диффорд. Программа дисциплины Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
 Скачать 27.51 Kb.
|
|
Федеральное агентство научных организаций Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук УТВЕРЖДАЮ Директор ИМ СО РАН __________________ « 15 » __июня__ 2015 г. Программа дисциплины «Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений» для направления 01.06.01 «Математика и механика», профиль 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре Новосибирск-2015 Рабочая программа составлена на основании федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки кадров высшей квалификации «01.06.01 - Математика и механика» (профиль «01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»), утвержденного приказом Минобрнауки РФ №866 от 30.07.2014 (ред. от 30.04.2015). Рабочая программа утверждена директором ИМ СО РАН от 15.06.2015 г. Составитель программы: гл.н.с., профессор, д.ф.-м.н. Фадеев С.И. СОГЛАСОВАНО: Зам. директора по научной работе Вдовин Е.П. 1 Цели освоения дисциплины Целью освоения дисциплины «Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений» профиля 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре является изучение численных методов решений краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 2 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины Аспиранты, завершившие изучение данной дисциплины, должны: знать: некоторые численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений уметь: применять теоретический материал при решении конкретных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений владеть: различными приемами численного исследования краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В результате освоения дисциплины аспирант осваивает следующие компетенции:
3 Место дисциплины в структуре образовательной программы Настоящая дисциплина относится к вариативной части для направления 01.06.01 «Математика и механика», является факультативной дисциплиной для обучающихся профиля 01.01.02«Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». 4 Объем дисциплины и виды учебной работы Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы/72 часа.
5 Тематический план учебной дисциплины
6 Содержание дисциплины Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке. Существование и единственность решения краевой задачи. Матрица Грина. Краевые задачи для дифференциальных уравнений произвольного порядка. Функция Грина. Существование и единственность решения краевой задачи.Непрерывная зависимость решения краевой задачи от параметров. Возмущённая краевая задача. Теорема о разрешимости возмущённой краевой задачи. Теорема о непрерывной зависимости решения краевой задачи от параметров. Понятие собственных чисел и собственных функций краевой задачи.Краевая задача на всей числовой прямой для системы уравнений и уравнения произвольного порядка с постоянными коэффициентами. Теорема существования и единственности, функция Грина. Оценки решений. Краевые задачи на полупрямой для системы уравнений и уравнения произвольного порядка с постоянными коэффициентами. Условие Лопатинского, функция Грина. Оценки решений. О численных методах решения линейных краевых задач. Приведение двухточечной краевой задачи к серии задач Коши. Серии задач Коши в методе стрельбы. Проблема «сплющивания» базисных решений. Пример некорректного применения метода стрельбы для решения хорошо обусловленной краевой задачи. Ортогонализация Грама-Шмидта. Метод ортогональной прогонки С.К. Годунова.Метод множественной стрельбы как вариант ортогональной прогонки. Проблема «сплющивания» базисных решений. Нелинейные краевые задачи на отрезке. Формулировки нелинейных краевых задач. Геометрическая интерпретация. Нелинейные эффекты, как отражение реальных физических процессов, моделируемых краевой задачей. О численном исследовании нелинейных краевых задач в зависимости от параметров модели. Примеры нелинейных краевых задач, имеющих точное решение, которые иллюстрируют нелинейные эффекты. Множественность решений и петля гистерезиса.Численное решение нелинейных краевых задач методом Ньютона (методом квазилинеаризации). Определение хорошей обусловленности нелинейной краевой задачи. Теорема о сходимости итераций по методу Ньютона. Редукция краевой задачи к системе нелинейных уравнений относительно сеточных значений решения краевой задачи и её решение методом Ньютона. Дифференцируемость решения задачи Коши по начальным данным и параметрам. Метод стрельбы. Метод множественной стрельбы. Численное исследование решения системы нелинейных уравнений в зависимости от параметра. Системы нелинейных уравнений с параметром. Методы продолжения решения по параметру для построения гладкой пространственной кривой, определяемой системой нелинейных уравнений. Теорема о неявной функции. Применение метода Ньютона при продолжении решения по параметру. Продолжение решения по параметру как задача Коши.Продолжение решения по текущим параметрам для построения гладкой пространственной кривой, содержащей особые точки типа «поворот». Выбор текущего параметра с использованием параметризации. Продолжение решения по длине дуги. Теорема о неявной функции и параметризация. Продолжение решения по текущему параметру. Численное построение интегральной кривой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, представляющей зависимость решения системы от параметра. Метод Кубичека. Численное исследование решения нелинейных краевых задач. Метод продолжения решения по параметру. Продолжение решения по параметру в методе множественной стрельбы. Система нелинейных уравнений относительно сеточных значений решения, определённая на решениях серии задач Коши. Серия задач Коши, необходимая для реализации метода продолжения по параметру.Дискретная модель нелинейной краевой задачи, основанная на сплайн–коллокации. Метод сплайн–коллокации. Формулировка дискретной модели. Адаптация сетки.Дискретные модели нелинейных интегральных уравнений. Примеры представления нелинейной краевой задачи в виде нелинейного интегрального уравнения с использованием функции Грина. Использование интерполяционных кубических сплайнов класса C2 при формулировке дискретной модели нелинейного интегрального уравнения. Система линейных алгебраических уравнений, определяющая фундаментальные кубические сплайны.Численные примеры. Модель плёночного электростатического реле. Стационарные режимы работы каталитического реактора с кипящим слоем. Краевая задача, описывающая зависимость предельного цикла осциллятора Ван дер Поля от параметра. 7 Самостоятельная работа аспирантов Чтение основной литературы, указанной в нижеприводимом списке, и решение приведенных в ней упражнений. 8 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Основная литература: [1] Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. [2] Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991. [3] Годунов С.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Т. 1: Краевые задачи. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1994. [4] Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. [5] Фадеев С.И., Когай В.В. Нелинейные краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений на конечном отрезке. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2008. [6] Федорук М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. [7] Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М.: Мир, 1991. 9 Оценочные средства для текущего контроля и промежуточной аттестации аспиранта Текущий контроль проводится в устной форме во время консультаций в виде беседы преподавателя с аспирантом на темы, связанные с изучаемой дисциплиной, рассчитанной на выяснение объема знаний аспиранта по определенному разделу, теме, проблеме и т.п. Промежуточная аттестация проводится в форме экзамена по окончании изучения дисциплины. Примерный перечень вопросов и заданий к экзамену по всему курсу для самопроверки аспирантов: Краевые задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений Численные методы решения линейных краевых задач на отрезке Численные методы решения нелинейных краевых задач на отрезке Численное исследование решений нелинейных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра Метод продолжения решения по параметру 10 Материально-техническое обеспечение дисциплины
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||