проект. Проект по направлению Математика Объём и площадь геометрических фигур
 Скачать 40.67 Kb.
|
|
Кировское областное государственное общеобразовательное бюджетное учреждение « Средняя школа с углубленным изучением отдельных предметов г. Нолинска» ПРОЕКТ по направлению: Математика Объём и площадь геометрических фигур Тип проекта : исследовательский
г. Нолинск 2023г ОглавлениеВВЕДЕНИЕ 3 3 РАЗДЕЛ I. 4 1 Теоретические основы изучения геометрических величин в средней школе 4 1.1 История возникновения и развития геометрических величин 4 РАЗДЕЛ II 8 2 Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы 8 2.1 Методика изучения длин в курсе геометрии средней школы 8 2.2 Методика изучения величин углов в курсе геометрии средней школы 9 2.3 Методика изучения площадей фигур в курсе геометрии средней школы 10 2.4 Методика изучения объемов фигур в курсе геометрии средней школы 12 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 14 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 15 ВВЕДЕНИЕТема проекта и её актуальность: В данной работе рассматриваются теоретические основы изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы, а именно, история возникновения и развития геометрических величин, роль и место величин, их измерений в процессе изучения, методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы. Цель проекта: Заключается в описании методики изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы. Задачи: 1. Рассмотреть историю развития геометрических величин. 2. Охарактеризовать понятие геометрической величины. 3. Установить роль и место величин, их измерений в процессе обучения. 4. Описать методику изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы. Этапы работы над проектом: Выбор руководителя проекта. Выбор темы проекта. Разработка паспорта проекта. Анализ источников информации. Разработка проекта. Разработка заключения. Создание электронной презентации. Защита проекта. РАЗДЕЛ I.1 Теоретические основы изучения геометрических величин в средней школе1.1 История возникновения и развития геометрических величинВеличина — одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений. Задатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4—5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов (в Древнем Китае мерой площади был прямоугольник). Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади S четырехугольника со сторонами а, b , с, d (рис. 1) применялась формула т. е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь таких четырехугольников, у которых углы близки к прямым. Для определения площади S равнобедренного тpeyгольника АВС, в котором |АВ| = |АС| , египтяне пользовались приближенной формулой: Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной и высотой треугольника, иными словами, чем ближе вершина В (и С) к основанию D высоты из А. Вот почему приближенная формула применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине. Понятие угла на протяжении веков не оставалось без изменений, оно обобщалось и расширялось под влиянием запросов практики и науки. Градусная система измерения углов, в которой за единицу принят угол, равный части угла, соответствующего полному обороту одной стороны угла около его вершины, восходит к III- IIтысячелетиям до н. э., к периоду возникновения шестидесятеричной системы счисления в вавилонской математике. Шестидесятеричное градусное измерение, как и шестидесятеричные дроби, проникло далеко за пределы ассиро-вавилонского царства и получило широкое распространение в странах Азии, Северной Африки и Западной Европы. Они применялись, в частности, в астрономии и связанной с ней тригонометрии. Гиппарх, Птолемей и другие древнегреческие астрономы употребляли таблицы, в которых давались величины хорд, соответствующих данным дугам. Хорды (как и дуги) измерялись градусами, минутами и секундами, при этом один градус составлял обычно шестидесятую часть радиуса. Индийцы заимствовали через греков вавилонское градусное измерение дуг, но вместо хорд они измеряли линии синусов и косинусов. Градусным измерением пользовались и ученые стран Ближнего и Среднего Востока, внесшие большой вклад в развитие тригонометрии. Выдающийся немецкий математик и астроном XVв. Региомонтан отступил от шестидесятеричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса, что позволило выражать синусы целыми числами, а не шестидесятеричными дробями. Аналогично поступали и многие последовавшие за ним европейские математики. Во время буржуазной революции конца XVIII в. во Франции была введена наряду с метрической системой мер и центезимальная (сотенная) система измерения углов, в которой прямой угол делился на 100 градусов, градус- на 100 минут, минута — на 100 секунд. Эта система применяется и поныне в некоторых геодезических измерения, но всеобщего употребления пока не получила. В связи с возникновением и развитием теории пределов и математического анализа с целью придать многим формулам возможно более простой вид в тригонометрии ввели радианное измерение дуг и углов. Термин «радиан» происходит от латинского radius — радиус. Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов и площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников. Среди замечательных греческих ученых V—IV вв. до н. э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский. Евклид не применяет термина «объем». Для него термин «куб», например, означает и объем куба. В XI книге «Начал» изложены среди других и теоремы, следующего содержания. 1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики. 2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований. 3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам. Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как непосредственное вычисление объемов тел Евклид, вероятно, считал делом практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственных фигур. В процессе обучения геометрии, можно выделить некоторые конкретные направления использования измерений. Понятие величины в математике возникло в результате абстрагирования от качественных особенностей свойств реальных объектов, чтобы выделить только количественные отношения. Еще в глубокой древности в процессе измерений было найдено множество эмпирических фактов об общих свойствах величин, которые являются отражением свойств в реальном мире. Иногда считают, что понятие величины не является специальным математическим понятием, так как в конечном итоге, как правило, обращаются с числовыми значениями величин или просто числами. Однако, как указывал академик А.Н. Колмогоров, "… более радикальным и правильным решением представляется вполне традиционный путь, восходящий к Евклиду: общие свойства скалярных величин предпосылаются систематическому курсу геометрии. " Понятие величины не потеряло своего значения в математике и в настоящее время; оно имеет ясно выраженную прикладную направленность. Так, Н.Я. Виленкин замечает: «Понятие величины является основным, когда речь идет о приложениях математики». Современная математика, давая общее представление о величине, отличает это понятие от понятия числа. Между различными свойствами объектов и явлений окружающей действительности существуют определенные связи, часть из которых отражается в зависимостях между соответствующими величинами. Изучение зависимостей между величинами позволяет учащимся видеть не только качественные связи различных сторон объективной реальности, т.е. на описательном уровне, но и оценивать их количественно. Связи величин, их взаимозависимость выражаются с помощью формул. Истолкование формул в физике отличается от их истолкования в математике. Математическая формула выражает в основном вид зависимости между символами, входящими в нее. Сами символы могут не содержать конкретного смысла. В физической формуле отражены связи между величинами реального мира. В процессе изучения различных величин учащиеся должны знать не только их числовые характеристики, но и те свойства объектов, которые характеризуются данными величинами. Известно, что не каждое свойство объектов, явлений можно измерять. Примерами могут служить многие понятия в психологии, педагогике, биологии, экономике (воля, смелость, вкус и т. д.). Иногда такие понятия также называют величинами, но в отличие от привычных — величинами латентными. Сравнение таких величин возможно лишь на некоторой интуитивной основе. Если говорят, что этот человек более волевой, чем другой, то о степени качества «воля» судят только через систему поступков, поведение человека. В этих случаях говорят об условных значениях величии или об условных мерах. Оценивать такие величины числами представляется искусственным. Сложение, вычитание и другие арифметические действия с латентными величинами производить нельзя, так как не может быть установлено взаимно-однозначное соответствие между их множеством и множеством действительных чисел. На примере использования величин в науках учащиеся знакомятся с одним из путей математизации знаний, с той ролью, которую играют математические методы в исследовании природы. Все это имеет важное значение для формирования у учащихся правильных представлений о взаимодействии математики с другими естественными науками. Наряду с изучением конкретных величин в школе важно, чтобы учащиеся получили достаточно полное и в то же время доступное представление о: · понятии величины, способах ее измерения; · роли и месте величин в познании природы; · свойствах величины, ее видах; · сути математической обработки результатов измерений и т.д. Понимание этих вопросов способствует формированию у учащихся научного мировоззрения. Изучая величины, учащиеся знакомятся также с основными метрологическими понятиями: размер, значение, размерность величины, эталоны единиц измерения и т.д. РАЗДЕЛ II 2 Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы2.1 Методика изучения длин в курсе геометрии средней школыВ традиционной школе изучение величин начинается с длины предметов. Теория измерения длины отрезков может быть построена по такой схеме: · Определение длины отрезка как вещественного числа; · Описание процедуры измерения отрезка; · Установление существования и единственности длины отрезка при данном выборе единицы измерения с использованием аксиомы Архимеда; · Установления существования отрезка, длина которого при данном выборе единицы измерения равна любому, наперед заданному положительному числу(с использованием аксиомы Кантора, геометрического эквивалента аксиомы непрерывности). Первые представления о длине, как о свойстве предметов, у детей возникает задолго до школы. С первых дней обучения в школе ставится задача уточнить пространственные понятия детей. Важным шагом в формировании данного понятия является знакомство с прямой линией и отрезком, как «носителем» линейной протяжённости, лишенным, по существу, других свойств. Сначала учащиеся сравнивают предметы по длине, не измеряя их. Делают они это наложением (приложением) и визуально («на глаз»).Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: «Какой отрезок длиннее, красного или зеленого цвета?» Затем предлагается сравнить два предмета разного цвета и разные по длине практически — наложением. Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: « Какой ремень короче (длиннее) светлый или тёмный?» Через эти два упражнения дети подводятся к пониманию длины как свойства, проявляющегося в сравнении, то есть: если два предмета при наложении совпадают, то они имеют одну и ту же длину; если же какой — либо из сравниваемых предметов накладывается на часть другого, не покрывая его полностью, то длина первого предмета меньше длины второго предмета. После рассмотрения длин предметов переходят к изучению длины отрезка. Здесь длина выступает как свойство отрезка. Разъяснение учащимся старших классов сущности аксиомы Кантора не представляет особых трудностей. Случай, когда на перед заданное число рационально, аксиома Кантора применяется, а используется элементарное построение. Если это число иррационально, например х=2,313113111311113…, то поступаем так: введем на прямой систему координат(начало 0, направления единицу измерения).Мы можем построить точки А1 и B1, где А1 = 2,3; B1 = 2,4 – приближения с точностью 0,1. Если существует точка М, то ОА1 Неограниченно продолжая этот процесс, мы получаем, что если точка М существует, то она лежит внутри каждого из отрезков бесконечной последовательности: A1B1, A2B2,…,Aп Bп ,…, обладающей следующими свойствами: 1. Каждый отрезок, кроме первого, лежит внутри предыдущего. 2. Длины отрезков стремятся к 0(или нет отрезка, лежащего внутри всех отрезков этой последовательности). Существование точки лежащей внутри всех отрезков этой последовательности, и постулируется аксиомой Кантора. Приняв аксиому Кантора, мы находим искомую точку М, а следовательно и отрезок ОМ, длина которого равна наперед заданному числу х. 2.2 Методика изучения величин углов в курсе геометрии средней школыПри изучении величин углов можно использовать следующую схему: Общий обзор углов – углы с общей вершиной – градусное измерение углов. В учебной методческой литературе угол определяется по разному: 1. Угол есть фигура, образованная двумя лучами, выходящими из общей точки. 2. Угол есть неопределенная часть плоскости, заключенная между двумя лучами, выходящими из общей точки. 3. Угол есть совокупность лучей, выходящих из общей точки и пересекающих данный отрезок. 4. Углом называется «часть пучка лучей, ограниченная двумя лучами (того же пучка), подобно тому как отрезок есть часть прямой линии, ограниченная двумя точками. 5. Углом называется совокупность точки и двух лучей, выходящих из этой точки… Под точками угла мы понимаем его вершину и все точки его сторон. В школьной практике обычно употребляются первое или второе определение (по существу они являются не определениями, а описаниями). Возможны следующие действия с величинами углов: сравнение, сложение вычитание величин углов, умножение угла на челое цисло и деление угла на целые части. Зная, что все развернутые углы равны между собой, и все прямые углы равны между собой, можно узнать, что развернутый и прямой углы имеют постоянные величины (как и метр и килограмм, которые тоже имеют постоянную величину). Отсюда, естественно принять за единицу измерения углов угол, в часности прямой угол, как имеющий постоянную величину. Величина угла – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1) равные углы имеют равны градусные меры.; 2) если угол разбивается на части, градусные меры которых известны, то градусная мера всего угла равна сумме грусных мер этих углов. 3) меньший угол имеет меньшую градусную меру, и больший угол имеет большуюградусную меру. 2.3 Методика изучения площадей фигур в курсе геометрии средней школыВ теме «Площади фигур» наблюдается синтез традиционно-синтетического и аналитического методов. Изучаемые здесь факты носят аналитический характер (например площадь треугольника), а доказательства основаны на применении традиционно-синтетического метода. При изучении темы «Площади фигур» используется такая схема: простая фигура – площадь фигуры как величина – площадь прямоугольника – площадь параллелограмма – площадь трапеции – площадь подобных фигур. Перед введением понятия «простые фигуры» учащимся предлагается по готовым чертежам назвать: простую ломаную, замкнутую ломаную, простую замкнутую ломаную, выпуклый многоугольник, плоский треугольник, плоский пятиугольник. Напомним, что из определения треугольника как фигуры состоящей из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки следует, что он должен представляться как «скелет», «каркас»! Плоский треугольник – конечная часть плоскости, ограниченная треугольником. Выпуклый многоугольник – многоугольник, который лежит в одной плоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Плоским многоугольником называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником. После этого дается определение: Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. Примером простой фигуры может служить плоский выпуклый многоугольник, который разбивается на плоские треугольники диагоналями, выходящими из одной вершины. «Площадь простой фигуры – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей; 3) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице; В таком определении новой величины использован аксиоматический подход. С помощью свойств описана аддитивность площади простой фигуры, определена мера (единица измерения) площади. Первое свойство площади определяет термин «равновеликие». Если фигуры равны, то равны и их площади, однако обратное утверждение не всегда верно. С формулами площадей некоторых фигур учащиеся познакомились в курсе арифметики. Измеряя площади при помощи памятки, школьники познакомились с оценкой ее по недостатку и по избытку. И таким образом они уже подготовлены к восприятию вывода формулы площади прямоугольника. Площадь круга. Круг – плоская фигура, но ее нельзя разбить на простые треугольники. Поэтому, такая фигура имеет площадь S, если существуют содержащие её простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от S . При проведении уроков по теме «Площадь фигур» вывод общих формул должен закрепляться на частных примерах. Изложение теоретического материала должно быть максимально сокращено (в разумных пределах), что позволило бы сэкономить время для решения более сложных задач. (Возможно проведение уроков-лекций для изложения теории). Желательно проводить самостоятельные работы, как обучающего, так и контролирующего характера по каждому из изучаемых случаев. 2.4 Методика изучения объемов фигур в курсе геометрии средней школыВ изучении темы «Объемы тел» в курсе стереометрии прослеживается аналогия с темой «Площади фигур» и распределение учебного материала такое: простое тело – объем тела как величина – объем прямоугольного параллелепипеда – объем треугольной призмы – объем призмы – тела, имеющие равные объемы – объем полной треугольной пирамиды – объем произвольной полной пирамиды – объем усеченной треугольной пирамиды – объем произвольной усеченной пирамиды – объемы подобных тел – объем тел вращения. Существуют различные методические подходы к изучению вопросов измерения геометрических величин в курсе стереометрии. Принципиальные трудности, возникающие при изучении объемов, носят тот же характер, что и при изучении площадей, но имеют определенную специфику. Так, если при измерении площадей непосредственное сравнение площади конкретной фигуры с единицей площади вызывало затруднения, но все же было возможным, то для измерения объемов сравнение с единичным кубом практически вообще невозможно, ему на смену всегда приходит измерение косвенное. В то же время такой момент, как необходимость ввести новое определение понятия объема для фигур вращения, уже не вызывает у учащихся недоумения, так как этот новый подход уже применялся при вычислении площадей. Структура доказательства формулы объёма прямоугольного параллелепипеда: 1. устанавливается величина отношения высот двух параллелепипедов с общим основанием; 2. устанавливается величина отношения объёмов выбранных параллелепипедов; 3. сравнение полученных значений отношений; 4. вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, применяя доказанное свойство к единичному кубу и параллелепипедам с измерениями: a,1,1; a,b,1; a,b,c. При решении задач учащиеся иногда “путают” свойства прямого и прямоугольного параллелепипедов, неправильно указывают их диагональное сечение и т.п. Более углубленное изучение этих понятий на этапе их введения обеспечивает применявшаяся ранее методическая схема: 1. проанализировать эмпирический материал; 2. математизировать эмпирический материал – построить определение; 3. составить алгоритм распознавания понятия; 4. включить понятие в систему понятий. При выводе формулы объема цилиндра применяется предельный переход. Затем, при выводе формул для вычисления объема пирамиды, ученики используют метод интегрального исчисления. Нужно отметить, что с этим методом ученики знакомятся сначала в курсе математического анализа при вычислении площади криволинейной трапеции. ЗАКЛЮЧЕНИЕВ работе были решены все поставленные во введении задачи, а именно рассмотрена история развития геометрических величин, охарактеризовано понятие геометрической величины, установлена роль и место величин, их измерений в процессе обучения, описана методическая литература по данной теме. Понятие геометрической величины – одна из основных линий школьного курса геометрии, которая знакомит учащихся с важными идеями, понятиями и методами метрической геометрии. Без величин изучение природы ограничивалось бы лишь наблюдениями и оставалось на описательном уровне. Именно количественные модели различных объектов, явлений наиболее описательны. Характерным общим понятием для всех моделей является понятие «величина». Понятие величины в математике возникло в результате абстрагирования от качественных особенностей свойств реальных объектов, чтобы выделить только количественные отношения. Еще в глубокой древности в процессе измерений было найдено множество эмпирических фактов об общих свойствах величин, которые являются отражением свойств в реальном мире Измерение геометрических величин связано с идеей аксиоматического метода, теорией действительного числа, методами математического анализа. Знакомство учащихся с различными формулами расширяет возможности применения в школьном курсе геометрии аналитического метода. Главная особенность изложения материала – сочетание различных математических идей и методов, например, в теме «Площади фигур» используется традиционно-синтетический и аналитический методы. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Багишова О.А. Измерение длин в ходе практических работ.//Математика в школе. №4 2005. 2. Виленкин Н.Я. О понятии величины.// Математика в школе. №3 1973. 3. Глейзер Г.И. История математики в школе. -М.: Просвещение. 1982. 4. Корешкова Т.А., Цукерман В.В. Многоугольники и их площади в школьном курсе математики.// Математика в школе. № 3 2003. 5.Геометрия. 7-9 классы : учеб. Для общеобразоват. Организаций с прил. На электрон. носителе. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 3-е изд. – М. : Просвещение, 2014. 6.ЕГЭ за 30 дней : Математика : Эксперсс-репетитор. А.П. Власова, Н.И. Латанова, Н.В. Евсеева, Л.А. Шишкина, Г.Н. Хромова. Москва: АСТ: Астрель, 2014. Интернет-ресурсы http://ru.solverbook.com/spravochnik/formuly-po-geometrii/formuly-ploshhadi/ http://www.webmath.ru/poleznoe/formules6.php http://ru.onlinemschool.com/math/formula/area/ https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия http://www.galichschool3.narod.ru/matem/VishnevskayaNB/str1.htm |