Спектры. Протокол 9 от 30 октября 2014 г заседания кафедры радиофизики протокол 1 от 09 сентября 2014 г

• Название: Протокол 9 от 30 октября 2014 г заседания кафедры радиофизики протокол 1 от 09 сентября 2014 г
• Анкор: Спектры
• Дата: 28.11.2022
• Размер: 0.78 Mb.
• Имя файла: SPEKTRY_02.01.15.pdf
• Тип: Протокол; #816898
• страница: 2 из 3

2.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НА ОСНОВЕ
ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Ряд Фурье лежит в основе спектрального анализа периодического сигнала. Теоретически периодический сигнал существует на всей оси времени и его энергия бесконечна. А если сигнал существует на ко- нечном интервале времени, или, обобщая, имеет конечную энергию, можно ли для него ввести понятие спектра? Оказывается, можно, и в математическом анализе соответствующие соотношения известны как интегральные преобразования Фурье [1 – 3, 8, 9]:
d
e
F
t
S
t
j
)
(
2 1
)
(
, (2.1)
dt
e
t
S
F
t
j
)
(
)
(
. (2.2)
Интегральная операция (2.2) известна как прямое преобразование
Фурье. Комплексная функция частоты
)
(
F
называется спектраль-
ной функцией. Интегральная операция (2.1) известна как обратное
преобразование Фурье. Вещественный сигнал представляет сумму комплексных колебаний всех частот. Множество частот является не- прерывным, поэтому спектр непрерывный.
Не претендуя на строгость доказательства для любых сигналов с конечной энергией, получим соотношения (2.1), (2.2), полагая, что ко- нечная энергия обусловлена конечной длительностью сигнала. Оди- ночный сигнал можно трактовать как периодический, но с бесконечным периодом. Чтобы получить результат, надо в комплекс- ном ряде Фурье совершить предельный переход при стремлении пе- риода Т к бесконечности. Пусть текущему значению частоты ω соответствует n-ая гармоника ω
n
. Тогда приращение частоты dω=
ω
n
-ω
n-1
= ω
1
и, вследствие (1.4), будет бесконечно малой величиной при бесконечно большом периоде. Комплексная амплитуда (1.15) ста- новится бесконечно малой:

16 2
2
)
(
1
T
T
t
j
dt
e
t
S
d
A
d
. (2.3)
Комплексный ряд Фурье представляет сумму бесконечно малых вели- чин и в пределе является интегралом (2.1) по определению. Функция
)
(
F
в прямом преобразовании Фурье (2.2) - предельное значение интеграла в выражении (2.3) при стремлении периода Т к бесконечно-
сти. Она описывает спектр, поэтому ее называют спектральной функ- цией.
Представим комплексную спектральную функцию в полярной форме:
)
(
)
(
)
(
j
e
F
F
. (2.4)
)
(
)
(
F
F
- модуль спектральной функции называется амплитуд-
ным спектром. Ф(ω) - аргумент спектральной функции - фазовым
спектром. Вычислительные процедуры представлены соотношениями
(1.12), (1.13).
Для непрерывного спектра амплитудный спектр требует уточне- ния. Комплексная амплитуда в выражении (2.1) на конкретной частоте
)
(
)
(
)
(
2 1
)
(
2 1
j
j
e
dA
e
d
F
d
F
A
d
Амплитуда на конкретной частоте является бесконечно малой
d
F
dA
)
(
2 1
. (2.5)
Главное для амплитудного спектра - это зависимость амплитуды от частоты, что полностью описывается функцией F(ω). Из (2.5) видно, функция F(ω) имеет смысл амплитудной спектральной плотности.
АргументФ(ω) имеет смысл начальной фазы гармонического колеба- ния с частотой ω, поэтому фазовый спектр особенностей не имеет и сохраняет свой обычный смысл.
Из (2.2) следует:
)
(
)
(
*
F
F
. Применив эту операцию к
(2.4) получаем

17
F(-ω) = F(ω), Ф(-ω) = -Ф(ω). (2.6)
Отсюда следует, что амплитудный спектр является четной функцией частоты, а фазовый спектр - нечетной функцией частоты. Пример спектрального анализа сигнала приведен в таблице 2.1.
Используя (2.4), интеграл Фурье (2.1) можно записать только для положительных частот:
0
)]
(
[
)
(
2 1
)
(
d
e
F
t
S
t
j
+
0
)]
(
[
)
(
2 1
d
e
F
t
j
=
0
)
(
[
)]
(
[
}
)
(
)
(
{
2 1
d
e
F
e
F
t
j
t
j
Таблица 2.1 Одиночный симметричный импульс и его непрерывный спектр.
Сигнал
0 0
,
2
( )
,
2 2
0 2
И
И
И
И
T
t
T
T
S t
U
t
T
t
Спектр
2 2
sin
)
(
0
И
И
И
T
T
T
U
F
S(t)
U
0
2
И
T
t
0
2
И
T
F
ω
0 2
И
T
4
И
T
4
И
T
2
И
T
ω
-π
Ф
π
0

18
Учитывая (2.6) и используя формулу Эйлера (1.11), получим спек- тральное разложение в виде интеграла (В.4)
S t
F
t d
( )
( ) cos
( )
1 0
Парадокс этого разложения состоит в том, что для точного значе- ния частоты, когда dω=0, амплитуда
d
F
dA
)
(
1
также равна ну- лю. Однако представление амплитуды в виде дифференциала оправдано тем, что на практике нет прибора с нулевой ошибкой изме- рения частоты. Следовательно, аппаратурное измерение амплитуды будет происходить в некотором интервале частот, а измеренная ам- плитуда на конкретной частоте будет отлична от нуля [1, 2, 3].
ВЫВОДЫ.
У сигнала с конечной энергией спектр существует.
Множество частот в спектре является непрерывным и может со- держать все частоты от нулевой до бесконечной.
Амплитудный спектр описывается амплитудной спектральной плотностью.
Для теоретического спектра используются и положительные, и отрицательные частоты, но вся информация о спектре содержит- ся на положительных частотах, которые имеют физический смысл.
Спектральный анализ известного во времени сигнала состоит в отыскании при помощи прямого преобразования Фурье ком- плексной спектральной функции, модуль и аргумент которой, дадут амплитудный и фазовый спектры.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Что называется спектральной функцией?
2. Каков физический смысл спектральной плотности?
3. Какой спектр содержит информацию об энергии сигнала?

19
3. СПЕКТР ОТКЛИКА ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ
Как уже говорилось, для сигнала существуют две математические модели: функция времени и функция частоты (спектр). Модели взаи- мосвязаны преобразованиями Фурье. Выбор модели определяется решаемой задачей.
Если требуется найти отклик линейной стационарной цепи, на входе которой действует известный сигнал, то преимущество имеет частотный подход, когда сигналы задаются своими спектрами, а ли- нейная цепь полностью определяется комплексным коэффициентом передачи
)
(
K
. Спектр выходного сигнала (отклика) связан со спек- тром входного (воздействующего) сигнала линейной алгебраической зависимостью: для дискретного спектра
n
n
A
n
K
A
1 1
2
)
(
; (3.1) для непрерывного спектра
)
(
)
(
)
(
1 2
F
K
F
. (3.2)
Комплексный коэффициент передачи линейной цепи:
1 2
)
(
A
A
K
. (3.3)
A
- комплексная амплитуда на частоте ω (индекс ω обычно опускает- ся). Индекс 1 традиционно относится к входному сигналу, индекс 2 - к выходному. Комплексный коэффициент передачи в полярной форме:
)
(
)
(
)
(
K
j
e
K
K
. (3.4)
K(ω)-модуль комплексного коэффициента передачи. Он равен отно- шению выходной амплитуды гармонического сигнала к входной и на- зывается амплитудным коэффициентом передачи. Зависимость амплитудного коэффициента передачи от частоты называется ампли- тудно-частотной характеристикой (АЧХ) цепи. Ф
K
(ω) - аргумент ком- плексного коэффициента передачи представляет сдвиг фаз, вносимый цепью. Зависимость сдвига фаз от частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) цепи. Если известна принципиальная схема цепи, частотные характеристики можно рассчитать, например, мето- дом комплексных амплитуд. Частотные характеристики можно изме- рить экспериментально.

20
Возвращаясь к (3.1), (3.2), видим, что поиск спектра выходного сигнала сводится к перемножению двух комплексных функций. Как следствие, амплитудный спектр выходного сигнала есть результат пе- ремножения амплитудного спектра входного сигнала и АЧХ линейной цепи
A
2n
= K(nω
1
) A
1n
; (3.5)
F
2
(ω)= K(ω) F
1
(ω); (3.6) а фазовый спектр выходного сигнала представляет сумму фазового спектра входного сигнала и ФЧХ линейной цепи
Ф
2n
=Ф
K
(nω
1
) + Ф
1n
; (3.7)
Ф
2
(ω)=Ф
K
(ω)+Ф
1
(ω). (3.8)
Если появляется необходимость изменить спектр сигнала, соот- ношения (3.1), (3.2) показывают, какую линейную цепь с требуемыми частотными характеристиками надо синтезировать. В частности, это осуществляется при построении частотных фильтров [1 - 3, 6 - 9].
Простота и фундаментальность алгебраических соотношений (3.5)
- (3.8) привела к тому, что многие радиоспециалисты предпочитают анализировать обработку сигналов частотными методами, а не вре- менными, когда приходится иметь дело с дифференциальными урав- нениями или с интегралом Дюамеля [2]. Поэтому соотношения (3.5) и
(3.6) часто называют «Основным соотношением линейной радиотех- ники».
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Каково практическое значение связи входного и выходного спек- тров линейной цепи?
2. Какие яркие примеры практического применения «Основного соотношения линейной радиотехники» можно привести?
4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
Из теории рядов Фурье известно равенство Парсеваля для триго- нометрического ряда Фурье

21 1
2 2
2 0
2 2
2
)
(
2
)
(
2
n
n
n
T
T
b
a
a
dt
t
S
T
, (4.1)
для комплексного ряда Фурье
n
n
n
T
T
A
A
dt
t
S
T
*
2 2
2 2
1
)
(
2
. (4.2)
Если сигнал представлен в форме спектрального разложения (1.8), ра- венство Парсеваля принимает вид:
1 2
2 0
2 2
2 2
1 4
)
(
1
n
n
T
T
A
A
dt
t
S
T
(4.3)
Левая часть равенства Парсеваля представляет среднюю за период мощность периодического сигнала. В правой части равенства средняя за период мощность выражается через амплитудный спектр. Легко проверить, что средняя за период мощность гармонического сигнала:
=
2 2
2 2
2 2
1
)
(
cos
1
A
dt
t
A
T
T
T
Из равенства Парсеваля следует, что средняя за период мощность сигнала равна мощности постоянной составляющей плюс сумма средних мощностей гармоник
=
1 0
n
n
P
P
. (4.4)
Для сигнала с непрерывным спектром аналогом равенства Парсеваля является равенство Рэлея:

22
d
F
F
dt
t
S
)
(
)
(
2 1
)
(
*
2
. (4.5)
Энергия сигнала (В.1) определяется амплитудным спектром. С учетом четности амплитудного спектра равенство Рэлея принимает вид:
0 2
2
)
(
1
)
(
d
F
dt
t
S
. (4.6)
Энергию вещественного сигнала можно найти, если известен либо сигнал во времени, либо его физический амплитудный спектр [1 -3].
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Какой фундаментальный вывод следует из равенства Парсеваля для сигнала с дискретным спектром?
2. Какой фундаментальный вывод следует из равенства Рэлея для сигнала с непрерывным спектром?
5. ШИРИНА СПЕКТРА СИГНАЛА
Ширина спектра является одним из важнейших числовых пара- метров сигнала. Физически реализуемый сигнал всегда имеет конеч- ную протяженность во времени. Его спектр теоретически занимает частоты от нуля до бесконечности. Однако практика показывает, а теория обосновывает, что для удовлетворительного описания сигнала достаточно учесть спектр в конечном интервале частот f
н
< f < f
в
.
Поэтому шириной спектра сигнала называется интервал частот f
= f
в
– f
н
, в котором содержится наибольшая часть энергии (мощно-
сти) сигнала.
Частоты f
н
- нижняя и f
в
- верхняя граничные частоты интервала соот- ветственно.
Для оценки ширины спектра используется амплитудный спектр, так как он определяет энергию (4.6) и среднюю мощность (4.3) сигна- ла, однако до сих пор нет единого критерия для этой оценки. Но для любого критерия, используемого на практике, доля энергии (мощно- сти) сигнала, которая содержится в f, составляет не менее 90% от

23 всей энергии (мощности) сигнала. Приведем три наиболее распро- страненных критерия для оценки ширины спектра. Для получения ко- личественных соотношений используется амплитудный непрерывный спектр.
Первый критерий, который часто называют энергетическим, оп- ределяет граничные частоты из уравнения:
2 1
( )
в
н
F
d
E
, (5.1) где
2 1
( )
в
н
E
F
d
- энергия сигнала (4.6), - заданная константа в интервале
1 9
0
. Если
0
н
, то должно выполняться условие
(
)
(
)
н
в
F
F
. (5.2)
Уравнение (5.2) имеет ясный смысл: в интервале частот от н
до в
содержится заданная доля всей энергии сигнала. Если величина не оговаривается, то считается = 0,9. Ширина спектра в этом слу- чае называется активной.
Второй критерий можно назвать критерием заданного уровня. На частотах вне ширины спектра <
н
и
в
< спектральные состав- ляющие не должны превышать заданный граничный уровень:
( )
гр
F
F
.
(5.3)
Спектральные составляющие, превышающие граничный уровень
F( )
>F
гр
, могут присутствовать только в диапазоне частот, соответ- ствующем ширине спектра. Если уровень F
гр
не оговаривается, то обычно задается как F
гр
= 0,1 F
max
, где F
max
- абсолютный максимум амплитудного спектра
F( )
. Если неравенство (5.4) превратить в равенство
F( )
= F
гр
, (5.4) то получим алгебраическое уравнение относительно частот. Мини- мальный корень
F
равен нижней граничной частоте спектра
н
, мак- симальный корень
F
равен верхней граничной частоте
в
. Решение

24 уравнения (5.4) чаще всего осуществляется графическим методом, применение которого показано на рисунке 5.1.
На графике амплитудного спектра проводят отрезок прямой
F
= F
гр.
Точкам пересечения графика спек- тра и прямой соответствуют часто- ты, которые являются корнями уравнения (5.4). Определяются гра- ничные значения
в
и
н
и ш ирина спектра сигнала Δω.
Третий критерий применяется, когда амплитудная спектральная плотность обращается в нуль на некоторых частотах. Граничные час- тоты выбираются из положительных частот, на которых наблюдаются
нули амплитудной спектральной плотности. Ярким примером при- менения этого критерия может служить определение ширины спектра прямоугольного импульса (таблица 2.1). Нижняя граничная частота
н
= 0, а верхняя граничная частота выбирается как частота первого нуля амплитудной спектральной плотности:
в
2
И
T
. Ширина спектра для прямоугольного импульса: f
T
и
1
. (5.5)
По соотношению (5.5) можно оценить долю энергии прямоугольного импульса, которая содержится в первом лепестке амплитудного спек- тра. Численный расчет дает
1
= 0,902. Легко видеть, что первый нуль спектральной плотности определяет активную ширину спектра пря- моугольного импульса.
Интересно отметить, что ширина спектра по уровню 0.1F
max
при- близительно равна частоте третьего нуля спектральной плотности: f
T
и
3
. Численный расчет дает доли энергии прямоугольного им-
Рис. 5.1. Оценка ширины спектра по уровню 0.1F
max
ω
в
1
F/F
max
ω
0,1
0

25 пульса в ширине спектра по уровню
0.1
= 0.964, а по третьему нулю
3
= 0.967.
Соотношение (5.5) часто используется для оценки ширины спек- тра импульса малой длительности Т
И
, несмотря на то, что его форма может отличаться от прямоугольной [1, 3].
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Что будет происходить с формой прямоугольного импульса, если его спектр последовательно ограничивать частотой третьего ну- ля, частотой второго нуля и, наконец, частотой первого нуля?