И. О. Соловьева. Практикум по решению олимпиадных задач по матем. Практикум по решению олимпиадных задач по математике
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. С.М. КИРОВА И.О. Соловьева Практикум по решению олимпиадных задач по математике Учебное пособие Псков 2010 2 УДК 51 ББК 22.1, 74.262.21 С 603 Печатается по решению кафедры математического анализа и мето- дики обучения математике ПГПУ им. С.М. Кирова Соловьева И.О. С 603 Практикум по решению олимпиадных задач по математике: Учебное пособие. – Псков: ПГПУ, 2010. – 96 с. ISBN 978-5- 87854-538-9 В пособии описаны классические идеи решения олимпиадных задач. К этим идеям подобраны примеры задач с решениями и задачи для само- стоятельного решения. Пособие содержит 160 задач. Пособие адресовано студентам математических факультетов педаго- гических вузов и призвано помочь им в освоении идей и методов решения олимпиадных математических задач, а также в подготовке учащихся к математическим состязаниям школьников. Пособие может быть полезно также учащимся 5-11 классов, интересующимся математикой, учителям математики, которые могут использовать материал книги в индивидуаль- ной работе со способными учениками и, прежде всего, в школьных мате- матических кружках, а также всем любителям математики. С 603 Печатается в авторской редакции Рецензенты: Хватцев А.А. – зав. кафедрой высшей математики Псковского гос- ударственного политехнического института, кандидат физ.-мат. наук, профессор Мартынюк О.И. – доцент кафедры алгебры и геометрии Псков- ского государственного педагогического университета имени С.М.Кирова, кандидат пед. наук ISBN 978-5-87854-538-9 © Псковский государственный педагогический университет им. С.М. Кирова, 2010 (ПГПУ им. С.М.Кирова), 2010 © Соловьева И.О., 2010 3 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Как решать задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. Логические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Принцип Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Процессы и операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4. Инварианты и полуинварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5. Раскраска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6. Наибольшее, наименьшее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7. Принцип крайнего . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 8. Игровые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.1. Поиск стратегии с конца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8.2. Симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8.3. Разные игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 9. Виды математических состязаний школьников . . . . . . . . . . 42 9.1. Всероссийская олимпиада школьников по математике 42 9.2. Международный математический конкурс «Кенгуру». 46 9.3. Математические регаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 9.4. Турнир Архимеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ответы, указания к решению, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4 Предисловие Олимпиадные задачи в математике – термин для обозначения круга задач, для понимания условий и решений которых вполне достаточно знаний школьного курса математики, однако для их решения требуются неожиданные и оригинальные подходы, ис- пользуются методы, непривычные для школьной практики. Олимпиадные задачи условно можно подразделить на два класса. Первый содержит задачи, близкие к школьному курсу ма- тематики, углубляющие и дополняющие традиционные темы «Де- лимость чисел», «Многочлены», «Функции», «Уравнения и нера- венства», различные разделы геометрии и др. Второй класс вклю- чает задачи, которые нельзя, как правило, отнести к определенному разделу математики, для их решения нужно умение рассуждать, догадываться, выстраивать логику доказательства. В решении та- ких задач зачастую используется некоторый метод или идея, отно- сящаяся к классической олимпиадной тематике. Данное пособие посвящено преимущественно таким задачам и методам их реше- ния. В пособии описаны классические идеи решения олимпиадных задач. К этим идеям подобраны примеры задач с решениями и за- дачи для самостоятельного решения. Пособие содержит 160 задач. Все задачи в том или ином смысле «нестандартны» – их решение требует смекалки, сообразительности, а часто и многочасового размышления. Для большинства задач в пособии приведены реше- ния, для наиболее простых – указания и ответы. Сложность задач существенно различна. Некоторые из них до- вольно простые, для их решения достаточно смекалки, логики, эти задачи доступны уже учащимся пятых-шестых классов. Другие за- дачи требуют некоторого опыта, интуиции и наблюдательности, они могут быть сложны и для старшеклассников. Чтобы решить наиболее трудные задачи потребуется умение организовать работу над задачей (прояснить ситуацию, выявить круг идей и др.) и вла- деть определённой техникой. Большинство задач доступно уча- щимся 7-9 классов. Начать работу с пособием рекомендуется со знакомства с сове- тами, данными в разделе «Как решать задачи». 5 В книге содержится раздел «Виды математических состязаний школьников», в котором рассказывается об олимпиадах и других конкурсах для учащихся, особенностях их подготовки и проведе- ния, специфике задач и др. Материалы этого раздела могут быть использованы для организации внеклассной работы по математике в школе. Пособие написано на основе опыта, приобретенного автором в процессе работы на протяжении ряда лет в жюри областного (реги- онального) этапа Всероссийской олимпиады по математике. Боль- шинство задач апробировано в рамках курса «Практикум по реше- нию математических задач», разработанного автором для студен- тов физико-математического факультета педагогического универ- ситета. Пособие адресовано студентам математических факультетов педагогических вузов и призвано помочь им в освоении идей и ме- тодов решения олимпиадных математических задач, а также в под- готовке учащихся к математическим состязаниям школьников. По- собие может быть полезно также учащимся 5-11 классов, интере- сующимся математикой, учителям математики, которые могут ис- пользовать материал книги в индивидуальной работе со способны- ми учениками и, прежде всего, в школьных математических круж- ках, а также всем любителям математики. 6 Как решать задачи Решение задач – практическое искус- ство, подобное плаванию, катанию на лы- жах или игре на фортепьяно; научиться ему можно только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь. Д.Пойа Осваивать идеи и методы решения задач можно двумя спосо- бами: 1) сначала прочитать описание идеи, потом разобрать приме- ры, потом порешать задачи на эту тему, или 2) сразу начать с задач, чтобы самим уловить идею, а уже потом прочитать комментарии и разобрать примеры. Решать задачи рекомендуется не «в разбивку», а выбрать сна- чала определенный цикл и потратить некоторое время на решение задач этого цикла. При этом задачи можно решать не все подряд, а выбирая те, которые вам интересны. Сначала попытайтесь решить задачу самостоятельно, не заглядывая в ответы и решения. После того как задача решена, проверьте свой ответ. Также полезно све- рить своё решение с приведённым в книге – кроме проверки пра- вильности своего решения (даже если у вас совпал ответ, решение может быть неверным) вы можете узнать другие подходы к задаче. Если какая-то задача особенно понравилась, то, решив её, не переходите сразу к следующей, а подумайте еще над этой. Попро- буйте понять: • какие идеи привели к решению, чем эта задача похожа или не похожа на другие задачи; • где в решении использованы те или иные данные, перестанет ли утверждение быть верным, если какое-то условие убрать или ослабить; • можно ли данные и ответ поменять местами, т.е. верно ли об- ратное утверждение; • можно ли обобщить задачу или вывести интересные след- ствия. Не стремитесь решать много задач. Если вы решите за день од- ну-две задачи и хорошо всё продумаете, то это будет лучше, чем решить десять задач поверхностно. Важно не количество решен- 7 ных задач, а то новое, что удалось понять. Если у вас после реше- ния хорошей задачи поднимается настроение – это признак успеш- ной работы. На наш взгляд, при решении задач полезными могут оказаться советы участнику олимпиады. Приводим их. 1. Прочитайте условия всех задач и наметьте, в каком порядке вы будете их решать. Учтите, что обычно задачи упорядочены по возрастанию их трудности. 2. Если условие, на ваш взгляд, можно понять разными спосо- бами, то не выбирайте самый удобный для себя, а обращайтесь к дежурному с вопросом. 3. Если задача решилась слишком легко – это подозрительно, возможно, вы неправильно поняли условие или где-то ошиблись. 4. Если задача не решается – попробуйте её упростить (взять меньшие числа, рассмотреть частные случаи и т.д.) или порешать ее «от противного», или заменить числа буквами и т.д. 5. Если неясно, верно ли некоторое утверждение, то пытайтесь его поочередно то доказывать, то опровергать (совет А.Н. Колмогорова). 6. Не зацикливайтесь на одной задаче: иногда отрывайтесь от нее и оценивайте положение. Если есть хоть небольшие успехи, то можно продолжать, а если мысль ходит по кругу, то задачу лучше оставить (хотя бы на время). 7. Если устали, отвлекитесь на несколько минут (посмотрите на облака или просто отдохните). 8. Решив задачу, сразу оформляйте решение. Это поможет про- верить его правильность и освободит внимание для других задач. 9. Каждый шаг решения надо формулировать, даже если он кажется очевидным. Удобно записывать решение в виде несколь- ких утверждений (лемм). Это помогает при проверке и обсуждении работы. 10. Перед тем как сдать работу, перечитайте её «глазами про- веряющих» – смогут ли они в ней разобраться? Решайте, размышляйте. Желаю успеха! 8 1. Логические задачи Логическая задача – термин довольно условный. Без логики не обойтись при решении любой олимпиадной задачи. Однако есть класс задач, которые так называются. Во-первых, это задачи, в ко- торых речь идет об истинных и ложных утверждениях, во-вторых, задачи, в которых присутствуют отрицания каких-либо утвержде- ний, необходимо различать высказывания, относящиеся к какому- либо объекту или к любому объекту (неявно присутствуют кванто- ры), в-третьих, это задачи, в которых решение основано на перебо- ре возможных вариантов на основе условия задачи (для этого могут использоваться схемы, таблицы и т.д.). Задача 1. Пять школьников приехали из пяти различных горо- дов в Архангельск на областную математическую олимпиаду. «От- куда вы, ребята?» – спросили их хозяева. Вот что ответил каждый из них: Андреев: «Я приехал из Онеги, а Григорьев – из Каргополя». Борисов: «В Каргополе живет Васильев. Я же прибыл из Коря- жмы». Васильев: «Я прибыл из Онеги, а Борисов – из Котласа». Григорьев: «Я прибыл из Каргополя, а Данилов из Вельска». Данилов: «Да, я действительно из Вельска, Андреев же живет в Коряжме». Хозяева очень удивились противоречивости ответов приехав- ших гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал од- но утверждение правильное, а другое ложное. Но по их ответам вполне можно установить, кто откуда приехал. Откуда приехал каждый школьник? Решение. Андреев и Григорьев сказали, что Григорьев из Кар- гополя. Предположим, что это утверждение верно. Тогда другие их утверждения неверны, Андреев не из Онеги, Данилов не из Вель- ска. Значит, первое утверждение Данилова ложно, второе истинно, и Андреев живет в Коряжме. Кроме того, первое утверждение Бо- рисова ложно (из Каргополя Григорьев), значит второе утвержде- ние верно: Борисов из Коряжмы. Получилось противоречие: из Ко- ряжмы и Андреев, и Борисов. Значит, предположение о том, что Григорьев из Каргополя неверно. 9 Рассмотрим тогда вариант, что Григорьев не из Каргополя. То- гда из двух высказываний Андреева верно, что он из Онеги, а из высказываний Григорьева следует, что Данилов из Вельска. Так как Васильев не из Онеги (из Онеги Андреев), то Борисов из Кот- ласа (первое утверждение ложно, второе – истинно), а из слов Бо- рисова ясно, что в Каргополе живет Васильев. Таким образом, по- лучаем: Андреев из Онеги, Борисов из Котласа, Васильев из Карго- поля, Григорьев из Коряжмы, Данилов из Вельска. ■ 1 Примечание. Решать задачи такого типа будет легче, если условие оформить в таблице. Поскольку из условия сразу не ясно, какое утверждение истинно, а какое ложно, обозначим утвержде- ния одного школьника одинаковыми цифрами: Онега Каргополь Коряжма Котлас Вельск Андреев 1 5 Борисов 2 3 Васильев 3 2 Григорьев 1, 4 Данилов 4, 5 Из таблицы видно, что начать рассуждение лучше всего с рас- смотрения утверждения о том, что Григорьев из Каргополя. Рассмотрим решение задачи «о лгунах». Задача 2. На острове живут два племени: аборигены и при- шельцы. Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда лгут. Путешественник, приехавший на остров, нанял островитяни- на в проводники. Они пошли и увидели другого островитянина. Путешественник послал туземца узнать, к какому племени принад- лежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал: «Туземец гово- рит, что он абориген». Кем был проводник: пришельцем или або- ригеном? Решение. Встреченный островитянин мог ответить только «Я – абориген» (это правда для аборигена и ложь для пришельца). Про- водник, повторивший его ответ, является аборигеном. ■ К логическим можно отнести задачи «на переправы». В каче- стве примера рассмотрим классическую задачу такого вида. 1 символом ■ в пособии обозначается окончание решения. 10 Задача 3. Может ли крестьянин перевезти через реку волка, козу и капусту, если в лодку вместе с ним помещается только или волк, или коза, или капуста, причем нельзя оставить без присмотра ни волка с козой, ни козу с капустой? Решение. Может. При первой переправе нужно перевезти козу, при второй – волка (или капусту), при возвращении нужно взять с собой козу (ее нельзя оставить ни с волком, ни с капустой), оставив козу на берегу, перевезти капусту (или волка), после чего вернуть- ся за козой. ■ Задачи. 4. Один из попугаев A , B , C всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий хитрец – иногда говорит правду, иногда врет. На вопрос «Кто B ?» они ответили: A : – Лжец. B : – Я хитрец! C : – Абсолютно честный попугай. Кто из попугаев лжец, а кто хитрец? 5. Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них со- вершил преступление. На следствии каждый из них сделал два за- явления. Браун: «Я не делал этого. Смит сделал это». Джонс: «Смит невиновен. Браун сделал это». Смит: «Я не делал этого. Джонс не делал этого». Суд установил, что один из них дважды солгал, другой – два- жды сказал правду, третий – один раз солгал, один раз сказал прав- ду. Кто совершил преступление? 6. В тетради написано 100 утверждений: «В этой тетради ров- но 1 ложное утверждение»; «В этой тетради ровно 2 ложных утверждения»; …; «В этой тетради ровно 100 ложных утвержде- ний». Какое из этих утверждений верно? 7. – У Вовы больше тысячи книг, – сказал Ваня. – Нет, книг у него меньше тысячи, – возразила Аня. – Одна-то книга у него наверняка есть, – сказала Маня. Если истинно только одно из этих утверждений, сколько книг у Вовы? 8. В конференции участвовало 100 человек – химики и алхи- мики. Каждому был задан вопрос: «Если не считать Вас, то кого 11 больше среди остальных участников – химиков или алхимиков?» Когда опросили 51 участника, и все ответили, что алхимиков больше, опрос прервали. Алхимики всегда лгут, а химики всегда говорят правду. Сколько химиков среди участников? 9. Жители города A говорят только правду, жители города B – только ложь, а жители города C – попеременно правду и ложь (то есть из каждых двух высказанных ими утверждений одно ис- тинно, а другое – ложно). В пожарную часть сообщили по телефо- ну: «У нас пожар, скорее приезжайте!» «Где?» – спросил дежурный по части. «В городе C », – ответили ему. Дежурный смог опреде- лить, в какой город должна приехать пожарная машина, через час пожар был потушен. В каком городе был пожар? 10. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей? 11. На доске через запятую было написано несколько нату- ральных чисел, причём разность любых двух соседних чисел равна одному и тому же числу. Коля заменил в этой записи разные циф- ры разными буквами, а одинаковые цифры — одинаковыми буква- ми. Восстановите исходные числа, если на доске написано Т, ЕЛ, ЕК, ЛА, СС. 12. В словосочетании из двух слов каждую букву заменили ее номером в алфавите: 41 7181621361 2610141331 1561819186 . Какое словосочетание зашифровано? 13. Математик пошел к приятелю в гости, но забыл номер его квартиры. Он знал, что: если верно, что номер квартиры кратен двум, то он больше, чем 50, но меньше, чем 59; если верно, что этот номер не кратен трем, то он больше, чем 60, но меньше, чем 69; если верно, что этот номер не кратен четырем, то он боль- ше, чем 70, но меньше, чем 79. Можно ли по этим данным вычислить номер квартиры? 14. К берегу Нила подошла компания из шести человек: три бедуина, каждый со своей женой. У берега находится лодка с вёс- 12 лами, которая выдерживает только двух человек. Бедуин не может допустить, чтобы его жена находилась без него в обществе другого мужчины. Может ли вся компания переправиться на другой берег? 15. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им пе- рейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с мень- шей из их скоростей. Нельзя: двигаться по мосту без фонарика, светить издали, носить друг друга на руках, кидать фонарик). 16. Троим мудрецам завязывают глаза и говорят, что каждому из них на голову надели один из пяти колпаков, среди которых два зеленых и три красных. Затем глаза развязывают и просят, глядя на двух других мудрецов, определить цвет своего колпака. Все три колпака были красные. Через несколько минут один мудрец дал правильный ответ. Как он установил цвет своего колпака? |