Пределы функций. Примеры решений
![]()
|
Пределы функций. Примеры решений Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи: 1. Понять, что такое предел. 2. Научиться решать основные типы пределов. Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта. Итак, что же такое предел? А сразу пример, чего бабушку лохматить…. ![]() Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела ![]() 2) Записи под значком предела, в данном случае ![]() ![]() ![]() 3) Функции под знаком предела, в данном случае ![]() Сама запись ![]() ![]() Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала ![]() ![]() ![]() ![]() То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают. Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела: ![]() Готово. Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко! Пример с бесконечностью: ![]() Разбираемся, что такое ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() А что в это время происходит с функцией ![]() ![]() ![]() ![]() Итак: если ![]() ![]() ![]() Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию ![]() Еще один пример с бесконечностью: ![]() Опять начинаем увеличивать ![]() ![]() Вывод: при ![]() ![]() ![]() И еще серия примеров: Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться. В том случае, если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет. Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: ![]() ![]() Что нужно запомнить и понять из вышесказанного? 1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. 2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как ![]() ![]() ![]() Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует! На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Пределы с неопределенностью вида ![]() Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда ![]() Пример: Вычислить предел ![]() Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида ![]() ![]() Как решать пределы данного типа? Сначала мы смотрим на числитель и находим ![]() ![]() Старшая степень в числителе равна двум. Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим ![]() ![]() Старшая степень знаменателя равна двум. Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке. Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность ![]() ![]() ![]() Разделим числитель и знаменатель на ![]() ![]() Вот оно как, ответ ![]() Что принципиально важно в оформлении решения? Во-первых, указываем неопределенность, если она есть. Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак ![]() В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: ![]() Для пометок лучше использовать простой карандаш. Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо? Пример 2 Найти предел ![]() Снова в числителе и знаменателе находим ![]() ![]() Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4 Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку. Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности ![]() ![]() Полное оформление задания может выглядеть так: ![]() Разделим числитель и знаменатель на ![]() ![]() Пример 3 Найти предел ![]() Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( ![]() ![]() Для раскрытия неопределенности ![]() ![]() ![]() Разделим числитель и знаменатель на ![]() ![]() Под записью ![]() Таким образом, при раскрытии неопределенности вида ![]() Пределы с неопределенностью вида ![]() Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком обесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее. Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу. Пример 4 Решить предел ![]() Сначала попробуем подставить -1 в дробь: ![]() В данном случае получена так называемая неопределенность ![]() Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида ![]() Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницуМатематические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материаломГорячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше. Итак, решаем наш предел ![]() Разложим числитель и знаменатель на множители Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: ![]() Сначала находим дискриминант: ![]() И квадратный корень из него: ![]() В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе. ! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка. Далее находим корни: ![]() ![]() Таким образом: ![]() Всё. Числитель на множители разложен. Знаменатель. Знаменатель ![]() ![]() Очевидно, что можно сократить на ![]() ![]() Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела: ![]() Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так: ![]() Разложим числитель на множители. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 5 Вычислить предел ![]() Сначала «чистовой» вариант решения ![]() Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: ![]() Знаменатель: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Что важного в данном примере? Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть. Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения. Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус. ! Важно В ходе решения фрагмент типа ![]() ![]() Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены. Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Продолжаем рассматривать неопределенность вида ![]() Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни. Пример 6 Найти предел ![]() Начинаем решать. Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике. ![]() Получена неопределенность вида ![]() ![]() Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще. Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности ![]() Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: ![]() И смотрим на наш предел: ![]() Что можно сказать? ![]() ![]() Умножаем числитель на сопряженное выражение: ![]() Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем. Хорошо, ![]() ![]() ![]() То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. В известной степени, это искусственный прием. Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу ![]() ![]() Неопределенность ![]() ![]() Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела. Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше. ![]() Готово. Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте? Примерно так: ![]() Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение. ![]() Пример 7 Найти предел ![]() Сначала попробуйте решить его самостоятельно. Окончательное решение примера может выглядеть так: ![]() Разложим числитель на множители: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение ![]() Спасибо за внимание. |