И. О. Соловьева. Практикум по решению олимпиадных задач по матем. Практикум по решению олимпиадных задач по математике
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
Подведение итогов. Работы всех участников конкурса посту- пают в Российский оргкомитет или в один из Межрегиональных оргкомитетов, где осуществляется компьютерная проверка. По ре- зультатам проверки для каждой параллели составляются списки участников в порядке убывания баллов. На основе этих списков составляются отчеты, которые затем, через Региональные оргкоми- теты, поступают в каждую школу, принявшую участие в конкурсе. Из этого отчета каждый школьник может узнать, какое место он занял в своей школе, в своем городе или районе, а также в целом по стране. Результаты подводятся по каждой параллели отдельно, и хотя каждый вариант рассчитан на две параллели, например на 5 и 6 классы, но сравнивают пятиклассников с пятиклассниками, а ше- стиклассников – с шестиклассниками. Проверка работ завершается в последней декаде апреля, тогда же выполняется рассылка ведомостей по Региональным оргкомите- там. Награждение победителей. "Кенгуру" – конкурс массовый, и награждение по его результатам носит массовый характер. В соот- ветствии с этим основная форма награждения – дипломы и не- большие призы с символикой конкурса, но эти призы должны по- ступать практически в каждую школу. 50 9.3. Математические регаты Математические регаты 1 – сравнительно новая форма матема- тических соревнований школьников. Это командное математиче- ское состязание, в котором решение школьниками задач, разбор различных способов их решения, апелляции, подведение итогов и награждение призеров – все это проходит в один день, в течение 2,5 – 3, 5 ч. Первая Московская межшкольная математическая регата для учащихся десятых классов, в которой участвовало восемь команд, была проведена весной 1996 года. Уже более десяти лет в Москве ежегодно проводятся, по меньшей мере, пять регат (по одной для каждой параллели с 7 по 11 класс). В настоящий момент в каждой Московской регате участвует несколько десятков команд. Инфор- мация о сроках проведения, материалы прошедших олимпиад, их результаты публикуются на сайте http://www.olimpiada.ru. Правила математической регаты. 1. В математической регате участвуют команды учащихся од- ной параллели. В составе каждой команды 4 человека. 2. Соревнование проводится в 4-5 туров. Каждый тур пред- ставляет собой коллективное письменное решение трех-четырех задач. Любая задача оформляется и сдается в жюри на отдельном листе. Каждая команда имеет право сдать только по одному вари- анту решения каждой из задач. Листы каждая команда заготавлива- ет заранее, на каждом из них сверху крупно написано название ко- манды, а ниже – двойной индекс задачи и ее решение. Условия за- дач на этот лист не переписываются. 3. Использование литературы, калькуляторов, мобильных те- лефонов запрещено. 4. Проведением регаты руководит координатор. Он организу- ет раздачу заданий и сбор листов с решениями, проводит разбор задач и объявляет итоги проверки. 5. Время, отведенное командам для решения, и «ценность» задач каждого тура в баллах указаны на листах с условиями задач, которые каждая команда получает непосредственно перед началом 1 Использованы материалы из книги: Московские математические регаты / Сост. А.Д. Блинков, Е.С. Горская, В.М. Гуровиц. – М., 2007. 51 каждого тура. 6. Проверка решений осуществляется жюри после окончания каждого тура. Жюри состоит из трех комиссий, специализирую- щихся на проверке задач № 1, 2 и 3 каждого тура соответственно. 7. Параллельно с проверкой координатор осуществляет раз- бор задач для учащихся, а затем объявляет итоги проверки. После объявления итогов тура команды, несогласные с тем, как оценены их решения, имеют право подать заявки на апелляции. По резуль- татам повторной проверки оценка может быть изменена. В спор- ных случаях окончательное решение об итогах проверки принима- ет председатель жюри. 8. Команды-победители и призеры регаты определяются по сумме баллов, набранных каждой командой во всех турах. Награж- дение победителей и призеров происходит сразу после подведения итогов регаты. При составлении комплекта заданий для каждой регаты учиты- вается, что: для таких соревнований пригодны только такие задачи, ре- шение которых может быть изложено кратко; задачи одного тура должны иметь различную тематику, но примерно одинаковый уровень сложности; задания разных туров, имеющие одинаковый порядковый номер, как правило, относятся к одной теме; сложность заданий и время, выделяемое на их выполнение, возрастают от тура к туру; распределение баллов по турам должно быть таким, чтобы «стоимость» задач последнего тура относилась к «стоимости» за- дач первого как 2 : 3 ; задания первого тура должны быть сравнительно просты- ми, чтобы они были решены большинством команд. Ниже приведены задачи Московской математической регаты для учащихся 8 класса (2003-04 уч.г.). Первый тур (10 минут, 6 баллов за каждую задачу) 1.1. Докажите, что 1 100 1 12 1 11 1 10 1 1.2. Из вершины A параллелограмма ABCD проведены высоты 52 AK и AM . Может ли оказаться так, что точка K лежит на сто- роне параллелограмма, а точка M – на продолжении стороны? 1.3. Существуют ли три последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на квадрат какого-нибудь нату- рального числа, отличного от единицы? Второй тур (15 минут, 7 баллов за каждую задачу) 2.1. Числа a , b , c и d таковы, что d c b a и 2 2 2 2 d c b a Верно ли, что 3 3 3 3 d c b a ? 2.2. В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. На большем основании AD выбрана точка M так, что 3 MD BM см. Найдите длину средней линии трапеции. 2.3. В круговом турнире каждый участник встретился с каждым один раз (победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Единоличным победителем турнира стал Иванов. Затем за упо- требление допинга был дисквалифицирован Петров, результаты всех игр с его участием были аннулированы, и единоличным победителем оказался Сидоров. Петров утверждает, что если бы дисквалифицировали не его, а Сидорова, то он (Петров) стал бы единоличным победителем. Может ли это быть прав- дой? Третий тур (20 минут, 8 баллов за каждую задачу) 3.1. Решите уравнение 0 5 4 2 4 5 2 2 2 x y xy y x 3.2. В прямоугольнике ABCD точка M – середина стороны BC , точка N – середина стороны CD , P – точка пересечения от- резков DM и BN . Докажите, что BPM MAN 3.3. У Золотой рыбки записаны и перенумерованы подряд все зна- комые. Половина из них – щуки, треть – окуни, а все знакомые с номерами, делящимися на 4, – караси. Сколько всего знако- мых у Золотой рыбки? Четвертый тур (25 минут, 9 баллов за каждую задачу) 4.1. Верно ли, что все корни уравнения c b a a c ca x c b bc x b a ab x , 53 где a , b и c – данные натуральные числа, являются целыми числами? 4.2. В выпуклом четырехугольнике ABCD : BC AD , 180 CDB ABD . Докажите, что BCD BAD 4.3. Дан круг радиуса 10 см. На одном из его радиусов отмечены пять точек: на расстояниях 1, 3, 5, 7 и 9 см от центра соответ- ственно. Разрежьте этот круг на 5 равных частей так, чтобы в каждой части оказалась ровно одна точка. 9.4. Турнир Архимеда Это лично-командная олимпиада для учащихся 5-6 классов. Для учащихся 5-х классов соревнование является лично- командным, а для учащихся 6-х классов – только командным 1 Для пятиклассников сначала проводится личный этап (пись- менная олимпиада), продолжительность которого 60 минут. На этом этапе школьникам предлагается шесть задач, традиционная тематика которых – числовые ребусы, задачи на раскрашивание или разрезание, задачи на движение или работу, задачи, содержа- щие идеи четности или делимости, логические задачи, требующие составления алгоритмов или организации определенного процесса. Каждая задача оценена в баллах в зависимости от ее предполагае- мой трудности. Затем, после пятнадцатиминутного перерыва, пяти- классники приступают к командному этапу, который продолжается 60-80 минут. Продолжительность олимпиады для шестиклассников составляет около 2,5 часов. Варианты командных заданий для 5-х и 6-х классов различаются по трудности, но содержат сходные типы заданий. Все задания командных этапов также заранее оценены в бал- лах, причем учащимся дается право на ошибку, то есть они могут представить верное решение не с первой, а со второй (в некоторых случаях и с третьей) попытки, потеряв при этом часть баллов. По- сле знака указывается количество баллов со второй попытки. Подведение итогов турнира и награждение призеров происхо- 1 Использованы материалы из книги: Математика: Интеллектуальные ма- рафоны, турниры, бои: 5-11 классы: Кн. для учителя. – М., 2003. 54 дит примерно через 15-20 минут после окончания командных со- ревнований. Проверка результатов командных этапов происходит параллельно с работой команд, то есть команды имеют возмож- ность сдавать решенные задачи в течение всего времени проведе- ния этого этапа. Приведем задачи одного турнира Архимеда для пятиклассни- ков. Личный этап 1. В волшебной стране живут только тролли и гоблины. Чудо- юдо, которое забрело в эту страну, сожрало 4 1 всех троллей и 4 1 всех гоблинов. Верно ли, что съедена половина населения страны? Ответ объясните. (4 балла) 2. Сколько существует двузначных чисел, в десятичной запи- си которых цифра десятков меньше цифры единиц? (5 баллов) 3. Покажите, как разрезать фигуру на восемь равных частей пятью прямолинейными разрезами. (5 баллов) 4. Оксана сказала, что чашку разбила Соня. Лена и Соня ска- зали, кто разбил чашку, но каждая говорила очень тихо и их не услышали. Известно, что одна из трех девочек разбила чашку, и только она и сказала правду. Как ее зовут? Ответ объясните. (5 баллов) 5. Вася и Петя, поссорившись, разбежались с одинаковыми скоростями в противоположных направлениях. Через 5 минут Вася спохватился, повернул назад и, увеличив скорость, побежал дого- нять Петю. Во сколько раз увеличил скорость Вася, если он догнал Петю через 5 минут после того, как повернул назад? (6 баллов) 6. Восемь кустов малины растут в ряд, причем количество ягод на любых двух соседних кустах отличается на 1. Может ли 55 общее количество ягод равняться 2011? Ответ объясните. (7 бал- лов) Командный этап 1. В двух ребусах все цифры зашифрованы буквами. Одина- ковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным буквам – разные цифры. В каждом ребусе свой шифр. а) Замените буквы цифрами так, чтобы все равенства стали верными: A К И Т Е М Ф И Р А : : б) Замените буквы цифрами так, чтобы стали верными равен- ства, расположенные в одной строке или в одном столбце. (8 4 балла за каждый из пунктов) П : У = Т + Е = Ш + Е = С + Т = В – И = Е 2. Покажите, как разрезать каждую из трех фигур на пять рав- ных фигур. (8 4 балла за каждую из фигур) 56 3. Числовой лабиринт. В начале этой игры вы имеете число 0 и находитесь в цен- тральной клетке квадрата 3 3 . Ваша цель – выйти из квадрата, выполнив все математические действия, которые вы встретите на своем пути, записать этот путь подробно, а главное – записать тот результат, с которым вы выходите из квадрата. Направление ваше- го движения каждый раз зависит от того, какой остаток от деления на 4 имеет ваше число: если оно делится на 4 без остатка, то вы идете на одну клетку вверх ; если оно при делении на 4 дает остаток 1 – на одну клетку вправо ; если этот остаток равен 2 – на одну клетку вниз ; а если он равен 3 – на одну клетку влево . Может так случится, что вы попадете несколько раз в одну и ту же клетку, но направление вашего дальнейшего движения может оказаться другим (в зависимости от результата последнего дей- ствия). Если ваш очередной ход вывел вас за рамки данного квад- рата, то вы вышли из числового лабиринта, то есть игра закончи- лась. Поясним на примере. + 1 : 4 – 1 – 8 + 8 – 4 7 – 7 : 2 Решение. 1) 8 8 0 (делится на 4, ) 2) 2 4 : 8 (остаток 2, ) 3) 10 8 2 (остаток 2, ) 4) 3 7 10 (остаток 3, ) 5) 21 7 3 (остаток 1, ) 6) 14 7 21 (остаток 2, ); вышли за границы квадрата; игра закончилась. Ответ: 14. 57 Теперь попробуйте сами. На рисунке даны три квадрата. (6 3 балла за каждый из лабиринтов) : 2 – 1 + 3 : 8 + 2 + 1 2 : 4 – 3 2 + 3 : 4 + 1 + 6 – 4 + 4 + 9 : 3 + 3 5 – 1 + 5 : 2 2 : 2 + 7 – 2 4. Получите число. В каждом из пунктов а, б и в даны четыре числа и указано чис- ло, которое надо получить из них с помощью четырех арифметиче- ских действий (+; –; ; :). Каждое из данных чисел можно исполь- зовать ровно один раз, их порядок можно изменять. Использование скобок не разрешается, использование всех действий не требуется. (6 3 балла за каждый пункт) а 6 6 8 9 = 18 б 4 6 8 9 = 21 в 2 4 5 7 = 11 5. Японский кроссворд. Клетки прямоугольников закрашены некоторым образом. Чис- ла указывают, сколько подряд идущих клеток закрашено в данной вертикали или горизонтали. Например, над некоторым столбцом написаны числа 6, 4, 1. Это означает, что в столбце закрашены три группы клеток, причем первая содержит шесть, вторая – четыре и третья – одну закрашенную клетку. Группы отделяются друг от друга одной или несколькими незакрашенными клетками. Строки читаются слева направо, а столбцы – сверху вниз. Восстановите рисунки в таблицах. (12 6 баллов за каждый кроссворд) 58 3 2 3 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 5 3 2 3 5 1 3 1 5 3 2 2 11 2 2 2 5 3 1 1 1 2 3 1 1 2 8 8 8 8 8 8 2 1 1 6 9 6 1 6 2 8 6 12 8 59 Ответы, указания к решению, решения 1. Логические задачи 4. Ответ: лжец – B , хитрец – C . B не может быть честным попугаем, поскольку он сказал, что он хитрец. C также не может быть честным попугаем, так как он сказал, что B – честный попугай. Значит, честный попугай – A . О B он сказал «лжец», значит C – хитрец. 5. Ответ: Смит. Если предположить, что Смит оба раза сказал правду, то полу- чается, что Браун совершил преступление и Джонс тоже оба раза сказал правду, что невозможно. Следовательно, Смит не мог оба раза сказать правду, и значит, Браун преступления не совершал, а Джонс не мог оба раза сказать правду (второе его утверждение ложно). Значит, оба раза сказал правду Браун, Джонс оба раза со- лгал, а Смит первый раз солгал, а второй раз сказал правду. 6. Ответ: 99-е. Поскольку любые два утверждения противоречат друг другу, то верным может быть только одно утверждение. А значит, осталь- ные 99 – ложные. Верное утверждение – «В этой тетради ровно 99 ложных утверждений». 7. Ответ: 1000 книг или ни одной. Если предположить, что прав Ваня, тогда обязательно права и Маня, что противоречит условию. Допустим, что права Аня. Полу- чается, что у Вовы книг меньше тысячи, в то же время, неверны слова Мани, следовательно, у Вовы нет ни одной книги. Теперь предположим, что права Маня. Тогда Ваня и Аня не правы, это значит, что у Вовы 1000 книг. Примечание. Важно получить оба варианта ответа (для этого необходимо при решении задачи перебрать все варианты). 8. Ответ: 50. Предположим, что все ответившие на вопрос – химики, тогда согласно их ответам алхимиков больше. Но поскольку ответивших – 51, то алхимиков не могло быть больше. Предположение не вер- но. Предположим также, что все ответившие – алхимики. Тогда, учитывая, что алхимики лгут, получим, что химиков больше. Ана- 60 логично предыдущему случаю получили противоречие. Значит, среди ответивших есть как химики, так и алхимики. Но они давали одинаковый ответ: алхимиков больше (не считая отвечающего). Это возможно только в том случае, если химиков и алхимиков на конференции было поровну. 9. Ответ: в городе A . Выясним, из какого города был сделан звонок, учитывая, что информация о пожаре – истинна. Это не мог быть город A , так как в этом случае второй ответ был бы ложным, что невозможно для жителей A . Звонок не мог быть из города C , так как в этом случае оба утверждения либо истинны (если пожар в C ), либо ложны (ес- ли пожар в другом городе), а это невозможно для жителей C . Зна- чит, звонили из города B . Поскольку оба утверждения в этом слу- чае являются ложными, значит, пожар в городе A . 10. Ответ: молоко в кувшине, лимонад в бутылке, квас в бан- ке, вода в стакане. Соединим пунктирной линией сосуд и жидкость, если по усло- вию жидкость не может находиться в сосуде (см. рис. 18а). Затем соединим сплошными линиями сосуды и находящиеся в них жид- кости (см. рис. 18б). В банке может быть только квас, тогда в бу- тылке – лимонад, в стакане – вода, в кувшине – молоко. 11. Ответ: 5, 12, 19, 26, 33. 90 d Заметим, что все эти числа можно определить, если знать одно из чисел и разность d двух соседних. Посмотрев на второе и третье числа (у них совпадают первые цифры), можно сказать, что они лежат в одном десятке, и их разность (равная d ) не бутылка стакан кувшин банка молоко лимонад квас вода а бутылка стакан кувшин банка молоко лимонад квас вода б Рис. 18 61 превосходит 9. А значит, прибавив d к первому (однозначному) числу, мы можем получить только двузначное число, начинающееся на 1, то есть Е = 1. Аналогично, Л = 2, С = 3. Получаем запись: Т, 12, 1К, 2А, 33. Заметим, что d A K A K 2 33 1 2 12 1 , откуда d 3 12 33 , 7 d . Мы восстановили последнее число и разность. Дальше легко восстановить запись: 5, 12, 19, 26, 33. 12. Ответ: «неразрешимая проблема». Указание. Выпишите алфавит с номерами букв, далее, опреде- ляя буквы, учитывайте, какие цифры следуют далее. 13. Ответ: можно. Пусть N – номер искомой квартиры. Если бы число N было кратно четырем, то оно было бы кратно и двум, тогда по первому условию 59 50 N . Среди чисел этого интервала есть два числа, кратных четырем: 52 и 56. Оба эти числа не кратны трем, тогда со- гласно второму условию 69 60 N . Получили противоречие. Значит, N не может быть кратно четырем. Тогда из третьего усло- вия получаем 79 70 N , причем N не должно быть кратно двум и должно быть кратно трем. Такое число существует, причем един- ственное: 75 N 14. Ответ: может. Переправу можно осуществить следующим образом. Сначала одна из жен перевозит двух других по очереди на другой берег. За- тем она возвращается, и мужья уже переправленных жен переправ- ляются сами. Один из них перевозит свою жену обратно и возвра- щается на другой берег с оставшимся на этом берегу бедуином. Жена, уже переправившаяся на другой берег, возвращается и пере- возит по очереди двух других жен. 15. Очевидно, что малыш и бабушка должны идти вместе. По- скольку фонарик нужно вернуть назад, малыш с бабушкой должны идти не первыми. Получаем: идут папа и мама (2 мин.), возвраща- ется папа с фонариком (1 мин.), переходят малыш и бабушка (10 мин.), мама возвращается с фонариком (2 мин.) и переходит вместе с папой (2 мин.). 16. Приведем рассуждения ответившего мудреца (обозначим его A , а двух других – B и C ). Предположим, у меня надет зеле- ный колпак. Тогда мудрец B , видя перед собой красный и зеленый |