векторы. Практикум по высшей математике Самара 2008 Печатается по решению редакционноиздательского совета Самгту
 Скачать 1.74 Mb.
|
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной математики и информатики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Практикум по высшей математике Самара 2008 Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ УДК 514.742.2 Векторная алгебра. Практикум по высшей математике. Учебное пособие / Сост. Е.В. Башкинова, ОС. Афанасьева. – Самара Самар. гос. техн. унт, 2008. –37 с. Приведены краткие сведения и формулы по теме Векторная алгебра, атак же большое количество примеров. Представлены задачи для самостоятельного решения (группа Аи группа В. Примеры группы А предназначены для решения в аудитории, группы В – для самостоятельной внеаудиторной работы. Для самоконтроля все примеры групп Аи В приведены сот- ветами. Предназначено для студентов первого курса машиностроительного и физико- технололического факултетов. Библиогр.: назв. 4 УДК 514.742.2 Составители канд. физмат. наук Е.В. Башкинова, ОС. Афанасьева Рецензент канд. физмат. наук В.Н. Маклаков © Е.В. Башикнова, ОС. Афанасьева, составление, 2008 © Самарский государственный технический университет, 2008 3 ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемый практикум по высшей математике Векторная алгебра предназначен для студентов инженерных специальностей факультетов МиАТ и ФТ. Его цель – помочь студентам самостоятельно или с помощью преподавателя овладеть методами решения задач векторной алгебры. Каждый раздел соответствует одному практическому занятию по высшей математике, ив нем приводятся основные теоретические сведения и необходимые формулы. Внимание уделено как решению типовых задач поданной тематике, таки примерам для самостоятельной работы. В пособии использована сквозная нумерация задач. По каждой теме предлагаются задачи для разбора и решения их в аудитории часть А, а также задачи для самостоятельного решения (часть Б. Задачи расположены по мере возрастания их сложности. Ко всем задачам приведены ответы. В заключении приведен тренировочный тест для проверки знаний учащихся поданной теме. 4 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 1.1. Основные сведения о векторах Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой Аи конечной точкой В который можно перемещать параллельно самому себе. Вектор обозначается двумя точками AB или одной маленькой буквой a (рис. Координаты вектора AB , заданного двумя точками ив декартовой системе координат, вычисляются по формуле 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ; ; ; ; ; ; AB x y z x y z x x y y z z . Длиной или модулем вектора AB называется число, равное длине отрезка AB : 2 2 2 2 1 2 1 Для вектора, заданного в виде ; ; x y z a a a a , модуль имеет вид 2 Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым вектором и обозначается 0 А . Вектор называется единичным вектором или ортом, если длина вектора Единичный вектор можно получить из любого ненулевого вектора последующему правилу Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Несколько векторов называются компланарными, если существует плоскость, параллельная всем прямым, на которых эти вектора расположены. А В a Рис Вектор ; ; x y z a a a a , заданный в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде x y z a a i a j a k . Такое представление называется разложением вектора по осям координат (или разложением по ортам. Векторы i, j,k – орты координатных осей Ox, Oy, Oz, те. это единичные векторы ( 1 i j k ), направление каждого из которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси 1;0;0 i , 0;1;0 j , 0;0;1 k (рис. 2). 1.2. Основные операции над векторами Пусть заданы два вектора ; ; x y z a a a a и ; ; x y z b b b b . Сумма векторов ; ; x x y y z z a b a b a b a b определяется по правилу параллелограмма (рис. 3) или по правилу треугольника рис. 4). Произведением вектора a на действительное число k называется вектор ; ; x y z ka ka ka ka , имеющий длину ka k a , направление которого совпадает с направлением вектора a , если 0 k , и противоположно ему, если Противоположным вектором -a называется произведение вектора a на число (–1), те. 1 a = a . Разностью двух векторов a и b ; ; x x y y z z a b a b a b называется сумма вектора a и вектора b , противоположного рис. 5). Рис Рис Рис Рис Проекциями вектора a на координатные осина- зывают координаты вектора cos , x a a cos рис. 6), где cos , cos , cos – направляющие косинусы вектора , , – углы между вектором a и осями координат Ox, Oy, Oz рис. 6). Для направляющих косинусов выполняется равенство 2 2 2 cos cos cos 1, где cos , Проекцией вектора a на вектор b называется число пр a a a b . 1.3. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей векторов, умноженное на косинус угла между векторами cos a b a b a b Свойства скалярного произведения 1) a b a b a пр b b пр a ; 2) если a b , то 0 a b (условие ортогональности векторов 3) 2 a a a (так называемый квадрат вектора 2 2 a a ); 4) a b b a (переместительный закон 5) 1 i i j j k k , 0 i j i k j k ; 6) x x y y z z a b a b a b a b ; 7) 2 2 2 2 2 2 cos x x y y z z x y z x y z a b a b a b a b a b a b a a a b b b ; 8) a b c a c b c (распределительный закон z a y a x a a z y x Рис) работа силы F на прямолинейном участке l : A F l . 1.4. Условие коллинеарности векторов Два вектора ; ; x y z a a a a и ; ; x y z b b b b будут коллинеарными, обозначается a b ), если выполняется условие ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1.1. Вычислить 2a b , если 3; 4;1 a , Решение. 2 2 3; 4;1 6; 8;2 a , 2 6; 8; 2 1;0;5 6 1 ; 8 0; 2 5 7; 8; 3 a b , 2 2 2 2 2 2 2 7 8 3 49 64 9 122 a Ответ 122 . Пример 1.2. Найти проекцию вектора AB на ось Oz, если 3;4;1 A , 1; Решение. Проекцией вектора AB на ось Oz или вектор k ), является координата z данного вектора, поэтому 5 1 пр AB пр Ответ 4. Пример 1.3. Найти координаты точки B, если 8; 2; 5 CB и 3; 2; Решение. CB : С – начало вектора, Вконец вектора, поэтому ; ; 3; 2; 1 8; 2; Далее 3 8 B x , 2 2 B y , 1 5 B z ; 11 B x , 0 B y , Ответ В (11; 0; 4). 8 Пример 1.4. Вектор составляет с осями Охи углы о и о, найти угол с осью Оу. Решение. Дано о , о. Используя свойства направляющих косинусов 2 2 2 cos cos cos 1 , получим 2 2 2 2 2 3 1 3 1 cos 1 cos cos 1 1 0 2 2 4 4 , 2 cos 0 и =90 о Ответ: =90 о Пример 1.5. Найти a b , если 12 a , 4 b , Решение. Определим 2 2 2 2 a b a b a b a a b b . Для этого надо найти 2 2 , 2 , a a b b . Имеем 2 2 2 12 144 a a , 2 2 2 4 16 b b , из 2 2 2 2 a b a b a b a a b b . Подставим исходные данные 2 3 144 2 16 a b , 2 151 a b , получим, Ответ Пример 1.6. Найти орт вектора 3;0; Решение. Орт – это единичный вектор, с координатами cos ;cos ;cos ; ; y x z a a a a a a . Находя 2 2 2 9 0 16 25 5 a x y z , получим координаты орта 0 3 4 ; ; ;0; 5 Ответ 0 3 4 ;0; 5 5 a . 9 Пример 1.7. Дано 5 c , 6 d , а угол между векторами c и d равен о. Найти c d . Решение. Используя определение скалярного произведения, получим Ответ 15 c d . Пример 1.8. Даны векторы 4;1 a , 1;0;2 b . Найти 1) a b ; 2) 2 b ; 3) 2 3 a b a b . Решение. 1) По свойству 6 скалярного произведения (стр. 3) имеем x x y y z z a b a b a b a b 3 1 4 0 1 2 3 2 1. 2) По свойству 3 скалярного произведения имеем 2 2 b b b b , 1 0 4 5 b , 2 2 2 5 5 b b 3) Способ 1. Найдем 2 2 3; 4;1 1;0;2 6; 8;2 1;0;2 7; 8;0 a b ; 3 3; 4;1 3 1;0;2 3; 4;1 3;0;6 0; 4;7 a b ; 2 3 7; 8;0 0; 4;7 7 0 8 4 0 7 Способ 2. Используя свойство 8 скалярного произведения, раскроем скобки 2 2 2 3 2 2 3 3 2 6 3 a b a b a a a b b a b b a a b b a b . По свойству 4 скалярного произведения имеем a b b a . Следовательно. Подставляя 1 a b , 2 5 b в последнее выражение, найдем 2 2 2 2 2 2 a a x y z 9 16 1 26 и окончательно получим 2 2 2 3 2 5 3 2 26 5 1 3 5 32 a b a b a a b b 10 Ответ 1) 1 a b ; 2) 2 5 b ; 3) 2 Пример 1.9. Найти проекцию вектора a b на направление вектора c , если 3;2;0 a , 1;1;3 b , 3; Решение. Введем обозначение d a b и найдем 3;2;0 1;1;3 3 1;2 1;0 3 2;3;3 d . По определению проекции имеем пр a пр d d d c . Используя свойство скалярного произведения cos d c d c d c , получим c d c d пр a b d c d c 2 2 2 2 3 3 2 3 1 6 6 3 3 9 4 1 14 3 2 Ответ 3 пр a b . Пример 1.10. Найти значение при котором векторы 4;2; a t и 1;1; 2 b ортогональны. Решение. Векторы будут ортогональны, если выполняется равенство (свойство 2 скалярного произведения. Найдем 4;2; 1;1;2 4 1 2 1 2 4 2 2 6 2 a b t t t t . Решаем уравнение 6 6 2 0 3 Ответ 3 t . Пример 1.11. Даны три силы 1 2; 2;3 F , 2 0;3; 1 F , 3 4;5;3 F , приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения движется прямолинейно из положения 0;1; А в положение В 11 Решение. Работа силы F на перемещение l находится по формуле. Найдем равнодействующую сил 1 2 3 2 0 4; 2 3 5; 3 1 3 2; 6; Определим вектор перемещения 4;5;3 0;1; 1 4;4;4 l АВ В итоге имеем 2; 6; 5 4;4;4 2 4 6 4 5 4 36 A F Ответ А Пример 1.12. Даны вершины треугольника 2;5;3 А , 3;0; В, 4;3; С. Определить внутренний угол треугольника при вершине С. Решение. Искомый угол находится между векторами СА и СВ , выходящими из вершины Сиз рис. 7 видно, что если неверно выбрать одно из направлений векторов, то можно ошибочно найти смежный угол с внутренним. Найдем эти векторы 2;5;3 4;3; 1 6;2;4 СА ; 3;0; 1 4;3; 1 1; 3;0 СВ Угол между векторами находится с помощью формулы свойство 7 скалярного произведения cos CA CB C CA CB . Имеем 6;2;4 1; 3;0 6 6 0 0 CA CB , откуда cos 0 CA CB C CA CB 0 90 C – треугольник прямоугольный. Ответ внутренний угол треугольника при вершине С равен90 о Пример 1.13. Найти значения и при котором векторы 4 2 a i j k и 2 b i j k коллинеарны. С А В Рис Решение. Из условия коллинераности y x z x y z a a a b b b получаем 4 2 1 2 . Составляя уравнения 4 2 1 и 2 1 2 , найдем 2 и 4 Ответ: 2 , 4 . Задания для самостоятельного решения по теме Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов Группа А А Вычислить модуль вектора AB , если А –1; –1), В –11; 4). Ответ AB =15. А. По заданному a =9 и a (7; –4; z), найти координату z. Ответ z= 4. А. Найти координаты вектора a , если 3 2 a и углы между вектором и осями координат о, о, а – неизвестен. Ответ =45 о (или о, a =(3; 0; 3). А. Вычислить направляющие косинусы вектора a (5; –12; 0). Ответ cos 5/13 , cos 12/13 , cos 0 . А. Найти орт вектора a (8; –9; 12). Ответ 0 8 9 12 ; ; 17 17 17 a . А. Проверить коллинеарность векторов Аи С , если 2; А, 3;0; В, 4;2; С, 6;12; А. Даны вектора 2; 3; 1 a , 5;1; 1 b . Определить проекции векторов 2 a b и 1 3 2 a b на координатные оси. Ответ 1) (12; –1;–3); 2) (3,5; –9,5; А. Даны вершины треугольника 2;5;3 А , 2;5; В, 4;3; С. Определить длину медианы AK. Указание. Координаты середины отрезка находятся по формулам 13 1 2 1 2 1 2 ; ; 2 Ответ 42 АK 9.А. Найти 2 a b , если 4 a , 4 b , 3 Ответ 2 a b =4. А. Векторы c и d образуют угол 2 3 , 2 c , 7 d . Найти 1) c d ; 2) 2 c ; 3) 2 2c d ; 4) 2 3 c d c d . Ответ 1) 7 c d ; 2) 2 4 c ; 3) 2 2 93 c d ; 4) 2 А. Даны векторы 9 c , 4 d , угол между векторами 60 о Найти c d и c d . Ответ 133 c d , А. Даны векторы 4;2 a , 1;0; 5 b . Найти 1) a b ; 2) 2 b ; 3) 2a b a b . Ответ 1) 11 a b ; 2) 2 26 b ; 3) 2 А Вычислить работу силы 2;3;1 F , когда ее точка приложения перемещается изначала вконец вектора l (4; 7; 9). Ответ А=22. 14.А. Даны вершины четырехугольника A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1;1), D(–5; –5;3). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны. А. Определить при каком векторы 2 3 a i j k и 4 6 b i j k взаимно перпендикулярны. Ответ =11. А. Найти косинус угла между векторами 3; 6;2 a , 1;0; 5 b 14 Ответ 1 cos 26 a b . А. Даны вершины треугольника 2;5;3 А , 3;0; В, 4;3; С. Определить внутренний угол при вершине А Ответ. А. Вычислить проекцию вектора 1;0; 5 b на ось вектора 3; Ответ пр А. Определить будут ли векторы 2 3 a i j k и 8 4 12 b i j k коллинеарными. Задания для самостоятельного решения по теме Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов Группа В В. Вычислить проекцию вектора 1;0; 5 b на ось, составляющую одинаковые углы с координатными осями Ox, Oy, Oz. Ответ 2 3 . В Найти 2 2 2 4 a a b b , если 2;1; 1 a , 0;4; Ответ 2 2 2 4 105 a a В. Векторы 2 c , 1 d , образуют угол о. Вычислить косинус угла между векторами p c d и q c d . Ответ 5 . В Даны три силы 1 1; 3;5 F , 2 2; 3;1 F , 3 7; 3; 5 F , приложенные к одной точке. Вычислить работу равнодействующей этих сил, когда ее точка приложения движется прямолинейно из положения 3; 1; 2 C в положение Ответ А. 15 В. Даны три вектора 2 5 4 a i j k , 5 2 7 b i j k и 4 3 c j k . Вычислить спр а b , 2) b с пр а . Ответ 1) 21 5 , 2) 56 В Даны вершины параллелограмма 1; А, В, С. Найти координаты точки D и угол между диагоналями параллелограмма AC и BD. Ответ D (–4;–5; 3), 1 cos 161 |