута нихромовая нить, разогретая до 1000 T К. Считая, что скорости эмитируемых электронов распределены по закону Максвелла, найти долю электронов, достигающих цилиндрической стенки (анода, если она находится под задерживающим потенциалом относительно нити, равным В. Решение Чтобы эмитированные электроны достигали стенки, они должны совершить работу против электрического поля, равную A q V Пусть продольная компонента скорости направлена вдоль оси трубки, тогда компонента скорости совпадает с радиальным направлением. Минимальную поперечную составляющую скорости ,1 , необходимую для преодоления задерживающего электрического поля, можно определить из закона сохранения энергии 2 ,1 2 m q V Используя (24), запишем выражение для искомой доли молекул 1 1/2 2 ( , ) exp 2 a a m m W d kT kT . (34) 31 Переходя к безразмерной переменной / p u , перепишем (34): 2 1 1 2 2 2 ( , ) 2 exp( ) exp ( ) u u W u u udu u du , (35) интегрируя (35), получаем расчетную формулу для искомой доли молекул) Составим программу MP_N3_3_maxwell_1.py для расчета (36) Листинг программы MP_N3_3_maxwell_1.py 00 01 02 03 05 06 07 08 # Пример 3.3. MP_N3_3_maxwell_1.py import matplotlib.pyplot as plt import math as mt me=9.1e-11;qe=1.6e-19;kB=1.38e-23;T1=1000.0;V1=0.1; def part(V,T): f=mt.exp(-qe*V/(kB*T)); return f print ("V1=",V1," W1=%7.3f"%part(V1,T1)); Комментарий к программе. Строки 00 – комментарий 01-02 – подключение библиотек matplotlib.pyplot, math; 03 – определение исходных данных 05-07 – расчетная формула (36); 08 – вычисление доли молекул, при 0.1 V В достигающих цилиндрического анода при температуре и вывод результатов расчета. Вычисление искомой доли электронов (строчка 08) дает такой результат Ответ 0.31 W 32 B. Распределение Больцмана Распределение Больцмана можно представить в таком виде 0 ( ) exp( ) p y p , 0 ( ) exp( ) n y n , ( ) exp( ) w y , (37) где / / / ; a E kT m gy kT gy RT E – потенциальная энергия частицы газа. Пример 3.4. Кирпичная труба высотой 25 h м выпускает дым при температуре 1 330 T К (рис. 3.4). Определить перепад давления на входе в трубу, обеспечивающий тягу. Температура наружного воздуха 0 К, давление 5 0 10 p Па. Решение Согласно распределению Больцмана давление воздуха изменяется с высотой так 0 0 0 exp gh p p RT , (38) где 0 0.029 кг/моль, R = 8.31 Дж/моль · К, 9.8 g м/с 2 Считаем, что температура 1 T выходных газов в трубе постоянная, на высоте h давление нагретых газов внутри трубы согласно (38) равно 1 2 1 1 exp gh p p RT , (39) а давление 2 p наружного воздуха на той же высоте (на срезе трубы) равно давлению выходящих газов 2 p , 2 Рис. 3.4. Схема трубы 33 Учитывая (38) 0 2 0 0 exp gh p p RT , (40) получаем следующее соотношение 0 1 1 0 1 0 exp exp gh gh p p RT RT (41) Искомый перепад давлений на нулевом уровне равен 0 1 0 1 0 0 0 1 exp gh gh p p p p p RT RT , или 0 1 0 1 0 1 exp gh p p T T R . (42) График Т) показан на рис. 3.5. Рис. 3.5. Разность давлений p в зависимости от температуры газов в трубе 1 T 34 Составим программу MP_N3_4_boltzmann_1.py для расчета (42). Листинг программы MP_N3_4_boltzmann_1.py 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 # Пример 3.4. MP_3_4_Boltzmann_1 import matplotlib.pyplot as plt import math as mt g=9.81; R=8.31; mu0=0.029; mu1=0.029; T0=230; T1=330; p0=1.0e5; h=25; def dp(y,T): f=p0*(1-mt.exp((mu1/T-mu0/T0)*g*y/R)); return f print ("T1=",T1," W1=%7.1f"%dp(h,T1)); Tmin=300; Tmax=500; NT=100; dT=(Tmax-Tmin)/NT; t=[];DN=[]; t.append(Tmin); DN.append(dp(h,Tmin)) for i in range(1,NT): t1=Tmin+i*dT; t.append(t1); DN.append(dp(h,t1)) plt.plot(t,DN,'k-') plt.xlabel('$T$',fontsize=14) plt.ylabel('$\Delta p$',fontsize=14) plt.show() Комментарий к программе. Строки 00 – комментарий 01-02 – подключение библиотек matplotlib.pyplot, math; 03-04 – определение исходных данных 05-07 – расчетная формула (42); 08 – вычисление перепада давления при 0; h 09-12 – вычисление перепада давлений при разной температуре отходящих газов 13-16 – графический вывод результатов расчета. Вычисление разности давлений для исходных данных дает такой результат. >>> T1= 330 W1= 112.7 >>> Ответ 0.11 p кПа. 35 Пример 3.5. В атмосфере находятся частицы пыли, имеющие массу кг и объем 22 5 10 V м. Найти уменьшение их концентрации на высотах 1 1.5 h мим. Считать, что воздух находится при нормальных условиях 0 273 T К, 5 0 1.013 10 p Па. Решение Потенциальную энергию частицы с учетом архимедовой силы можно записать так ( ) ( ) U y mg Vg y , где mg – сила тяжести Vg – выталкивающая сила Архимеда – плотность воздуха ( 0 0 / p RT ), тогда расчетную формулу для отношения 0 / w n концентраций запишем в виде (37) (рис. 3.6): exp( ) w , где ( ) / m V gy kT Составим программу MP_N3_5_boltzmann_1.py для расчета w . Листинг программы MP_N3_5_boltzmann_1.py 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 # Пример 3.5. MP_3_5_Boltzmann_1 import matplotlib.pyplot as plt import math as mt g=9.81;R=8.31;k=1.38e-23;mu0=0.029;T0=230;p0=1.0e5; m=8.0e-22; V=5.0e-22; h1=1.5; h2=15; ro=p0*mu0/(R*T0) def dp(y): f=mt.exp(-(m-ro*V)*g*y/(k*T0)); return f print ("h1=",h1," w1=%7.3f"%dp(h1)); print ("h2=",h2," w2=%7.3f"%dp(h2)); ymin=0; ymax=25; N=100; dy=(ymax-ymin)/N; z=[];DN=[]; z.append(ymin); DN.append(dp(ymin)) for i in range(1,N): y1=ymin+i*dy; z.append(y1); DN.append(dp(y1)) plt.plot(z,DN,'k-') plt.xlabel('$y$',fontsize=14) plt.ylabel('$w$',fontsize=14) plt.grid(True) plt.show() 36 Комментарий к программе Строки 00 – комментарий 01-02 – подключение библиотек matplotlib.pyplot, math; 03-05 – определение исходных данных 06-08 – расчетная формула для ; w 09-10 – вычисление отношения концентраций для 1 1.5 h и 2 15; h 11-14 – вычисление отношения концентраций w на разной высоте 15-19 – графический вывод результатов расчета. Рис. 3.6. Отношение концентраций 0 ( ) / w n на разных высотах Вычисление w для исходных данных дает такой результат >>> h1= 1.5 w1= 0.826 h2= 15 w2= 0.147 >>> Чем выше над уровнем земли, тем чище воздух. Этот вывод справедлив при условии постоянства температуры и отсутствия потоков воздуха. Ответ 2 0.83, 0.15 w w 37 Самостоятельная работа 3 3.1. Температура водорода 550 К. Определить отношение числа молекул этого газа, компоненты скоростей которых лежат в интервале от 3000 до 3010 мс, к числу молекул, компоненты скоростей которых лежат в интервале от 1500 до 1510 мс. 3.2. Температура кислорода 500 К. Определить долю молекул этого газа, чьи модули скоростей больше наиболее вероятной скорости (использовать рис. 3.1). 3.3. Энергия ионизации атомов калия равна 4.34 эВ. Найти, при какой температуре 10 % всех атомов калия имеют кинетическую энергию поступательного движения, превышающую энергию, необходимую для ионизации отдельных атомов калия. 3.4. Ж. Перрен, наблюдая при помощи микроскопа изменение концентрации взвешенных частиц гуммигута с изменением высоты и применяя барометрическую формулу, экспериментально нашел значение числа Авогадро A N . Водном из опытов Перрен нашел, что при расстоянии между двумя слоями 100 мкм число взвешенных частиц гум- мигута водном слое вдвое больше, чем в другом. Температура жидкости с гуммигутом равна 293 К, частицы гуммигута имеют диаметр 0.3 мкм, взвешены в жидкости, плотность которой на 200 кг/м 3 меньше плотности частиц. Найти по этим данным число Авогадро. 3.5. Определить массу воздуха m в цилиндре с основанием 1 ми высотой 1 1 h мкм км. Найти отношение 0 / m m , где 0 m – масса воздуха на нулевой высоте. Считать, что воздух находится при нормальных условиях. 3.6. Барометр в кабине самолета все время показывает одинаковое давление 1 80 p кПа, благодаря чему летчик считает высоту полета неизменной. Однако температура воздуха изменилась на 1 T К. Какую ошибку h в определении высоты допустил летчик Считать, что температура не зависит от высоты и что у поверхности Земли давление 0 100 p кПа. 38 4. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ Первое начало термодинамики – закон сохранения энергии 12 12 12 Q U A (43) где 12 Q – количество теплоты, сообщенное системе 12 U – изменение внутренней энергии системы 12 A – работа, совершаемая системой против внешних сил. Внутренняя энергия U идеального газа , 2 V i U RT C T (44) где V C – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Адиабатический процесс const pV , 1 const TV , (1 )/ const Tp ; (45) 1 1 1 1 1 1 1 2 12 1 2 2 1 1 1 1 1 1 p V V p V p R A T T V p , (46) где / p V C C – показатель адиабаты p C – молярная теплоемкость при постоянном давлении. Молярная теплоемкость / / 2 V C U dT iR , (47) p V C C R . (48) Некоторую помощь в решении задач раздела оказывает графическое представление изучаемого термодинамического процесса, который может состоять из последовательности различных подпроцессов. 39 Алгоритм 2. Графическое представление составного процесса 1. Весь процесс разобьем на подпроцессы, узловые состояния которых. Пусть 1 i , 0 0 N , определим количество узлов на каждом интервале. Для i го подпроцесса использовать алгоритм 1 получения одномерных массивов { },{ } j j x y . 3.1. Задаем сетку в i м интервале 1 j j i x x j x , 1 i i i j M M N , 1 1 i i k k M N , 1 ( ) / i i i i x X X N 3.2. Вычисляем ( ) j j y f x 4. 1 i i . 5. if i N then goto 3. 6. Пользуясь процедурами пакета |