№ СЛАЙДА
|
ЧТО ДОЛЖНО БЫТЬ В СЛАЙДЕ
|
ЧТО НУЖНО ЗНАТЬ
|
1
|
Тема дипломной работы
Выполнил: студент группы Ф.И.О. студента
Научный руководитель:и.о.доцента к.т.н. Крахмалева Ю.Р.
|
|
|
2-4 слайд см. Введение ДР
|
|
2
|
Актуальность темы. При решении как теоретических, так и прикладных задач в самых различных разделах математики возникает класс специальных функций. Особое место в классе специальных функций занимают так называемые, функции- интегралы, изучение которых основано на функциях, зависящих от параметра. В связи с широким применением в различных приложениях данной теории и развитием компьютерных технологий возникает необходимость нахождения более рациональных путей практической реализации функций, зависящих от параметра. Одним из таких путей предлагается применение систем компьютерной математики.
|
|
3
|
Научная новизна. Методика вычисления функций, зависящих от параметра, посредством пакета компьютерной математики Maple открывает возможность использования в фундаментальных исследованиях.
Практическая значимость. Методика вычисления функций, зависящих от параметра, посредством пакета компьютерной математики Maple освобождает процесс вычисления от рутинных выкладок с минимальной затратой по времени.
|
|
4
|
Целью работы является исследование функций, зависящих от параметра и их практическая реализация посредством пакета компьютерной математики Maple.
Объект исследования. Функции, зависящие от параметра  :
Предмет исследования: методы математического анализа
|
|
5
|
Название слайда: Определение функции от параметра
 определена для всех значений в некотором промежутке и всех значений в множестве , интегрируема на при каждом постоянном значении из . Тогда собственный интеграл
называется функцией от параметра .
Определение 1. Если для функции выполняются условия:
1)при существует конечная предельная функция при : 
2) для любого числа  найдется такое не зависящее от число  , что
при  сразу для всех из , то
функция стремится к предельной функции  равномерно относительно в области .
|
интегрируема на при каждом постоянном значении из :
интегрирование понимается в собственном или в несобственном смысле.
Определение 1 можно распространить на случай несобственного числа  (например, ). И в этом случае, неравенство заменяется на неравенство  .
|
6
|
Название слайда: Непрерывность функции от параметра
Теорема 1.Если функция является интегрируемой по в , при этом равномерно стремиться при к относительно , тогда справедливо равенство:
 (1)
Следствие. Если функция является непрерывной по в при постояном ; при возрастании стремится к непрерывной же предельной функции, при этом монотонно возрастает, то имеет место (1).
Теорема 2 .Пусть функция определена в прямугольнике и является непрерывной, как функция от двух переменных, ,тогда можно утверждать, что будет также непрерывной функцией от параметра в промежутке  .
|
Записать формулу можно в сокращенном виде:
. ,
что означает:предельный переход по параметру допустим под знаком интеграла.
|
7
|
Название слайда: Дифференцируемость функции от параметра
Правило Лейбница вычисления производной функции выполняется при допущении существования частной производной по аргументу :  подынтегральной функции :
 . (2)
Теорема 3 .Если функция
1)определена в прямоугольнике ;
2) непрерывна по аргументу в при всяком в ;
3) существует , которая непрерывна как функция  -х переменных,
Тогда справедлива формула (2)при любом значении из .
|
Формула (2) записана в обозначениях Лагранжа. Существует запись правила Лейбница в обозначениях Коши:
Если принимается перестановка знаков производной по аргументу интеграла по аргументу , то можно утверждать , что функция  дифференцируема по параметру под знаком интеграла. Введенное правило Лейбницем для вычисления производной по параметру носит название «правилоЛейбница».
Для применения правила Лейбница нужны условия, которые рассматриваются в теореме 3.
|
8
|
Название слайда: Интегрирование функции от параметра
Теорема 4.Если функция непрерывна (по обеим переменным) в прямоугольнике , то функция интегрируема на и имеет место формула (3) :
Пример 1. Проинтегрировать по параметру :
 .
Пример 2. Проинтегрировать по параметру :
в прямоугольнике  .
  ,
 .
в то время как:
|
При наличии формулы (3), говорят что функцию можно интегрировать по параметру под знаком интеграла(взятого по переменной ).
Функция  в прямоугольнике  , где  непрерывна. Условия теоремы 4 соблюдены.
Условия теоремы не выполнены: налицо разрыв в точке  .
|
8
|
Название слайда: Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть функция определена при всех  , при всех и некоторого множества и при каждом фиксированном :  интегрируема на  . Функция
называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра.
Пусть функция определена при всех :  и при всех : и при каждом фиксированном является неограниченной при  . Функция
называется несобственным интегралом второго рода, зависящим от параметра.
Так как
то
 .
|
При этом является сходящимся
Наряду с несобственным интегралом первого рода, вводится определение несобственного интеграла второго рода.
 интеграл сходящийся
Это определение несобственного интеграла:
функцию от  и , при  и  имеет пределом  . Если стремление  к происходит равномерно относительно в области , то интеграл называют равномерно сходящимся относительно для указанных значений параметра.
|
9
|
Название слайда: Интегрирование несобственного интеграла, зависящего от параметра
Теорема 5. Пусть функция определена и непрерывна (как функция двух переменных) для значений и значений в промежутке  . Если функция
сходится равномерно относительно : , то имеет место формула:
Пример 3. Найти значение интеграла
 .
Решение .Рассмотрим  . Вводим замену переменных  , тогда  , тогда:
 ;
При  произведем замену переменной, полагая  ,  , имеем:
При  интеграл равен нулю. Следовательно,
 .
|
|
10
|
Пример 4. Найти значение интеграла
 , .
Решение.
 ,
так как
 .
Функция
удовлетворяет условиям Теоремы 5, тогда
.
Функция  является непрерывной на промежутке  . где  пусть принимает фиксированное значение , а  является параметром. Так как для : интеграл  сходится и выполняется :
при  , то  сходится равномерно на . Применяя интегрирование по частям, получим:
 .
|
|
10
|
Название слайда: Интегрирование функций от параметра в Maple
restart;
Int((sin(x*y))/x,x=0..+infinity)=int((sin(x*y))/x,x=0..+infinity);
assume(y>0);
Int((sin(x*y))/x,x=0..+infinity)=int((sin(x*y))/x,x=0..+infinity);
assume(y<0);
Int((sin(x*y))/x,x=0..+infinity)=int((sin(x*y))/x,x=0..+infinity);
assume(y=0);
Int((sin(x*y))/x,x=0..+infinity)=int((sin(x*y))/x,x=0..+infinity);
|
Рассмотрим решение в пакете компъютерной математики Maple. Значение функции, зависящей от параметра в таких случаях может зависить от знака параметра или каких-либо других ограничений. Вводим команду вычисления интеграла отложенного и прямого действия:
Для получения явного аналитического результата вычислений следует сделать какие- либо предположения о значении параметров, тем самым наложить на них ограничения. Для того используем assume(expr) , где expr – неравенство, которое содержит ограничение для параметра
|
11
|
Название слайда: Интегрирование функций от параметра в Maple
restart;
Int((exp(-betta*x)*(sin(x))/x),x=0..+infinity)=int((exp(-betta*x)*(sin(x))/x),x=0..+infinity);
 
restart;
assume(betta>0);
Int((exp(-betta*x)*(sin(x))/x),x=0..+infinity)=int((exp(-betta*x)*(sin(x))/x),x=0..+infinity);
|
Значение интеграла в системе Maple показывает определение несобственного интеграла, но не его значение.
Решение примера выполнялось при . Введем это ограничение и реализуем решение в системе Maple.
Этот же результат получен и при решении примера, используя метод интегрирования по частям. Как видим, система находит выражение функции, зависящей от параметра без каких-либо трудностей.
|
12
|
Заключение(см. заключения ДР)
Разделом математики, в котором изучается функции, их задание и их поведение в определенной области является математический анализ. Один из способов задания функций основан на использовании интегралов, зависящих от параметров. Этот способ распространен в теории специальных функций.
В дипломной работе проводится исследование функций, зависящих от параметра и их практическая реализация посредством компьютерной математики Maple. В результате исследований показана ограниченность интегрирования функций, зависящих от параметра в системе. Разработана методика вычисления функций, зависящих от параметра посредством пакета компьютерной математики Maple, которая освобождает процесс вычисления от рутинных выкладок с минимальной затратой по времени.
|
|
13
|
Спасибо за внимание!
|
|
Скачать 206.62 Kb.