Конспект по тебе 1 экономика. Простые проценты Финансовая математикаЦели изучения темы
 Скачать 0.5 Mb.
|
|
Простые проценты Финансовая математика Цели изучения темы: - ознакомление с временной ценностью денежных ресурсов, показателями, характеризующими результативность финансовой операции; - получение представления о наращении и дисконтировании по простым ставкам. Задачи изучения темы: определение основных параметров финансовых расчетов; получение представления о процессе наращения и дисконтирования, связи между ними; понимание соотношений (уравнений), связывающих параметры финансовой операции. В результате изучения данной темы Вы будете Знать: практику начисления по простым процентам, связь между наращением и дисконтированием; определять параметры финансовых операций в схеме наращения и дисконтирования по простым процентам. Уметь: собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов; на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов. Владеть: навыками применения методов финансовой математики для решения экономических задач и прогноза развития экономических явлений и процессов. Учебные вопросы темы: 1. Основные понятия и обозначения. 2. Формула наращения по простым процентам и практика начисления простых процентов. 3. Дисконтирование и учет по простым ставкам. Вопрос 1. Основные понятия и обозначения В финансовых операциях одним из основных факторов, определяющих ее результат, является фактор времени, который можно сформулировать как принцип неравноценности денег. Смысл этого принципа состоит в том, что одинаковые суммы сегодня и через любой промежуток времени неравноценны. Неравноценность определяется тем, что даже в условиях отсутствия инфляции и риска теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы в свою очередь могут быть снова инвестированы. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные. Введем ряд переменных и определим основные понятия. Под наращением начальной суммы будем понимать процесс ее увеличения, путем присоединения к ней начисленных процентов. Сумму, найденную наращиванием, называют наращенной суммой. Проценты, или процентные деньги – это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг на определенное время. Используем следующие обозначения: n – срок долга (в годах) или количество периодов начисления процентов; P – первоначальная сумма, предоставленная в долг; S – наращенная сумма; i – процентная ставка (наращения); d – учетная ставка. Процентная ставка i за период начисления – это отношение дохода (разности между наращенной суммой и первоначальной суммой) к сумме вложенных средств: P P S i (1) Если период начисления измеряется в годах, то i – годовая процентная ставка. Иначе она определяется периодом начисления (квартал, месяц, неделя, день и т.д.). Вопрос 2. Формула наращения по простым процентам и практика начисления простых процентов Из соотношения (1) можно выразить наращенную сумму S: ) 1 ( i P S (2) Наращенную сумму можно также представить в виде первоначальной суммы и суммы процентов: I P S (3) P i I (4) I – сумма начисленных процентов. Процентная ставка называется простой, если в каждом периоде база для начисления процентов остается постоянной. Пусть в момент размещения суммы P на банковском счете, единица измерения времени составила 1 год. И как следует из соотношения (4), проценты за первый год вклада равны P i I 1 Согласно определению простой процентной ставки, проценты за каждый год вклада одинаковы и равны: P i I I I n 2 1 (5) Накопленные проценты за весь срок вклада n лет составят: P i n I I I I n 2 1 (6) Тогда наращенная сумма вклада через n лет станет равной: P i n P I P S или ) 1 ( i n P S (7) Простые проценты начисляются, если срок ссуды менее года, либо проценты не присоединяются к сумме долга, а выплачиваются кредитору заемщиком в конце каждого периода начисления. Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжительности ссуды менее года необходимо выяснить, какую часть годовой процентной ставки следует выплатить. Для этого величину n выражают в виде дроби: K t n (8) где t – продолжительность финансовой операции (ссуды) в днях; К – число дней в году (временная база). Рис. 1. Наращение по простой процентной ставке Возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы K и способом измерения срока пользования ссудой. Обычно за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный или коммерческий процент. В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366. Определение числа дней также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором – продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, приближенно считая все месяцы равными, содержащими по 30 дней. В обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день. Для подсчета точного числа дней между двумя датами можно воспользоваться специальной таблицей, в которой представлены порядковые номера дат в году. Комбинируя различные варианты временной базы и методов подсчета дней ссуды, получаем три способа расчета процентов, применяемые на практике: (365/365) точные проценты с точным числом дней ссуды – британский; (365/360) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды – французский; (360/360) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды – германский. Из формулы (7) наращивания по простой процентной ставке можно определить величину множителя наращения: i n P S 1 (9) Множитель наращения – это число, показывающее во сколько раз наращенная сумма больше начальной суммы. Процентные ставки, как правило, не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях могут предусматриваться дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид: k j j j k k i n P i n i n i n P S 1 2 2 1 1 ) 1 ( ) 1 ( (10) Вопрос 3. Дисконтирование и учет по простым ставкам В практике часто приходится решать задачу обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму P. Расчет P по S называется дисконтированием суммы S. Величину P, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S. Разность в виде: P S D - (11) называют дисконтом или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом. Дисконт как скидка с конечной суммы долга может определяться через процентную ставку или в виде абсолютной величины. В финансовых контрактах фактор времени чаще всего учитывается с помощью операции дисконтирования. Величина P эквивалентна сумме S в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов величина P в результате наращения станет равной S. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением. Однако понятие приведения несколько шире, чем дисконтирование. Приведение – это вычисление некоторой стоимостной величины на заданный момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то – наращение. Имеет место также два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. Математическое дисконтирование. Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению. Если в прямой задаче наращенная сумма равна: ) 1 ( i n P S то в обратной задаче: i n S P 1 1 Дробь в правой части равенства при величине S называется дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет начальная сумма в наращенной сумме. Дисконт определяется из соотношения (11). Банковский или коммерческий учет. Операция учета (например, учета векселей) заключается в том, что кредитное учреждение (банк) до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца по цене ниже той суммы, которая предназначена к выплате в конце срока, т.е. приобретает, учитывает его с дисконтом. Расчет процентов при банковском учете производится с помощью учетной ставки, которая обозначается символом d. Простая учетная ставка определяется из соотношения: S n P S d (12) отсюда ) 1 ( d n S P (13) Величина дисконта или учета равна: ndS P S D (14) Следует заметить, что формула (13) справедлива, если срок n и учетная ставка d удовлетворяют условию nd < 1. Дисконтирование по простой учетной ставке применяют, как правило, в случае краткосрочных сделок, когда 0 < n ≤ 1 и 0 < d < 1. Наращение по учетной ставке. Учетная ставка может использоваться для наращения, т.е. для расчета S по P. В этом случае из формулы (13) следует: d n P S 1 (15) Определение срока продолжительности ссуды. Иногда задача ставится таким образом, что требуется найти временной интервал, за который исходная сумма при заданной ставке процентов вырастет до нужной величины, или срок, обеспечивающий определенный дисконт с заданной величины. Другими словами, речь идет о решении формул (1) и (10) относительно n. При использовании простой ставки наращения i из (1) получаем: 𝑛 = 𝑆−𝑃 𝑃⋅𝑖 (16) а при учетной ставке d из (13) имеем: 𝑛 = 𝑃−𝑆 𝑆𝑑 (17) Формулы (16) и (17) дают срок, измеряемый в годах, но простые ставки в основном используются в краткосрочных операциях, когда срок исчисляется днями. В этом случае срок финансовой операции в днях выражается как t=nK (18), где K – временная база. Cрок n в этих двух формулах имеет разный смысл: в первом случае это весь срок операции, а во втором – оставшийся срок до погашения. Определение уровня процентной ставки. Уровень процентной ставки может служить мерой доходности операции, критерием сопоставления альтернатив и выбора наиболее выгодных условий. Из тех же формул (1) и (13) получаем ставку наращения i и учетную ставку d 𝑖 = 𝑆−𝑃 𝑃⋅𝑛 (18) 𝑑 = 𝑃−𝑆 𝑆𝑛 (19) Пример 1. В конце второго года сумма вклада составила 12000 рублей. Найти сумму процентов и величину начального вклада, если на него начислялась простая процентная ставка 25% годовых. Решение: Согласно соотношению (6) сумма процентов составила то – P i n , а начальная сумма может быть получена из формулы (7). Подставляя исходные данные находим: руб. 8000 25 0 2 1 12000 1 i n S P руб. 4000 8000 25 0 2 P i n I Пример 2. В договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 12% годовых, а на каждый последующий квартал на 1% больше, чем в предыдущем. Определить множитель наращения за весь срок договора. Решение: Подставим исходные данные в формулу (9), учитывая соотношение (10): i n P S 1 ; = 1+ 1 4 0,12+ 1 4 0,13+ 1 4 0,14+ 1 4 0,15 = 1,135 Пример 3. Вексель учтен банком за n = 0,5 года до даты погашения по простой учетной ставке d = 20%. Банк выплатил сумму Р = 18000 руб. Определить номинальную стоимость векселя. Решение: Номинальная стоимость векселя равна: 20000 20 0 5 0 1 18000 1 d n P S Пример 4. Каким должен быть срок ссуды в днях, для того чтобы долг 100000 руб., вырос до 120000 руб. при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых? (К=365). Решение: По формуле простых процентов имеем: 100 (1 + n 0,25) = 120 Откуда 5 4 п – года или в днях: n = 5 4 365 = 292 дня. Пример 5. Ссуда 25000 рублей выдана на 0,7 года под простые проценты 18% годовых. Найти проценты и наращенную сумму. Решение: I=Pni = 25000 0,7 0,18 = 3150 руб. S= P+I = 25000+3150 = 28150 руб. Пример 6. Сумма 2000000 руб. положена в банк 18 февраля не високосного года и востребована 25 декабря того же года. Ставка банка составляет 35% годовых. Определить сумму начисленных процентов при различной практике их начисления. Решение: 1. Германская практика начисления простых процентов. Временная база принимается за 360 дней, T = 360. Количество дней ссуды: t = 11 (февраль) + 30 (март) + 30 (апрель) + 30 (май) + 30 (июнь) + + 30 (июль) + 30 (август) + 30 (сентябрь) + 30 (октябрь) + + 30 (ноябрь) + 25 (декабрь) – 1 = 305 дней Сумма начисленных процентов: I = P t / T i = 2000000 305/360 0,35 = 593055,55 руб. 2. Французская практика начисления процентов. Временная база принимается за 360 дней, T = 360. Количество дней ссуды: t = 11 (февраль) + 31 (март) + 30 (апрель) + 31 (май) + 30 (июнь) + + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + + 30 (ноябрь) + 25 (декабрь) - 1 = 310 дней По таблицам порядковых номеров дней в году можно определить точное число дней финансовой операции следующим образом: t = 359 - 49 = 310 дней. Сумма начисленных процентов: I = P t / T i = 2000000 310/360 0,35 = 602777,78 руб. 3. Английская практика начисления процентов. Временная база принимается за 365 дней, T = 365. Количество дней ссуды берется точным, t = 310 дней. Сумма начисленных процентов: I = P t / T i = 2000000 310/365 0,35 = 594520,55 руб. Как видно, результат финансовой операции во многом зависит от выбора способа начисления простых процентов. Поскольку точное число дней в большинстве случаев больше приближенного числа дней, то и проценты с точным числом дней ссуды обычно получаются выше процентов с приближенным числом дней ссуды. В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зависит от значительности сумм, фигурирующих в финансовой операции. Вопросы для самопроверки: 1. Как изменяется стоимость денег во времени? 2. Что такое проценты? 3. Что такое процентная ставка? 4. Что такое наращенная сумма? 5. Напишите формулы для наращенных сумм при наращении по простой ставке наращения. 6. Опишите три метода расчета срока ссуды при начислении по простым процентам. 7. Что такое дисконтирование? 8. Что такое множитель наращения? 9. Что такое множитель дисконтирования? 10. В чем разница между дисконтированием и дисконтом? 11. Напишите формулы для вычисления выплачиваемых банком сумм при учете векселя по простым процентам. 12. Выведете формулы для срока ссуды и величины процентной ставки при начислении по простым процентам. |