Теор множ смысл + -. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа

• Название: Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
• Дата: 19.01.2022
• Размер: 393.87 Kb.
• Имя файла: Теор множ смысл + -.docx
• Тип: Правила; #335937
• страница: 3 из 3

Отношение «равно», «меньше», «меньше на число»

Возьмем множества А и В, пусть a = m(А), b = m(В), где a, b N₀.

Если А В, то эти множества принадлежат одному классу эквивалентности, поэтому им соответствует одно и то же натуральное число, т.е. a = b .

Справедливо и обратное. Если a = b, то эти натуральные числа определяют один и тот же класс конечных равномощных множеств, значит, множества А и В равномощны. Из сказанного можно получить определение равных натуральных чисел.

Определение 3. Два целых неотрицательных числа a и b равны тогда и только тогда, когда равномощны множества, число элементов которых числа a и b .

К р а т к а я з а п и с ь : a = b АВ, где a = m(А), b = m(В).

Отношение «равно» на множестве целых неотрицательных чисел – рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Если множества А и В не равномощные, тогда одно из множеств будет равномощно подмножеству другого множества, т.е. или АВ₁ ⊂ В, или ВА₁ ⊂ А .

Пусть АВ₁ ⊂ В (рис. 1). Видим, что в множестве В элементов столько, сколько в множестве А, да еще несколько, так как a = m(А), b = m(В), то говорят, что a < b . Справедливо и обратное.

Если a < b, то А В1 ⊂ В, где a = m(А), b = m(В).

Определение 4. Натуральное число a меньше натурального числа b тогда и только тогда, когда множество, число элементов которого равно a, равномощно собственному подмножеству другого множества, число элементов которого равно b.

К р а т к а я з а п и с ь : a < b АВ₁ ⊂ В, где a = m(А), b= m(В).

Если ВА₁ ⊂ А, тогда получим, что b < a , где b = m(В), a = m(А).

Вывод. Если два множества неравномощны, то число элементов первого множества меньше числа элементов второго, или число элементов второго множества меньше числа элементов первого.

АВ₁ ⊂ В можно прочитать еще так: в множестве В столько элементов, сколько в множестве А, да еще несколько (например, с) . Тогда можно сказать, что число а меньше b на число с .

Определение 5. Число а меньше b на число с, тогда и только тогда, когда в множестве В элементов столько, сколько в множестве А, да еще с элементов, если a = m(А), b = m(В).

Можно еще отметить, что в этом случае множество В разбито на два подмножества, в одном элементов столько, сколько в множестве А, а в другом с элементов.

Можно дать еще одно такое определение: «меньше на число с».

Определение 6. Число а меньше числа b на число с тогда и только тогда, когда множество В можно разбить на два непересекающихся подмножества, где число элементов одного равно числу а, а число элементов другого подмножества равно с.

Очевидно, если число а меньше b на число с, тогда число b больше а на число с. Справедливо и обратное.

П р и м е ч а н и е. Отношение «меньше» антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное.

З а д а н и е 1. Доказать: 1) 3 < 5 , 2) 0 < 5 , 3) 6 = 6, 4) 5 меньше 9 на 4 , 5) 6 больше 4 на 2.

1. Пусть 3 = m(А), А – множество квадратов. 5 = m(В), В – множество треугольников. Можно поставить в соответствие каждому квадрату треугольник (рис.2), тогда в множестве В выделяется подмножество В₁, равномощное множеству А, получили А В₁ ⊂ В, тогда, по определению 4, 3 < 5.
2. Пусть 0 = m(Ø), 5 = m(А), где А – множество любых элементов. Из теории множеств известно, что все пустые множества равномощные и пустые множества являются подмножеством любого множества, т.е.

Ø Ø ⊂ А => m(Ø) < m(А) или 0 < 5 .

3. Пусть 6 = m(А) и А – множество треугольников, 6 = m(В) и В – множество кругов (рис. 3). Можно поставить в соответствие каждому квадрату только один круг и каждому кругу можно поставить в соответствие только один треугольник. Получим АВ, т.е. m(А) = m(В) или 6 = 6 (по определению 3).

4. Пусть 5 = m(А) , где А – множество точек, 9 = m(В) , где В – множество кругов.

Изобразим А и В. Очевидно, что можно в множестве В выделить подмножество В₁ равномощное множеству А, В₁А (рис. 4).

Множество В содержит столько элементов, сколько множество А, да еще несколько элементов, которые образуют множество С. Используем счет для нахождения числа элементов множества С. СN4 , значит, m(С) = 4. По определению 5 получаем, что 5 меньше 9 на 4.

5. Пусть 6 = m(А), 4 = m(В). Нужно доказать, что 6 больше 4 на 2 или 4 меньше 6 на 2 (см. решение 4).


Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа

Обоснуем известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Правило вычитания числа из суммы. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Запишем это правило, используя символы:

Если а, b, с — целые неотрицательные числа, то:

а) имеем, что (а + b) — с = (а - с) + b

б) имеем, что (а +b) — с = а+(b — с)

в) и можно использовать любую из данных формул.

Пусть а с, тогда разность а - с существует. Обозначим ее через р: а - с = р. Отсюда а = p+с. Подставим сумму р+с вместо а в выражение (а+ b) - с и преобразуем его:(а+b)- с=р+с + b) - с = р + b + с - с = р+b.

Но буквой р обозначена разность а —с, значит, имеем (а + b)- с = (а - с)+b, что и требовалось доказать. Аналогично проводятся рассуждения и для других случаев.

Приведем теперь иллюстрацию данного правила (случай «а») при помощи кругов Эйлера. Возьмем три конечных множества А,В и С, такие, что п(А) = а, п(В) = b, п(С) = с и Тогда (а+b)-с есть число элементов множества а число (а - с) +b есть число элементов множества На кругах Эйлера множество изображается заштрихованной областью, представленной на рисунке 97.

Легко убедиться в том, что множество изобразится точно такой же областью. Значит, для данных множеств А, В и С. Следовательно, - с = (а - с) + b.

Правило вычитания из числа суммы. Чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т. е. если а, b, с - целые неотрицательные числа, то при имеем а-(b+с)=(а -b) - с.

Обоснование этого правила и его теоретико-множественная иллюстрация выполняются так же, как и для правила вычитания числа из суммы.

Приведенные правила рассматриваются в начальной школе на конкретных примерах, для обоснования привлекаются наглядные изображения. Эти правила позволяют рационально выполнять вычисления. Например, правило вычитания из числа суммы лежит в основе приема вычитания числа по частям: 5-2 = 5-(1 + 1)=(5-1)-1=4-1.= 3.

Смысл приведенных правил хорошо раскрывается при решении арифметических задач различными способами. Например, задача «Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших рыбачьих лодок. 5 лодок вернулись. Сколько лодок с рыбаками должно еще вернуться?» может быть решена тремя способами:

1. 
   способ.
   

1. 20 + 8 = 28

2. 28-6 = 22

2. 
   способ.
   

1. 20 — 6=14

2.14 + 8 = 22

III способ.

1.8 — 6 = 2

2.20 + 2 = 22

Упражнения

1. 
   Докажите правило вычитания суммы из числа и проиллюстрируйте его при помощи кругов Эйлера.
   
2. 
   Докажите правило: чтобы из разности двух чисел вычесть
   

третье число, достаточно из уменьшаемого вычесть сумму двух других чисел.

3. 
   Найдите наиболее рациональным способом значение выражения:
   

1) (3748+ 10 392)-8392; 3) 763 + 945-263;

2) 7273 - (396 + 1173); 4) 568 - 229 - 168.

4. 
   Нижеприведенные задачи решите различными способами, дайте обоснование:
   

1. 
   В одной банке было 10 соленых огурцов, а в другой 6 огурцов. За обедом съели 4 огурца. Сколько всего огурцов осталось?
   
2. 
   В гараже стояло 20 машин, сначала выехало 7 машин, а потом 3 машины. Сколько машин осталось в гараже?
   

5. 
   Решите нижеприведенные две задачи и объясните, чем отличаются их решения:
   

1. 
   В одной бочке 40 ведер воды. Утром на поливку цветов израсходовали 12 ведер, а вечером 10 ведер. Сколько ведер воды осталось в бочке?