векторы. Практикум по высшей математике Самара 2008 Печатается по решению редакционноиздательского совета Самгту

• Название: Практикум по высшей математике Самара 2008 Печатается по решению редакционноиздательского совета Самгту
• Анкор: векторы
• Дата: 21.09.2022
• Размер: 1.74 Mb.
• Имя файла: векторы.pdf
• Тип: Практикум; #689711
• страница: 2 из 3

7.В.Даны вершины треугольника
2;0;3
А
,
3;0; В, С. Определить внешний угол при вершине В Ответ
13
cos
574
8.В.Найти значения и t, при котором векторы
5 4
a
si
j
k и
10
b
i
j
tk коллинеарны. Ответ
1
,
8 2
s
t
9.В.Найти значение при котором векторы
7 8
a
ki
j
k и
10 5
b
i
j
k ортогональны. Ответ k=30. В. Вектор
x
коллинеарен вектору
3 4
12
a
i
j
k , образует острый угол с осью Оу. Зная, что
39
x
, найти его координаты. Ответ 9;12; 36 .

16
2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
2.1. Определение векторного произведения Векторы a , b и c называются компланарными, если они лежат водной плоскости или в параллельных плоскостях. Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой – вторым, какой – третьим. Например, в записи
, ,
a b c вектор a считается первым, b – вторым, c – третьим в записи
, ,
b c a вектор b – первый, c – второй, a – третий. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой. Определение. Векторным произведением вектора a на вектор
b называется вектор a b , который определяется тремя условиями
1) длина вектора a b равна sin
a b
, где – угол между векторами и b , те. a b численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b ;
2) вектор a b перпендикулярен каждому из векторов a и b ;
3) векторы a , b , a b образуют правую тройку векторов рис. 8).
2.2. Основные свойства векторного произведения
1. Если a и b – коллинеарные векторы, то
0
a b
0
a a
S
a
b
φ
90 0
90 0
a Рис. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов a и
b равна площади S параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 8)
S
a b . Отсюда, площадь треугольника
1 2
S
a b
3. a b
b a (свойство антикоммутативности).
4.
a
b
a b (свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю.
5. a
b
c
a c
b c (свойство распределительности относительно суммы векторов.
6. Момент силы M r F , где r – радиус-вектор точки, F – сила, приложенная к точке.
2.3. Выражение векторного произведения через координаты векторов Теорема Если векторы a и b заданы своими координатами
1 1
1
; ;
a
X Y Z ,
2 2
2
;
;
b
X Y Z
, то векторное произведение вектора a на вектор b определяется формулой
1 2
2 1
1 2
2 1
1 2 2 1
;
;
a b
Y Z
Y Z
Z X
Z X
X Y
X Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
;
;
Y
Z
X
Z
X
Y
a b
Y
Z
X
Z
X
Y
, или через символический определитель третьего порядка
1 1
1 1
1 1
1 1
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
i
j
k
Y
Z
X
Z
X
Y
a b
X
Y
Z
i
j
k
Y
Z
X
Z
X
Y
X
Y
Z

18 ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 2.1. Даны
10
a
,
2
b
,
12
a b
. Вычислить a b . Решение Используя формулы cos
ab
a b
и
2 2
sin cos
1
, где – угол между векторами a и b , найдем sin
0
:
12 3
cos
2 10 5
,
2 3
4
sin
1 Тогда по определению векторного произведения имеем
4
sin
10 2 16 5
a b
a Ответ
16
a Пример 2.2. Векторы a и b образуют угол
2 3
. Зная, что
1
a
,
2
b
, вычислить
1)
2
a b
; 2)
2 Решение. 1) По определению векторного произведения
2 2
2 2
1 2 sin
2 sin
3 3
a b
2 2 sin
3 2
3 2
3 2
2) Используя свойства 1, 3 и определение векторного произведения, найдем
2 2
2 2
2 2
a
b
a
b
a a
a
b
b a
b b
4 3
a b
a b
a b
, откуда
2 2
2 3
3 1 2 sin
27 3
a b

19 Ответ 1) 3; 2) 27. Пример 2.3. Даны точки
2; 1;2
A
,
1;2; 1
B
и
3;2;1
C
. Найти координаты векторных произведений
1) AB BC ; 2)
2
BC
CA
CB . Решение. Найдем координаты векторов AB , BC , CA , CB :
1 2; 2 1 ; 1 2 1;3; 3
AB
;
2;0; 2
BC
;
1; 3;1
CA
;
2;0; 2
CB
1)
3 3
1 3
1 3 1 3 3
0 2
2 2
2 0
2 0
2
i
j
k
AB BC
i
j
k
6 4
6
i
j
k ;
2) 2 2; 6;2
CA
;
2 4;6;0
BC
CA
;
6 0
4 0
2 4
6 0
0 2
2 2
2 0
2
i
j
k
BC
CA
CB
i
j
4 6
12 8
12 2
0
k
i
j
k . Ответ 1) 6 4
6
i
j
k ; 2) 12 8
12
i
j
k . Пример 2.4. Векторы a и b составляют угол 45 0
. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
2
a
b и 3 2
a
b
, если Решение. Найдем векторное произведение вектора
2
a
b
навек- тор 3 2
a
b
:
2 3
2 3
2 2
3 2
2
a
b
a
b
a a
a b
b
a
b
b
8a Так как по условию задачи известны длины векторов a , b и угол между ними, вычислим площадь треугольника, построенного на этих векторах. Итак,

20 0
1 1
1
sin
8 5 5 sin 45 50 2 2
2 2
S
a b
a Ответ 50 2 . Пример 2.5. Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах a k
j и b
i
j
k . Решение. Как видно из рис. 9 1
2
d
a
b
i
k ,
2 2
d
b
a
i
j . Найдем длины диагоналей
2 2
1 1
2 5
d
,
2 2
2 1
2 Зная свойство 2 векторного произведения, найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b :
2 2
2 0
1 1 2
2 1
1 6
1 1
1
i
j
k
S
a Ответ 6 ,
1 Пример 2.6. Сила
3;2; 4
F
приложена к точке
2; Определить моменты этой силы относительно начала координат. Решение Момент силы F относительно точки O задается вектором. Найдем координаты вектора
2; 1;1
OA
. Тогда момент силы
F относительно точки O :
2 1
1 2
11 7
3 2
4
i
j
k
M
OA F
i
j
k . Ответ 2 11 7
i
j
k .
a Рис Задания для самостоятельного решения по теме Векторное произведение Группа А
1А. Даны векторы
2;5;7
a
и
1;2;4
b
. Найти координаты
X , Y , Z векторного произведения a b . Ответ 6; 1; 1 . А Определить и построить вектор a b , если 1)
3
a
i ,
2
b
k ; 2) a
i
j
, b
i
j ; 3)
2 3
a
i
j
,
3 2
b
j
k . Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах
a
и b . Ответ a b равно 1) 6 j ; 2) 2k ; 3) 6 4
6
i
j
k . Площадь равна 1) 6; 2) 2; 3) 2 22 . А. Даны векторы
2; 3;1
a
,
3;1;2
b
и
1;2;3
c
. Вычислить и a
b c . Ответ
7;14; 7
a b
c
;
10;13;19
a
b А Вычислить площадь треугольника с вершинами
7;3;4
A
,
1;0;6
B
и
4;5; Ответ 24,5. А. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
2
a
m
n
и
2
a
m
n
, где m и n – единичные векторы, образующие угол
0 Ответ 1,5. А Сила
2; 4;5
F
приложена к точке
4; 2;3
M
. Определить момент этой силы относительно точки
3;2; Ответ 4;3;4 .

22 Задания для самостоятельного решения по теме Векторное произведение Группа В
1В. Даны векторы
3; 1; 2
a
и
1;2; 1
b
. Найти координаты векторных произведений 1) a b ; 2) 2a b
b ; 3) 2a
b
2a
b . Ответ 1) 5;1;7 ; 2) 10;2;14 ; 3) 20;4;28 . В. Построить треугольник с вершинами
1; 2;8
A
,
0;0;4
B
и
6;2;0
C
. Вычислить его площадь и высоту BD . Ответ
2 21 7 В. Вектор x , перпендикулярный к векторами, образует с осью Oy тупой угол. Зная, что
26
x
, найти его координаты. Ответ
6 24 8
x
i
j
k . В. Вычислить синус угла
, образованного векторами
2; 2;1
a
и Ответ
5 В. Построить параллелограмм на векторах
2
a
j
k и
2
b
i
k
и вычислить его площадь и высоту. Ответ
21;
4, В. Сила
3;4; 2
F
приложена к точке
2; 1; 2
C
. Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат. Ответ 15;
2 2
11
cos
; cos
; cos
3 15 15

23
3. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
3.1. Определение и геометрический смысл смешанного произведения Определение Смешанным произведением трех векторов a , b ,
c называется число, равное скалярному произведению вектора a на векторное произведение векторов b и c , те.
a
b c . Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанного произведения. Теорема. Смешанное произведение a b c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c , взятому со знаком «+», если тройка a , b , c – правая, со знаком «–», если тройка a , b , c – левая. Если же a , b , c компланарны, то
0
a
b Следствие Из теоремы выводится тождество
a
b c
a b
c ,
(3.1) те. знаки « » ив смешанном произведении можно менять местами. В силу тождества (3.1) смешанные произведения a b c и
a b
c можно обозначить более простым символом abc .
3.2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов Теорема. Если векторы a , b , c заданы своими координатами, то смешанное произведение abc определяется формулой
1 1
1 2
2 2
3 3
3
X
Y
Z
abc
X
Y
Z
X
Y
Z
(3.2)

24 ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 3.1. Найти смешанное произведение векторов
2; 1; 1
a
,
1;3; 1
b
, и Решение. По формуле (3.2) находим
2 1
1 1
3 1
24 1 1 3 4 2
33 1
1 Ответ 33. Пример 3.2. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами
2;2;2
A
,
4;3;3
B
,
4;5;4
C
и Решение На рис. 10 схематично изображена пирамида ABCD . Объем пирамиды V равен
1 6
объема параллелепипеда, построенного на векторах
AB , AC и AD ; отсюда из теоремы 3.1 заключаем, что V равен
1 6
абсолютной величины смешанного произведения
AB AC AD . Найдем координаты векторов и AD , совпадающих с ребрами пирамиды
2;1;1
AB
;
2;3; 2
AC
, По формуле (3.2) находим смешанное произведение векторов
AB , AC и AD :
AB AC
2 1 1 2 3 2 7
3 3 4
AD
, итак,
1 7
7 6
6
V
A
B
D
C Рис Ответ
7 Пример
3.3. Показать, что векторы
3 2
a
i
j
k ,
2 3
4
b
i
j
k ,
3 12 6
c
i
j
k компланарны, и разложить вектор по векторами. Решение Из теоремы 3.1 известно, что для компланарных векторов смешанное произведение равно нулю. Найдем смешанное произведение векторов a , b , c по формуле (3.2):
1 3
2 2
3 4
18 48 36 18 36 48 0
3 12 Смешанное произведение
0
abc
, следовательно, векторы компланарны. Разложение вектора
c
по векторами можно записать в следующем виде
,
,
c
a
b
R . Подставляя координаты векторов a , b , c в последнюю формулу и записывая полученное векторное равенство в координатной форме, получим следующую систему уравнений
3;12;6 1;3;2 2; 3; 4 . Решим ее относительно и :
2 3;
4;
4;
5;
3 3
12;
2 3;
4 2
3;
1.
2 Тогда разложение вектора c по векторами имеет вид Ответ векторы компланары;
5
c
a
b

26 Задания для самостоятельного решения по теме Смешанное произведение трех векторов Группа А
1А. Найти смешанное произведение векторов
1; 1;1
a
,
1;1;1
b
и Ответ 4. А. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами
0;0;1
A
,
2;3;5
B
,
6;2;3
C
и Ответ 20. А Определить, какой является тройка a , b , c (правой или левой, если
1) a
k , b
i , c
j ; 2) a
i , b
k , c
j ; 3) a
i
j ,
b
i
j , c
j . Ответ 1) правая 2) левая 3) векторы компланарны. А. Векторы a , b , c , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что
4
a
,
2
b
,
3
c
, вычислить a b c . Ответ А. Построить векторы
4
a
i
j
k ,
2
b
i
j и
3 3
4
c
i
j
k , показать, что они компланарны, и разложить вектор
c
по векторами. Ответ векторы компланарны
2
c
a
b

27 Задания для самостоятельного решения по теме Смешанное произведение трех векторов Группа В
1В. Построить пирамиду с вершинами
2;0;0
A
,
0;3;0
B
,
0;0;6
C
и
2;3;8
D
. Вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань. Ответ
14
V
,
3 14
S
, В. Показать, что точки
2; 1; 2
A
,
1;2;1
B
,
2;3;0
C
и
5;0; 6
D
лежат водной плоскости. В. Построить параллелепипед на векторах
3 4
a
i
j ,
3
b
j
k ,
2 5
c
j
k и вычислить его объем. Правой или левой будет связка векторов a , b , c ? Ответ 51, левая. В. Вектор c перпендикулярен векторами, угол между a и
b равен 30 0
. Зная, что
6
a
,
3
b
,
3
c
, вычислить a b c . Ответ 27. В Объем тетраэдра
5
V
, три его вершины находятся в точках
2;1; 1
A
,
3;0;1
B
,
2; 1;3
C
. Найти координаты четвертой вершины, если известно, что она лежит на оси Oy . Ответ
1 0;8;0
D
;
2 0; 7;0
D
4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ
4.1. Понятие о линейном пространстве Рассмотрим некоторое множество L, составленное из элементов
x, y, z, …, которые мы условимся называть векторами.

28 Множество L называется линейным пространством, если выполняются следующие три группы условий (аксиом.
1. Любым векторам x, y
L сопоставлен вектор z
L , называемый суммой векторов x и обозначается z x y ); при этом имеют место аксиомы сложения)
x
y
y
x (коммутативность
2)
(
)
(
)
x
y
z
x
y
z ассоциативность
3)
:
,
(
L называется нулевым элементом (в этом случае y называется про- тивоположнымэлементом по отношению к x).
2. Для любого x
L
и любого
R
определено произведение
x
вектора на число, при этом выполняются следующие аксиомы умножения на число
1) 1
(
)
x
x
x
L ;
2)
1 2
1 2 1
2
(
)
,
,
,
x
x
x
L
R .
3. Относительно указанных действий имеют следующие аксиомы дистрибутивности
1)
1 2
1 2
(
)x
x
x ;
2)
(
)
x
y
x
y