векторы. Практикум по высшей математике Самара 2008 Печатается по решению редакционноиздательского совета Самгту
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
4.2. Линейная независимость системы векторов Рассмотрим линейную комбинацию векторов 1 2 , , , : n x x x L 1 1 2 2 1 ( ). n n n i i i i x x x x R Векторы 1 2 , , , n x x x называются линейно независимыми, если равенство) выполняется лишь при условии 1 Если равенство (4.1) выполняется, когда хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то система векторов называется линейно зависимой. 29 Теорема. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то эта система векторов линейно зависима. Теорема. Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов являлся линейной комбинацией остальных. 4.3. Базис и размерность линейного пространства Упорядоченная система п линейно независимых векторов 1 2 , , , n e e e называется базисом в линейном пространстве L, если любой вектор x L является их линейной комбинацией, те. справедливо представление вида 1 1 2 2 n n x e e e (4.2) Числа 1 2 , , , n в разложении (4.2) называются координатами векторах в базисе 1 2 , , , n e e e . Записывают 1 Соотношение (4.2) – разложение векторах по базису 1 2 , , , n e Таким образом, при наличии базиса произвольное линейное пространство может рассматриваться как п-мерное пространство Теорема Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Размерностью линейного пространства L называется такое число n N , что в L существует п линейно независимых векторов, а любые п + 1 векторов являются линейно зависимыми. Иными словами, размерность пространства – это максимальное число линейно независимых векторов в этом пространстве. Следующие теоремы связывают понятия базиса и размерности. Теорема В линейном пространстве L размерности псу- ществует базис, содержащий ровно п векторов. Теорема. Если в линейном пространстве L существует базис, то размерность L равна числу базисных векторов. 4.4. Евклидово пространство Линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется евклидовым пространством. Величина , x x x 30 называется модулем (длиной) вектора x в евклидовом пространстве. Если 1 x , то x называется нормированным единичным. Всякий ненулевой вектор x можно нормировать следующим образом Углом между векторами x ив евклидовом пространстве называют число , удовлетворяющее условию , cos x Векторы x и y называются ортогональными тогда и только тогда, когда , 0 x ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 4.1. Выяснить, является ли система векторов 3 4 a i j k , 3 5 6 b i j k и 2 с линейно зависимой. Решение. Векторное равенство 1; 3;4 3;5;6 2;2;10 a b c 3 2 ; 3 5 2 ;4 равносильно совокупности следующих числовых равенств 3 2 0, 3 5 2 0, 4 6 10 Найдем главный определитель этой однородной системы уравнений относительно , , : 1 3 2 3 5 2 50 36 24 40 12 90 152 0 4 Поскольку главный определитель однородной системы неравен нулю, то система имеет нулевое решение. 31 Следовательно 0 , а это означает, что система векторов линейно независима. Ответ система векторов линейно независима. Пример 4.2. В двумерном пространстве показать, что вектора 1 2;3 a и 2 образуют базис, и найти координаты вектора 6;3 b в этом базисе. Решение Проверим, что векторы 1 2;3 a и 2 линейно независимы. Составим линейную комбинацию 1 2 2;3 2;4 2 2 ;3 Вычислим главный определитель этой системы 2 2 8 6 2 0 Векторное равенство равносильно двум скалярным 2 2 0, 3 Векторы 1 2 , a a линейно независимы и, значит, образуют базис. Найдем координаты вектора ; b в новом базисе 1 2 , a a . Составим векторное уравнение 2;3 2;4 b 2 2 ;3 4 6;3 . Записывая его по координатам, получим систему уравнений 2 2 6, 3 решая которую, находим 9, 6 Ответ 1 2 9 6 b a a . Пример 4.3. Является ли линейным пространством множество систем четырех действительных чисел 1 2 ; ;0;0 , 1 2 ; ;0;0 , 1 2 ; ;0;0 , где 1 2 1 2 1 2 , , , , , – всевозможные действительные числа Сумма двух элементов определятся равенством 1 1 2 2 ; ;0;0 , а произведение любого элемента на любое число – равенством 1 2 1 2 ; ;0;0 ; ;0;0 . 32 Решение Обозначим 1 2 ; ;0;0 x , 1 2 ; ;0;0 y , 1 2 ; ;0;0 z . Проверим выполнимость аксиом, определяющих линейное пространство. 1. 1 1 2 2 ; ;0;0 x y , 1 1 2 2 ; ;0;0 y x y x x y . Аналогично видно, что y z z y и. 1 1 2 2 ; ;0;0 x y и 1 1 2 2 ; ;0;0 y z 1 1 1 2 2 2 ; ;0;0 x y z , 1 1 1 2 2 2 ; ;0;0 x y z x y z x y z 3. Нуль элементом является получим 1 2 1 2 0; 0;0;0 ; ;0;0 +0 x x . 4. Элемент 1 2 ; ;0;0 является противоположным элементу 1 2 ; ;0;0 , так как 1 2 ; ;0;0 + 1 2 ; ;0;0 = 0;0;0;0 0 . 5. 1 2 1 1 ;1 ;0;0 x x . 6. 1 2 1 2 ; ;0;0 ; ;0;0 x x . 7. 1 2 ; ;0;0 x 1 1 2 2 ; ;0;0 1 2 1 2 ; ;0;0 ; ;0;0 x + x . 8. 1 1 2 2 1 2 1 2 ; ;0;0 ; ;0;0 ; ;0;0 x y = x y . Все свойства линейного пространства для заданного множества выполняются, следовательно, данное множество является линейным. Ответ множество систем четырех действительных чисел является линейным пространством. Пример 4.4. Векторы 1 2 3 4 5 , , , , e e e e e образуют ортонормированный базис. Найти скалярное произведение и длины векторов 1 2 5 2 x e e e , 2 3 4 5 3 2 y e e e e . Решение. По определению скалярного произведения имеем 5 1 1; 2;0;0;1 0;3;1; 1;2 i i i x y x y 1 0 2 3 0 1 0 1 1 2 4 . Найдем длины векторов 33 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 1 4 0 0 1 6 x x x x x x , 0 9 1 1 4 Ответ 4 x y , 6 x , Пример 4.5. Рассматривается линейное пространство многочленов не выше второй степени. Доказать, что векторы 2 1 1 2 3 p t t , 2 2 2 3 4 p t t и 2 3 3 5 7 p t t линейно зависимы. Решение. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем к многочлену второй степени, заданному в общем виде 2 2 2 2 1 2 3 2 3 4 3 5 7 t t t t t t a bt ct . Сгруппируем коэффициенты при соответствующих степенях 0 2 , , t t t : 2 2 2 3 2 3 5 3 4 7 t t a bt ct . Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях t : 2 3 ; 1 2 3 2 3 5 ; 2 3 5 21 24 30 27 20 28 0 3 4 7 3 4 Следовательно, данные векторы линейно зависимы. Пример 4.6. Найти нормированный вектор, соответствующий вектору Решение. Нормировка производится следующим образом 0 ; ; y x z a a a a a a a . Найдем 2 2 2 x y z a a a a 9 0 16 5 в итоге получим нормированный вектор 0 3 4 ;0; 5 Ответ 0 3 4 ;0; 5 5 a 34 Задания для самостоятельного решения по теме Линейное пространство. Разложение вектора по базису Группа А А Выяснить, будут ли следующие векторы линейно зависимы 1) 1 2; 1;3 a , 2 1;4; 1 a , 3 0; 9;5 a ; 2) 1 1;2;0 a , 2 3; 1;1 a , 3 Ответ 1) да 2) нет. А Доказать, что векторы 1 1;2 e и 2 3;4 e образуют базис. Найти координаты вектора 7;10 x в этом базисе. Ответ 1 2 2 x e e . А Установить, образует ли система векторов 2 3 a i j k , 3 b i j k и 2 с k базис, и если она образует базис, разложить вектор 4 m i k по базису a , b , c . Ответ система векторов образует базис 12 26 2 5 7 m a b c . А. В евклидовом пространстве найти угол между следующими парами векторов 1) 1;1;1;1 a , 3; 5;1;1 b , 2) 4;0;2;0;4 a , Ответ 1) /2; 2) А. Проверить, ортогональны ли векторы 1;1;1;1 x и 1;2;3; А. Можно ли в пространстве многочленов не выше второй степени выбрать за базис 1) 2 7 3 2 t t , 2 3 7 8 t t и 2 1 t t . 2) 2 3t , 2 3 t t и 2 1 3 t t . Ответ 1) нет да. 35 А. Показать, что матрицы 1 1 0 0 0 e , 2 0 2 0 0 e , 3 0 0 3 и 4 0 0 0 4 e образуют базис линейного пространства для множества квадратных матриц второго порядка. А Является ли линейным пространством множество систем четырех действительных чисел 1 2 ; ;1;1 , 1 2 ; ;1;1 , 1 2 ; ;1;1 , где 1 2 1 2 1 2 , , , , , – всевозможные действительные числа Ответ нет, так как сумма двух элементов не будет принадлежать данному множеству. А Из линейного пространства исключен некоторый вектор x . Может ли полученное множество оставаться линейным. Ответ нет, так как могут найтись векторы сумма которых равна. А Образует ли линейное пространство совокупность троек целых чисел ; Ответ нет, так как приумножении на нецелое число получим элемент, не принадлежащий множеству. А Может ли линейное пространство состоять 1) из одного вектора 2) из двух различных векторов. Ответ 1) да, из нулевого вектора 2) нет, поскольку векторы x y , обратный вектор, нулевой и другие должны принадлежать этому пространству. А Найти нормированный вектор AB , если Аи В. Ответ 0 1 1 5 ; ; ;0 3 3 3 3 3 3 AB 36 Задания для самостоятельного решения по теме Линейное пространство. Разложение вектора по базису Группа В В Даны векторы 1 2 3 a e e e , 2 3 2 3 b e e , 2 3 5 c e e , где 1 2 3 , , e e e – базис линейного пространства. Доказать, что векторы , , a b c образуют базис. Найти координаты вектора 1 2 3 2 d e e e в базисе , , a b Ответ 2 2 d a b c . В Убедится, что следующие векторы линейно независимы 1 1;2;1;0 b , 2 0;1;0;1 b , 3 1;0;1;0 b , 4 В. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника с вершинами 5;4;4;4;2 A , 5;2;8;4;6 B , Ответ 6 AB AC BC , / В. Доказать, что векторы, лежащие на прямой, проходящей через начало координат, образуют линейное подпространство. Будут ли векторы образовывать линейное пространство, если прямая не проходит через начало координат Ответ да. В. Образуют ли линейное пространство множество всех многочленов не выше третьей степени. Ответ да. В. Будет ли система векторов обычного трехмерного пространства линейно зависима 1) 2 2 i j k и 2 4 4 i j k ; 2) 2 3 2 i j k и 4 6 i j k . Ответ 1) да 2) нет. В Образует ли линейное пространство совокупность векторов плоскости, концы которых лежат во второй четверти (векторы откладываются от начала координат. Ответ нет. 37 Векторная алгебра Тренировочный тест № п/п Задания Ответы 1 Определить длину вектора AB , если А, В(0;3;-4). А 65 Б 74 В 75 Г 123 Д 17 2 Среди векторов a (2;1;-1), b (6;3;-3), c (4;2;-2) указать коллинеарные. Аи Б Нет В b и c Г Все Д a и c 3 a =20, угол наклона вектора a коси ОХ равен пр ОХ a =… А 5 Б 10 В Г 30 Д 17 4 Найти скалярное произведение векторов a (4;-2;0), b (2;-2;1). А 11 Б 12 В Г Д -7 5 Найти угол между векторами a и 2 b , если a (-4;2;4), b (1;1;0,5). А /6 Б 0 В Г 3 /4 Д 6 Даны векторы a и b , ( a b о, 3 c a b . Определить длину вектора c , если a =2, b =1. А 10 Б 1.5 В 7 Г 0.5 2 ДА Б В (6;0;2) Г (-6;2;3) Д (6;-3;2) 8 a =3, b =2, a b =2 /3, a b … А 1.5 Б 0.5 В 3 3 Г 0 Д 3 9 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах 3 a i j , 2 b i k , 2 c j k А 4 Б 8 В 7 Г 10 Д 12 10 Найти проекцию вектора c на направление вектора, если 2 b m n , 2 c m n , m =1, n =2, ( m n )=60 о А 18 13 Б 10 15 В 5 Г 18 13 Д 9 13 11 Какие из заданных величин являются скалярными. А только Б только 1 и В ни одно Г все Д только 3 12 Какие из заданных равенств являются верными 1) c d d c , 2) c d d c , 3) b c d b c b d А все Б только 1 и В ни одно Г только 2 и 3 Д только Ответы В, Г, Б, Б, В, В, ДВА, ДБ, А. 38 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Данко ПЕ, Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ЧМ Оникс 21 век, Мири Образование, 2007. 304 с. 2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М Наука, 2007. 200 с. 3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М Физматлит, 2008. 312 с. 4. Самарин Ю.П., Сахабиева ГА Математика -2 для студентов вузов. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Самара изд-во Сам- ГТУ, 2000. 92 с. 39 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Основные сведения о векторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Основные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Условие коллинеарности векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Задания для самостоятельного решения (группа А) . . . . . . . . . 1 2 Задания для самостоятельного решения (группа В) . . . . . . . . . 1 4 2. Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 2.1. Определение векторного произведения . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 2.2. Основные свойства векторного произведения. . . . . . . . . . 1 6 2.3. Выражение векторного произведения через координаты 1 7 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 Задания для самостоятельного решения (группа А) . . . . . . . . . 2 1 Задания для самостоятельного решения (группа В) . . . . . . . . . 2 2 3. Смешанное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3.1. Определение и геометрический смысл смешанного произведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3.2. Выражение смешанного произведения через координаты 2 3 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 Задания для самостоятельного решения (группа А) . . . . . . . . . 2 6 Задания для самостоятельного решения (группа В) . . . . . . . . . 2 7 4. Линейное пространство. Разложение вектора по базису. . . . 2 7 4.1. Понятие о линейном пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 40 7 4.2. Линейная независимость системы векторов . . . . . . . . . . . . 2 8 4.3. Базис и размерность линейного пространства . . . . . . . . . . 2 9 4.4. Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 Задания для самостоятельного решения (группа А) . . . . . . . . . 3 4 Задания для самостоятельного решения (группа В) . . . . . . . . . 3 6 Тренировочный тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 Список рекомендуемой литературы 3 7 Векторная алгебра Составители БАШКИНОВА Елена Викторовна АФАНАСЬЕВА Ольга Сергеевна Печатается в авторской редакции Подп. в печать 15.07.08 Формат х. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. пл. Уч. изд. л. 2,28. Тираж 150 экз. Рег. №240. Заказ № 472 _______________________________________________________________________ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Самарский государственный технический университет 443100. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус. Отпечатано в типографии Самарского государственного технического университета 443100 г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус № 8 |