И. О. Соловьева. Практикум по решению олимпиадных задач по матем. Практикум по решению олимпиадных задач по математике
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
8.3. Разные игры Не все игровые задачи решаются с использованием описанных выше методов. В этом разделе представлены примеры разных иг- ровых задач, решение которых основано на иных подходах. В некоторых задачах выигрышная стратегия не указывается, доказывается только ее существование. Рассмотрим пример. Задача 152. Двое по очереди выписывают на доску делители числа 2010. При этом запрещается выписывать делители уже выпи- санных чисел. Проигрывает тот, кто не может выписать очередное число. Кто выиграет при правильной игре? Решение. Игра конечна. Предположим, что у второго есть вы- игрышная стратегия. Это означает, что какие бы числа не выписы- вал первый игрок, второй всегда может гарантировать себе послед- ний ход. Например, если первый выпишет на доску цифру 1, то у 40 второго найдется выигрышная стратегия S и следующим ходом он выпишет на доску число a. Однако если первый первым ходом вы- пишет число a, то число 1 на доске уже не появится и, значит, пер- вый может воспользоваться выигрышной стратегией S. Таким об- разом, выиграет первый. ■ В этой задаче используется прием «передачи хода». Если мы можем воспользоваться стратегией противника, то наши дела не хуже чем у него. Например, выигрыш (или ничья) обеспечивается, когда можно по своему желанию попасть в некоторую позицию либо заставить противника попасть в неё. Задачи. 153. Выписаны в ряд числа от 1 до 2010. Играют двое, делая ходы поочередно. За один ход разрешается вычеркнуть любое из записанных чисел вместе со всеми его делителями. Выигрывает тот, кто зачеркнет последнее число. Докажите, что первый игрок выиграет при правильной игре. 154. Двое играют на клетчатой доске 10 2 , расположенной вертикально. Играющий закрашивает любую клетку и вместе с ней все клетки выше и правее от закрашенной. Кто закрасит послед- нюю клетку, тот проиграл. Кто имеет выигрышную стратегию? 155. Фишка стоит в углу шахматной доски размером n n кле- ток. Каждый из двух играющих по очереди передвигает ее на со- седнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, где фишка уже побывала, нель- зя. Проигрывает тот, кому некуда ходить. а) Докажите, что если n четно, то начинающий игру может до- биться выигрыша, а если n нечетно, то выигрывает второй. б) Кто выигрывает, если первоначально фишка стоит не на уг- ловом поле, а на соседнем с ним? 156. Имеется куб и две краски: красная и зеленая. Первый вы- бирает два ребра куба и красит их в зеленый цвет, второй – в крас- ный. Запрещается перекрашивать ребро в другой цвет или красить дважды одной краской. Выигрывает тот, кто первым сможет по- красить своей краской все ребра какой-либо грани. Кто имеет вы- игрышную стратегию? 157. На доске написаны числа 1, 2, …, 1000. Двое по очереди 41 стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске оста- ется два числа. Если их сумма делится на 3, то побеждает первый игрок, если нет – второй. Кто выигрывает при правильной игре? 158. На доске 6 4 клеток стоят две чёрные фишки Вани и две белые фишки Серёжи (рис. 16). Ваня и Серёжа по очереди двигают любую из своих фишек на одну клетку вперёд (по вертикали). Начинает Ваня. Если после хода любого из ребят чёрная фишка окажется между двумя белыми по горизонтали или по диагонали (как на рис. 17), она считается «убитой» и снимается с доски. Ваня хочет провести обе свои фишки с верхней горизонтали доски на нижнюю. Может ли Серёжа ему помешать? 159. Игроки по очереди ставят числа вместо звездочек в сле- дующей системе неравенств: * * * * * * * * * . Выигрывает первый, если все равенства выполняются, второй – если хотя бы одно ра- венство неверно. Кто выигрывает при правильной игре? 160. На доске написано уравнение 0 2 x x . Первый иг- рок называет любые три числа, второй расставляет их по своему выбору вместо звездочек. Может ли первый выбрать три числа так, чтобы квадратное уравнение имело разные рациональные корни, или второй всегда может ему помешать? Рис. 16 а б в Рис. 17 42 9. Виды математических состязаний школьников Для школьников проводятся различные математические состя- зания, которые рассчитаны на разный уровень подготовки учащих- ся, преследуют различные цели, среди них: 1) математические олимпиады, 2) международный конкурс «Кенгуру», 3) математический бой, 4) турнир Архимеда, 5) интеллектуальный марафон, 6) математическая регата, 7) математическое ориентирование и другие. Остановимся подробнее на некоторых математиче- ских состязаниях для школьников. 9.1. Всероссийская олимпиада школьников по математике Что такое олимпиада 1 . Это соревнование между школьника- ми, в котором участник за фиксированное время должен решить предложенные задачи. Обычно решение оформляется в письмен- ном виде (некоторые этапы олимпиады в Санкт-Петербурге, со- гласно традиции, проводятся в форме устных олимпиад). Жюри за каждую задачу ставит определенное количество баллов, в зависи- мости от степени продвижения участника в ее решении. Итоговый результат выступления определяется по сумме баллов, набранных участником. В настоящее время на всех этапах Всероссийской ма- тематической олимпиады школьников правильное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. Можно сказать, что математическая олимпиада – это творче- ское соревнование, являющееся гармоничным сочетанием спорта (точнее, интеллектуального состязания) и науки. Для успеха на олимпиаде необходимо иметь некоторые спортивные качества: психологическую устойчивость, умение выкладываться в ограни- 1 Использованы материалы из книги: Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Всероссийская олимпиада школьников по математике: Методическое по- собие. – М., 2005. 43 ченный промежуток времени, бойцовские качества (умение со- браться в нужный момент, переносить поражения). В математиче- ских олимпиадах многие задания начинаются со слов «Докажите, что…». Уже формулировка заданий показывает, что школьнику предлагается самостоятельно вывести некое математическое утверждение. В процессе решения олимпиадных задач вырабаты- ваются навыки творческой деятельности, которые впоследствии облегчают переход к самостоятельным научным исследованиям. Из истории олимпиад. Первая математическая олимпиада в России была организована в Ленинграде в 1934 году по инициативе замечательного математика Б.Н. Делоне. Уже на следующий год городская олимпиада прошла в Москве. До войны олимпиады про- водились ежегодно и быстро завоевали популярность. Сразу после войны они были возобновлены. Первой математической олимпиадой, в которой приняли уча- стие несколько областей РСФСР, стала проводившаяся в Москве олимпиада 1960 года. Ее иногда называют «нулевой» Всероссий- ской математической олимпиадой школьников. Официальная ну- мерация началась с 1961 года. В 1974 году был создан Центральный оргкомитет Всероссий- ской физико-математической и химической олимпиады школьни- ков. Центральным оргкомитетом и методическими комиссиями по физике, математике и химии были разработаны структура, задачи и цели олимпиады, которые в основном остаются неизменными и по настоящее время. Структура олимпиады. Согласно Положению о всероссий- ской олимпиаде школьников олимпиада по математике проводится в четыре этапа: школьный, муниципальный, региональный и за- ключительный. Основными целями и задачами Олимпиады являются выявле- ние и развитие у обучающихся творческих способностей и интере- са к научно-исследовательской деятельности, создание необходи- мых условий для поддержки одаренных детей, пропаганда научных знаний. Первый этап (школьный) проводится общеобразовательными учреждениями в октябре. Олимпиада проводится для учащихся 5- 11 классов. В нем может участвовать каждый учащийся. Вся орга- 44 низационная и методическая работа обеспечивается педагогиче- скими коллективами школ. Второй (муниципальный) этап проводится местными органами управления образованием в ноябре-декабре по заданиям, разрабо- танным муниципальными предметно-методическими комиссиями с учетом методических рекомендаций Центральной предметной ме- тодической комиссии по математике. Олимпиада проводится для учащихся 7-11 классов. Участниками второго этапа олимпиады яв- ляются победители и призеры первого этапа, а также победители и призеры второго этапа олимпиады предыдущего года. Третий (региональный) этап проводится в субъектах Россий- ской Федерации государственными органами управления образо- ванием субъектов Российской Федерации в январе-феврале одно- временно во всех субъектах Российской Федерации, в сроки, опре- деленные Министерством образования и науки РФ. Олимпиада проводится для учащихся 9-11 классов в два дня. Продолжитель- ность каждого тура – 4 часа. Каждый день школьникам предлагает- ся решить по 4 задачи. Третий этап Всероссийской олимпиады школьников уже является отборочным, носящим «спортивный» характер. Победители регионального этапа становятся участниками заключительных этапов олимпиады. Четвертый (заключительный) этап проводится образователь- ными учебными заведениями высшего профессионального образо- вания Российской Федерации и соответствующим государствен- ным органом управления образованием субъекта РФ в апреле. Олимпиада проводится для учащихся 9-11 классов в два тура. Вре- мя проведения каждого тура – 5 часов. Каждый день участникам предлагается решить по 4 задачи. Задания третьего и заключительных этапов олимпиады состав- ляются Центральной предметной методической комиссией по ма- тематике. Методическая комиссия включает в себя «задачных ком- позиторов»: преподавателей, аспирантов и студентов ведущих ву- зов России, становившихся победителями и призерами Всероссий- ских и Международных математических олимпиад. Все задания, подготовленные Методической комиссией, являются новыми (ав- торскими). Структура варианта (заданий) Главными при формировании комплектов заданий олимпиад 45 являются следующие принципы. 1. Нарастание сложности заданий от первого к последнему. При этом их трудность должна быть такой, чтобы с первым зада- нием могли успешно справиться примерно 70% участников, со вторым — около 50%, с третьим — около 20%, а с последними – лишь наиболее сильные участники олимпиады. (На школьном эта- пе задания должны быть более простыми: с первым заданием должны справиться почти все участники олимпиады). 2. Тематическое разнообразие заданий. В комплект должны входить задачи по геометрии, алгебре, комбинаторике, а в старших классах желательно включение задач по теории чисел, тригономет- рии, стереометрии, математическому анализу. При этом допустимо и даже рекомендуется включение задач, объединяющих различные разделы школьной математики. 3. Обязательная новизна задач для участников олимпиады. В случае, когда задания выбираются из печатных изданий или из ма- териалов специализированных ресурсов сети Интернет (это воз- можно на начальных этапах олимпиады), Методическая комиссия этого этапа должна выбирать источники, неизвестные участникам. При составлении заданий нельзя использовать только один источ- ник. 4. Эстетическая красота заданий. В математике существует по- нятие «красивая задача». К таковым относят задачи, в которых со- четаются интересный с научной точки зрения факт, простота фор- мулировки и «элегантность» решения. 5. Недопустимость включения в задания олимпиады задач по разделам математики, не изученным по всем базовым программам по алгебре и геометрии в соответствующем классе к моменту про- ведения олимпиады. Критерии оценки работ Проверка работ на олимпиаде отличается от проверки кон- трольных. В школе внимание учителя сосредоточено на недостат- ках, поскольку это помогает отработать навыки и довести их до автоматизма. На олимпиаде цель другая – выявить позитивные идеи, найти думающих школьников, и потому отношение к опис- кам и даже ошибкам довольно снисходительное (тем более что многие школьники не умеют чётко выражать свои мысли). В соответствии с целями проведения олимпиады строится и 46 система оценок. Традиционными стали следующие оценки: + задача решена правильно; +. задача решена, но имеются мелкие замечания к решению; ± задача в целом решена (в решении имеются легко устрани- мые пробелы); +/2 имеется значительное продвижение в решении, но полное решение требует привлечения других существенных идей (задача решена «наполовину»); задача не решена, но подход к решению правилен; −. задача не решена, но имеются некоторые разумные сообра- жения; − задача решена неправильно; 0 задача не решалась или решение не записывалось; ! добавляется к оценке, если решение содержит яркие идеи. Выставленные символы после обсуждения членами жюри пе- реводятся в баллы. 9.2. Международный математический конкурс «Кенгуру» Конкурс «Кенгуру» возник в Австралии и быстро распростра- нился по странам и континентам. В 1996 году организаторы кон- курса из разных стран объединились в ассоциацию «Кенгуру без границ». В России 1 конкурс впервые был проведен в 1994 году по ини- циативе Санкт-Петербургского Математического общества. Начи- ная с 1995 года, проведением конкурса руководит Российский орг- комитет, созданный в Санкт-Петербурге при Институте продук- тивного обучения Российской академии образования. Опыт массо- вого проведения математической игры показал, что ребята с боль- шим энтузиазмом и удовольствием решают доступные для них, интересные и занимательные задачи, которые заполняют вакуум между стандартными и часто скучными примерами и задачами из школьного учебника и довольно трудными и требующими специ- альных знаний и подготовки задачами городских и районных ма- тематических олимпиад. 1 Использованы материалы сайта: http://www.kenguru.sp.ru. 47 Главная цель конкурса – привлечь как можно больше ребят к решению математических задач, показать каждому школьнику, что обдумывание задачи может быть делом живым, увлекательным, и даже веселым. Цель эта достигается вполне успешно: например, в 2009 году в конкурсе участвовало более 5,5 миллионов ребят из 46 стран. А количество участников конкурса в России превысило 1,8 миллиона. Подготовка заданий. Происходит это так: сначала оргкомите- ты всех стран присылают в страну, организующую встречу, списки задач, которые они предлагают включить в варианты будущего конкурса. Во время встречи каждый ее участник получает полный комплект предложений всех стран, после чего участники разбива- ются на пять рабочих групп (по числу возрастных категорий кон- курса), и каждая такая группа вырабатывает один вариант конкур- са. Согласованный таким образом международный вариант заданий служит общей основой для национальных вариантов, подготавли- ваемых затем в каждой стране. При переводе национальные оргко- митеты имеют право заменить небольшую часть заданий, с учетом специфики своих учебных программам по математике и нацио- нальных традиций математических соревнований. Но в любом слу- чае значительная часть заданий должна быть доступна школьни- кам, не имеющим никакой специальной подготовки, а формули- ровки многих заданий должны быть веселыми и занимательными. Поскольку в результате такой адаптации задания конкурса в разных странах могут отличаться друг от друга, на международном уровне ни командные, ни, тем более, личные достижения участни- ков конкурса «Кенгуру» не сравниваются. Сравнивается только количество участников, и здесь наша страна уже несколько лет ли- дирует с заметным отрывом. Участники конкурса. К участию в конкурсе, без предвари- тельного отбора, допускаются все учащиеся 3-10 классов общеоб- разовательных учебных заведений, оплатившие организационный взнос. (Как и в других странах, участие в конкурсе платное, но пла- та очень небольшая, в последние годы – около 30-40 рублей. Эти деньги позволяют покрывать расходы по проведению соревнования и награждать многих участников конкурса небольшими, но разно- образными призами.) Возрастные категории распределены так: Ecolier – 3 и 4 классы, Benjamin – 5 и 6 классы, Cadet – 7 и 8 классы 48 и Junior – 9 и 10 классы (в категории Student в нашей стране кон- курс не проводится). В конкурсе могут принимать участие второ- классники, в этом случае они решают задачи, предназначенные для учащихся 3 – 4 классов. Проведение конкурса. Школьный организатор собирает ин- дивидуальные заявки и организационные взносы от учеников своей школы и передает их в установленные сроки в Региональный орг- комитет. Региональный оргкомитет обобщает школьные заявки и передает их в Российский оргкомитет. Конкурс проводится во всех школах в один и тот же день, в третий четверг марта. Перед началом конкурса каждый участник получает листок с задачами (этот листок остается у него, а значит, потом можно еще раз проверить себя и решить то, что не успел сразу) и бланк ответов. Затем все участники вносят свои личные данные в бланки ответов. С этого момента идет отсчет времени конкурса: 1 час 15 минут. Решив задачу, участник конкурса закра- шивает в колонке с номером этой задачи букву, обозначающую выбранный ответ. Исправления в этой части бланка категорически запрещены. Сразу же по истечении времени конкурса, школьный организатор собирает работы и в тот же день передает их в Регио- нальный оргкомитет. Задания конкурса 1 . Вариант для каждой возрастной категории содержит 30 задач, на решение которых отводится 75 минут (у са- мых младших количество задач сокращено до 26). При подборе задач главенствуют два принципа: во-первых, решение задач должно доставлять удовольствие, а во-вторых, "Кенгуру" – это хоть и не очень жесткое, но все-таки соревнование, поэтому побеждать должны наиболее способные и подготовлен- ные. Все задачи варианта разбиты на три категории, по десять задач в каждой (у младших в последний, наиболее трудный, раздел включается только 6 задач). Первый раздел составлен их легких, часто шуточных задач, каждая из которых оценивается в 3 балла. Эти задачи подбираются так, чтобы любой участник конкурса мог решить хотя бы несколь- 1 С заданиями конкурса разных лет можно ознакомиться на сайте http://www.kenguru.sp.ru. 49 ко из них и получить при этом удовольствие. Они по силам каждо- му, кто внимательно прочитает условие, и не требуют никакой спе- циальной подготовки. Но и в них встречаются неожиданные поста- новки вопросов и даже коварные "ловушки", так что нельзя ска- зать, что с участниками конкурса играют в поддавки. Задачи, оценивающиеся в 4 балла, рассчитаны на то, чтобы школьные отличники и "хорошисты" могли проявить себя. Эти за- дачи заметно сложнее трехбалльных и, как правило, ближе к школьной программе. Последний раздел состоит из трудных, нестандартных задач, оцениваемых в 5 баллов каждая. Они составляются так, чтобы даже наиболее подготовленным ребятам было о чем подумать. Для их решения надо проявить и смекалку, и умение самостоятельно рас- суждать, и наблюдательность. Таким образом, максимальная сумма баллов, которую может набрать участник конкурса, равна 120 (для учеников начальной школы эта сумма равна 100 баллам). |