Спектры. Протокол 9 от 30 октября 2014 г заседания кафедры радиофизики протокол 1 от 09 сентября 2014 г

Название	Протокол 9 от 30 октября 2014 г заседания кафедры радиофизики протокол 1 от 09 сентября 2014 г
Анкор	Спектры
Дата	28.11.2022
Размер	0.78 Mb.
Формат файла
Имя файла	SPEKTRY_02.01.15.pdf
Тип	Протокол #816898
страница	3 из 3

1 2 3

6. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРОВ
Для простоты рассмотрения сигнал с конечной энергией предста- вим в виде одиночного импульса S
1
(t), отличного от нуля на интервале времени t
1
< t < t
2
. Импульс имеет конечную длительность
T
И
= t
2
- t
1
. (6.1)
Спектр одиночного импульса непрерывный. Спектральная функция
(2.2) с учетом свойств интеграла примет вид:
2 1
)
(
)
(
1
t
t
t
j
dt
e
t
S
F
. (6.2)
Периодическая последовательность таких же импульсов с периодом
T ≥ T
И
имеет дискретный спектр. Комплексная амплитуда (1.16) с учетом свойств интеграла примет вид
2 1
1
)
(
2 1
t
t
t
jn
n
dt
e
t
S
T
A
. (6.3)
Видно, что интеграл в выражении (6.3) равен спектральной функции
(6.2) для частот ω = nω
1
. Следовательно, комплексную амплитуду можно выразить через спектральную функцию:
A
T
F n
F n n
2 1
1 1
1
(
)
(
) . (6.4)
Комплексная амплитуда n - ой гармоники пропорциональна отсчету спектральной функции на частоте n
1
. Коэффициент пропорциональ-

26 ности - постоянная размерная величина, которая однозначно опреде- ляется периодом сигнала.
Получен важный результат: формирование во времени периодиче-
ской последовательности одиночных импульсов приводит к равно-
мерной дискретизации непрерывного спектра одиночного импульса с
интервалом частот, равным
T
2 1
.
Этот вывод иллюстрируют графики на рисунке 6.1. На рисунке
6.1а показан одиночный импульс и его спектральная диаграмма. Пе- риодические последовательности импульсов и соответствующие им спектральные диаграммы показаны на рисунках 6.1б, в. Сигнал S(t) на рисунке 6.1в известен как периодическое продолжение сигнала
S
1
(t). Начало отсчета времени на графиках выбрано в середине интер- вала (t
1
, t
2
) [3]. Выражение (6.4) получено для периода Т большего или равного длительности импульса Т
И
. Замечательно то, что дискретиза- ция непрерывного спектра одиночного сигнала происходит и при
T
И
(рисунок 6.1г). Чтобы это показать, надо периодический сигнал трактовать как сумму одиночных сигналов, сдвинутых относительно друг друга во времени на интервал Т
m
mT
t
S
t
S
)
(
)
(
1
. (6.5)
При T
И
одиночные сигналы перекрываются. На периоде Т при- сутствует часть сигнала S
1
(t) и “хвосты” S
1
(t) соседних периодов.
Комплексная амплитуда (1.15) с учетом (6.5)
1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
2 1
2 2
2
(
)
(
)
2
( )
T
T
jn
t
jn
t
n
m
m
T
T
T
mT
jn
mT
jn
m
T
mT
A
S t
mT
e
dt
S t
mT e
dt
T
T
e
S
e
d
T

27
Для периодического сигнала ω
1
Т=2π, nm - целое число, следователь- но, комплексная экспонента перед интегралом равна 1. Сумму инте- гралов надо заменить одним интегралом и учесть (6.2)
)
(
2
)
(
2 1
1 1
n
F
T
d
e
S
T
A
jn
n
Полученное выражение повторяет (6.4). Общий итог: если периодиче- ский во времени сигнал образован бесконечной суммой одиночных
Рис. 6.1. Сигналы и их амплитудные спектры. Одиночный импульс S
1
(t) с дли- тельностью Т
И
(а), периодическая последовательность импульсов с периодом Т
> T
И
(б), периодическое продолжение одиночного импульса T = T
И
(в) и перио- дический сигнал как сумма одиночных импульсов с периодом T < T
И
(г).
-T
И
/2 0 T
И
/2
а)
S
1
(t)
t
ω/ω
1
ω
F(ω)
0
A
-6 -4 -2 0 2 4
6
t
б)
-T 0 T
в) г)
-2T -T 0 T 2T
S(t)
S(t)
S(t)
t
t
-6 -4 -2 0 2 4 6
ω/ω
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
ω/ω
1
A
A
-2T -T 0 T 2T

28 импульсов, сдвинутых относительно друг друга на интервал Т, то его спектр получают равномерной дискретизацией с частотным интерва- лом ω=ω
1
=2 /T непрерывной спектральной функции одиночного импульса и умножением на постоянный размерный коэффициент
ω
1
/ .
Восстановление формы одиночного импульса с помощью ряда
Фурье возможно только тогда, когда период Т больше или равен дли- тельности импульса T
И
. Если T < T
И
восстановить точно одиночный импульс невозможно. Если сигнал с конечной энергией существует на бесконечном интервале времени, вводят числовой параметр - дли- тельность сигнала T
И
, указав соответствующий критерий. Восстанов- ление формы одиночного сигнала будет неточным, но близким, если период T ≥ T
И
.
Дискретный спектр периодической последовательности импульсов определяется однозначно по непрерывному спектру одиночного им- пульса. Обратная операция (получение спектральной функции оди- ночного импульса по известному дискретному спектру) не является однозначной. На практике приближенное значение спектральной функции получают путем линейной интерполяции дискретного спек- тра. Чем меньше интервал дискретизации по частоте
1
(чем больше период Т), тем точнее приближенная огибающая к спектральной функции.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Почему невозможно восстановить форму импульса, если период следования меньше длительности импульса?
7. СПЕКТР ДИСКРЕТНОГО СИГНАЛА
Дискретный сигнал S[k] можно рассматривать как последователь- ность отсчетов аналогового сигнала S(t) в моменты времени t
k
= kΔt, где k-номер отсчета, Δt-постоянный временной интервал. Формирова- ние дискретного сигнала из аналогового называется дискретизацией сигнала. Аппаратурная реализация дискретизации осуществляется, например, в аналого-цифровом преобразователе (АЦП). Ниже по не- обходимости будут использоваться равноценные обозначения

29
S
k
= S[k] = S(kΔt), (7.1) где k-целые числа, которые меняются от -∞ до +∞.
Спектр дискретного сигнала описывается комплексной спектраль- ной функцией, которая выражается через значения сигнала:
k
t
k
j
k
e
S
f
)
(
. (7.2)
Спектральная функция является непрерывной и периодической
)
(
)
(
f
f
с периодом
t
2
. (7.3)
Периодичность спектральной функции следует из периодичности комплексной экспоненты:
t
k
j
t
k
t
k
j
t
k
j
e
e
e
)
(
)
(
, если ΩΔt=2π.
Вследствие периодичности спектральной функции вся информация о спектре содержится на периоде Ω. Если выбрать период на частотном интервале (
,
2 2
), то для вещественного сигнала достаточно знать спектр на положительных частотах, так как спектр на отрицательных частотах связан со спектром на положительных частотах соотноше- ниями (2.6). Если период выбирается на положительных частотах в интервале (0, Ω), то физический спектр по-прежнему соответствует интервалу (0,
2
), а спектр на интервале (
,
2
) представляет спектр на отрицательных частотах.
Дискретный сигнал выражается через спектральную периодиче- скую функцию:
0 2
2
)
(
1
)
(
1
d
e
f
d
e
f
S
t
k
j
t
k
j
k
. (7.4)

30
Не проводя строгого доказательства (7.2) и (7.4), отметим, что они следуют из свойства дуальности интегральных преобразований Фурье
(2.1), (2.2) (смотри в приложении таблицу П1).
Дуальность состоит в том, что замена ω на t, а -t на -ω сохраняет
пару интегральных преобразований Фурье, причем спектральная
функция становится функцией времени, а функция, описывающая
сигнал, становится функцией частоты.
Выше было показано, что периодизация одиночного сигнала во времени приводит к дискретизации спектральной функции с интерва- лом дискретизации по частоте (1.4). Из дуальности интегрального преобразования Фурье следует, что периодизация спектральной функ- ции по частоте с периодом Ω (дуальный параметр Т) должна приво- дить к дискретизации сигнала во времени с интервалом Δt (дуальный параметр
1
):
2
t
. (7.5)
Выражение спектральной функции (7.2) является дуальным ком- плексному ряду Фурье (1.14), в котором дискрет по частоте ω
1
заме- нили дискретом по времени Δt, а непрерывное время t заменили непрерывной частотой -ω. Выражение (7.4) для дискретного сигнала является дуальным выражению для коэффициентов ряда Фурье. Учи- тывается то, что этот коэффициент равен 1/2 комплексной амплитуды
(1.15). Влияние дискретизации одиночного аналогового сигнала во времени на спектр иллюстрируется рисунком 7.1. Дискретизации сиг- нала соответствует формированию периодической спектральной функции как суммы спектральных функций одиночного сигнала, сдвинутых относительно друг друга по оси частот на период Ω
(смотри дуальное выражение (6.5) с учетом (6.4) ):
m
m
F
f
)
(
2
)
(
. (7.6)
Если спектральные функции
),...
(
),
(
),
(
...,
F
F
F
на периоде
2 2
перекрываются, то на этом периоде
)
(
)
(
F
f
. Как

31 следствие, одиночный аналоговый сигнал и аналоговый сигнал, полу- ченный обратным преобразованием Фурье (24) на периоде
2 2
, не совпадают.
Котельников В.А. показал, что аналоговый сигнал восстанавлива- ется точно по своим отсчетам S(kΔt), если спектр
)
(
F
одиночного аналогового сигнала не содержит частот
> в
и интервал отсчета
в
t
. (7.7)
Рис. 7.1. Сигналы и их амплитудные спектры.
Аналоговый импульс с верхней граничной частотой спектра
в
(а), импульс, дискретизированный с интервалом
в
t
(б), импульс, дискретизированный с интервалом
в
t
(в).
а)
S
0
t
t/Δt
-4 -2 0 2 4
S
б)
t/Δt
S
-2 -1 0 1 2
в)
F
0
F
ω
ω
-Ω 0 Ω
F
ω
-2Ω Ω 0 Ω 2Ω
F

32
Если сравнить (7.5) и (7.7), то точное восстановление аналогового сигнала возможно, если период спектральной функции дискретизиро- ванного сигнала Ω ≥ 2
в
Последнее условие согласуется с общим тре- бованием: спектры одиночных импульсов в (7.6) не должны перекрываться.
Выражение (7.7) можно представить через частоту в Герцах
1 2
в
t
f
. (7.8)
Частота дискретизации f
дискр.
=2f
в
известна как частота Найкви-
ста.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. При соблюдении каких условий и почему возможно восстановление формы аналогового сигнала по его дискретным отсчетам?
8. СПЕКТР ДИСКРЕТНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Спектр дискретного периодического сигнала находят с помощью операции, которая известна как дискретное преобразование Фурье
(ДПФ). Запишем выражение ДПФ в виде, которое чаще всего встреча- ется в литературе:
1 0
2
]
[
]
[
N
k
N
nk
j
e
k
x
n
X
, (8.1) где x[k] - дискретный сигнал. Обратное дискретное преобразование
Фурье (ОДПФ) позволяет найти отсчет сигнала на периоде во време- ни:
1 0
2
]
[
1
]
[
N
n
N
nk
j
e
n
X
N
k
x
. (8.2)
Чтобы обосновать эти соотношения, воспользуемся свойствами спек- тров, рассмотренных выше. Формирование периодического сигнала из одиночных сигналов приводит к дискретизации непрерывного спектра с интервалом частот (1.4) (рисунок 2). Если периодический сигнал образуется суммой одиночных дискретных сигналов, сдвину- тых во времени на период Т, то период полагают равным целому чис- лу интервалов отсчета во времени

33
Т = N Δt. (8.3)
Для дискретного периодического сигнала спектр становится не только периодическим с периодом (7.3), но и дискретным по частоте с дис- кретом (1.4). Рисунок 8.1 иллюстрирует преобразование сигнала во времени и его спектр.
Дискрет по частоте (1.4) связан с периодом во времени, а период по частоте связан с дискретом во времени (7.3):
N
t
N
T
2 2
1
. (8.4)
Из (8.3) и (8.4) следует :
1
t
T
N
У дискретного преобразования Фурье число отсчетов на интервале периода во времени и число отсчетов на интервале периода по частоте одинаково.
Если из одиночных дискретных сигналов сформировать периоди- ческий дискретный сигнал аналогично процедуре, представленной на рисунке 6.1, то непрерывный спектр дискретного сигнала (7.2) должен дискретизироваться с учетом (8.4):
k
k
N
n
j
k
e
S
n
f
2 1
)
(
. (8.5)
В дискретном преобразовании Фурье традиционно начальный но- мер отсчета на периоде равен нулю, а конечный равен (N-1). На оди- ночном дискретном сигнале выделим интервалы, равные Т = NΔt.
Если N
И
- число отсчетов на одиночном дискретном сигнале (дискрет- ная длительность сигнала) и N < N
И
, выражение (8.5) представим в виде, аналогичном (6.5)
]
[
]
[
]
[
)
(
1 0
)
(
2 1
1 0
2 1
1 0
)
(
2 1
1
N
k
N
k
N
n
j
N
k
k
N
n
j
N
k
N
k
N
n
j
e
N
k
S
e
k
S
e
N
k
S
n
f

34
Комплексная экспонента по переменной k является периодической с периодом N. Тогда
1 0
2 1
1 1
1
]
[
]
[
]
[
)
(
N
k
k
N
n
j
e
N
k
S
k
S
N
k
S
n
f
. (8.6)
Обозначим
m
mN
k
S
k
x
]
[
]
[
1
. (8.7)
Если число отсчетов одиночного дискретного сигнала N
И
< N, то от- сутствуют “хвосты” одиночного сигнала от соседних периодов и m=0.
Если N
И
> N, одиночные сигналы перекрываются, тогда m ≠ 0. Отме- тим, что правая часть (8.6) не зависит явно от
1
. Введем обозначение
)
(
]
[
1
n
f
n
X
. (8.8)
В результате выражение (8.6) принимает вид дискретного преобразо- вания Фурье (8.1). Переменная n>0, поэтому частоты на периоде только положительные.
Рис. 8.1 Сигналы и их спектры.
Одиночный импульс (а), дискретизированный, периодически - про- долженный импульс (б)
x
б)
k
0
5
10
-5
S(t)
Т
И
0
t
а)
n
0
5
10
-5
Х
0
F
ω

35
Чтобы получить обратное дискретное преобразование Фурье, надо обратиться к комплексному ряду Фурье (1.14) и выполнить дискрети- зацию по времени с учетом (8.4):
n
N
nk
j
n
e
A
t
k
S
2 2
1
)
(
. (8.9)
Спектр аналогового периодического во времени сигнала представляет результат дискретизации непрерывного спектра одиночного сигнала
(рисунок 6.1) и учитывается (6.4) связь дискретной составляющей спектра со спектральной функцией. Это свойство должно выполнять- ся и для дискретного периодического сигнала:
n
t
k
jn
e
n
F
t
k
S
1
)
(
2 1
)
(
1 1
. (8.10)
Но для дискретного сигнала спектр должен быть периодическим (7.6) с периодом (7.3). Для дискретного периодического сигнала, как следу- ет из (8.4), этот период равен Ω = N
1
. Выражение (8.10) представим в виде суммы слагаемых на частотных периодах:
1 0
)
(
2 1
1 1
1 0
1
)
(
2 1
1 0
1
]
)
[(
2
)
(
2
]
)
[(
2
)
(
N
n
N
k
N
n
j
N
n
N
k
N
n
j
N
n
e
N
n
F
n
F
e
N
n
F
t
k
S
Комплексная экспонента по переменной n является периодической с периодом N. Тогда выражение для S(kΔt) примет вид
N
nk
j
N
n
m
e
mN
n
F
N
N
t
k
S
2 1
0 1
1
]
)
[(
2 1
)
(
Выражение справа не зависит от Δt в явном виде. Выражение в фи- гурных скобках представляет дискретизированную спектральную функцию (7.6) с периодом Ω = N
1
, для которой введено обозначе- ние (8.8). Частоты спектральных составляющих на периоде Ω только

36 положительные и включают нулевую частоту. Окончательный резуль- тат представлен обратным преобразованием Фурье (8.2) [3, 4].
ВЫВОДЫ
В формулах для ДПФ и ОДПФ отсутствуют размерные интерва- лы отсчета Δt и
1
. Аргументами функций являются целые по- ложительные числа - номера отсчетов. Это послужило причиной широкого использования ДПФ для цифровой обработки сигна- лов с помощью компьютеров. Были разработаны программы, существенно уменьшившие время обработки и известные как быстрое преобразование Фурье (БПФ).
Спектр и сигнал имеют одинаковую размерность.
Спектр является дискретным, периодическим. Рабочий период начинается с частоты, равной 0. Остальные частоты на периоде положительные. Для вещественного дискретного сигнала ре- зультат ДПФ является комплексной дискретной функцией. Ком- плексный спектр предполагает использование отрицательных частот (отрицательных номеров отсчета). Отрицательным часто- там соответствуют положительные частоты на втором полупе- риоде спектра.
В заключение надо отметить, что современный спектральный ана- лиз в радиочастотном диапазоне представляет цифровую обработку сигнала, основанную на ДПФ и последующем выводе результатов в виде, удобном для потребителя. Знание особенностей и ограничений
ДПФ позволит избежать ошибок при осмыслении наблюдаемых ре- зультатов.
ЛИТЕРАТУРА
Основная литература:
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: учебник. -М.:
Высш. шк., 2005.-462 с.
2. Баскаков С.И. Радиотехнические сигналы, цепи, устройства и сис- темы.
[Электронный ресурс].
Режим доступа: http://electrolib.com/baskakov

37 3.
Харкевич А.А.
Основы радиотехники
. - 3-е изд. стер. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 512 с.
4. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие. —
3-е изд. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 768 с. — (Учебная лите- ратура для вузов). - ISBN 978-5-9775-0606-9. ЭБС «Знаниум».
5. Подлесный, С. А. Устройства приема и обработки сигналов [Элек- тронный ресурс] : Учеб. пособие / С. А. Подлесный, Ф. В. Зандер. -
Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2011. - 352 с. - ISBN 978-5-7638-
2263-2. ЭБС «Знаниум».
6. Поляков, В. Т. Техника радиоприема: простые приемники АМ сиг- налов [Электронный ресурс] / В. Т. Поляков. - М.: ДМК Пресс,
2008. - 256 с.: ил. - (В помощь радиолюбителю). - ISBN 5-94074-
056-1. ЭБС «Знаниум».
7. Молчанов, А. П. Курс электротехники и радиотехники: учеб. посо- бие / А. П. Молчанов, П. Н. Занадворов. —4-е изд., стереотипн. —
СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 608 с.: ил. — (Учебная литература для вузов). - ISBN 978-5-9775-0544-4. ЭБС «Знаниум».
Дополнительная литература:
1. Бойко Б.П. Основы радиоэлектроники. Часть 1. Сигналы. Учебное пособие. - Казань, 2001.
2. Гоноровский И.С., Демин М.П. Радиотехнические цепи и сигна- лы.-М.: Радио и связь, 1994.-480 с.

38
ПРИЛОЖЕНИЕ
В таблице П.1 приведены свойства непрерывного спектра, доказа- тельство которых проводится в курсе математического анализа. Спи- сок свойств не является полным. Приведены свойства, которые лежат в основе обработки сигналов. Важно подчеркнуть, что перечисленные свойства сохраняют свою сущность для всех типов сигналов, хотя и требуют уточнения формулировок для конкретных их типов.
Таблица П.1. Свойства спектра.
Название свойства
d
e
F
t
S
t
j
)
(
2 1
)
(
dt
e
t
S
F
t
j
)
(
)
(
Аддитивность
S
1
(t)+S
2
(t)
)
(
)
(
2 1
F
F
Однородность
)
(t
S
)
(
F
Дуальность
)
(t
F
)
(
2 S
Подобие
)
( t
S
)
(
1
F
Запаздывание
(сдвиг во времени)
)
(
0
t
t
S
)
(
0
F
e
t
j
Смещение (сдвиг по частоте)
t
j
e
t
S
0
)
(
)
(
0
F
Дифференцирование сиг- нала
dt
dS
)
(
F
j
Интегрирование сигнала
t
d
S )
(
)
(
1
)
(
)
0
(
F
j
F
Свертка сигналов
d
t
S
S
)
(
)
(
2 1
)
(
)
(
2 1
F
F
Произведение сигналов
)
(
)
(
2 1
t
S
t
S
d
F
F
)
(
)
(
2 1
2 1

1 2 3