Производной первого порядка или первой производной

• Название: Производной первого порядка или первой производной
• Анкор: vfntv
• Дата: 16.09.2020
• Размер: 15.27 Kb.
• Имя файла: lekcia math.docx
• Тип: Решение; #138195

Понятие о производных высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируемая функция. Производная y'=f'(x) называется производной первого порядка или первой производной.

Производная f'(x) сама является функцией, которая также может иметь производную.

Производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначаться y'', f''(x),  .

Производная n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка и обозначается y⁽ⁿ⁾, f⁽ⁿ⁾(x),  .

Пример 1. Найти вторую производную функции y=x⁴-3x³+5x²-x+1

Решение

y'=4x³-9x²+10x-1

y''=(4x³-9x²+10x-1)'=12x²-18x+10

Пример 2. Найти производную n-го порядка y=e^2x

Решение

y'=(e^2x)'=2e^2x

y''=(2e^2x)'=4e^2x=2²e^2x

y’’’=(4 e^2x)’=8e^2x=2³e^2x

y⁽ⁿ⁾=2ⁿe^2x

Механический смысл второй производной

Ускорение a(t) прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени, т.е.

a(t)=υ'(t)=Ѕ''(t)

Пример 3 Тело движется прямолинейно по закону S=1-2t+t³. Найти ускорение в момент времени t=3.

Решение a(t)=S''(t)

a(t)=(-2+3t²)'=6t

a(3)=6*3=18