Спектры. Протокол 9 от 30 октября 2014 г заседания кафедры радиофизики протокол 1 от 09 сентября 2014 г
 Скачать 0.78 Mb.
|
|
1 КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ СПЕКТР СИГНАЛА КАЗАНЬ 2014 2 УДК 621.391 Печатается по решению Редакционно-издательского совета ФГАОУВПО Казанский (Приволжский) Федеральный университет и учебно-методической комиссии Института физики протокол № 9 от 30 октября 2014 г. заседания кафедры радиофизики протокол № 1 от 09 сентября 2014 г. Авторы-составители Кандидат физ. мат. наук, доцент Б.П. Бойко, Кандидат физ. мат. наук, доцент В.А. Тюрин Рецензент Кандидат физ. мат. наук, доцент Ю.А.Гусев Бойко Б.П., Тюрин В.А. Спектр сигнала: учебно-методическое пособие / Б.П. Бойко, В.А. Тюрин.- Казань: Казанский федеральный университет, 2014.-38 с. Учебно-методическое пособие «Спектр сигнала» предназначено для самостоятельной подготовки студентов отделения «Радиофизика и информационные системы» Института физики по соответствующим разделам теоретического курса «Радиоэлектроника». Пособие будет полезно при работе в лабораториях кафедры радиофизики «Практи- кум по радиофизике и электронике» при выполнении лабораторной работы «Амплитудные спектры сигналов». А также в лаборатории «Статистической радиофизики и цифровой обработки сигналов» при выполнении лабораторной работы «Теорема Котельникова». В посо- бии приводятся базовые положения спектрального анализа как анало- говых, так и дискретных сигналов. Обсуждается взаимосвязь спектров различных классов сигналов. Отмечается преимущество спектрального анализа перед временным анализом при синтезе ли- нейных цепей с заданными частотными свойствами. 3 СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………….……………………….……4 1. Спектр периодического сигнала……...................................................7 1.1. Спектральный анализ на основе тригонометрического ряда Фу- рье………………………………............................................................7 1.2. Спектральный анализ на основе комплексного ряда Фу- рье...…….………………………..……..………………………….....10 2. Спектральный анализ на основе интегрального преобразования Фурье………………………………….……………………………...14 3. Спектр отклика линейной цепи…………………………………….18 4. Энергетические соотношения…………………………………...…19 5. Ширина спектра сигнала……………….………………………...…21 6. Связь непрерывного и дискретного спектров…………………......24 7. Спектр дискретного сигнала………..…………………………...….27 8. Спектр дискретного периодического сигнала…………………….31 Приложение. Свойства спектра...………..…………………………......35 Литература ………………………………..…………………………......36 4 ВВЕДЕНИЕ Сигнал - это материальный носитель информации. В радиоэлек- тронике сигнал физически представлен электромагнитными величи- нами, например, такими как напряжение U, ток I, напряженность электрического поля E , напряженность магнитного поля H и други- ми. Для сигнала характерно изменение физической величины, пред- ставляющей его, со временем. Поэтому естественная математическая модель сигнала - это функция времени S(t). Размерность S(t) опреде- ляется размерностью соответствующей физической величины [1]. В радиоэлектронике широко используется другая математическая модель F(ω) – функция частоты, известная как спектр сигнала. Спектр и функция времени описывают один и тот же сигнал, следова- тельно, они взаимосвязаны. Полагая функцию времени S(t) известной, рассмотрим, что означает понятие спектр. Спектр сигнала существует, если сигнал S(t) можно представить в виде суммы гармонических колебаний. Представление S(t) в виде суммы гармонических колебаний называют спектральным разложе- нием Фурье. Гармонические колебания представляют собой ортого- нальный базис. Ортогональность базиса - это условие единственности разложения [2]. Гармонический базис не единственный ортогональ- ный базис. Известны ортогональные базисы, образованные функция- ми Уолша, функциями Котельникова и т.д. Далее будем рассматривать спектральное разложение только по гармоническому базису, поэтому определение «Фурье» упоминать не будем. Гармоническое колебание, как функция времени, имеет вид: S(t) = Acos(2 ft+Ф). (В.1) Аргумент функции (2 ft+Ф)= ,(рад) называется текущей фазой. Ко- лебание полностью определено, если известны три параметра: часто- та f, амплитуда А, начальная фаза Ф. Частота f является физическим параметром, размерность которого Герц [Гц]. Все измерительные приборы, предназначенные для частотных измерений, градуируются в Герцах. Амплитуда А может быть любой, но обязательно положитель- ной величиной. Начальная фаза может быть любой в интервале –π < Ф < π. При записи аналитических выражений, обычно, использу- 5 ется круговая частота ω, которая связана с частотой f линейной зави- симостью Ω = 2πf, (рад/сек). (В.2) Круговая частота имеет смысл скорости изменения текущей фазы , поскольку является ее производной. Далее определение “круговая” может отсутствовать, но точный смысл и размерность термина “час- тота” всегда будут понятны из контекста изложения. В теории сигналов под энергией сигнала понимается величина dt t S E ) ( 2 . (В.3) В свою очередь, средняя мощность в общем виде определяется как 2 2 2 ) ( 1 lim T T T dt t S T P (В.4) Если энергия сигнала Е является бесконечной, а средняя мощность – конечная величина, то спектральное разложение сигнала S(t) имеет вид ряда 0 ) cos( ) ( n n n n t A t S . (В.5) Если энергия сигнала Е - конечная величина, спектральное разложе- ние имеет интегральное представление S t F t d ( ) ( ) cos ( ) 1 0 . (В.6) В разложении (В.5) частота принимает дискретные значения ω n . Множество амплитуд А n и множество начальных фаз Ф n гармониче- ских колебаний представляют дискретный спектр сигнала S(t). В разложении (В.6) роль амплитуды играет дифференциал dA F d 1 ( ) . (В.7) 6 Сигнал S(t), в данном случае, формируется суммой гармонических колебаний всех частот. Амплитуда (В.7) на фиксированной частоте бесконечно мала и её значение не определено, поскольку бесконечно малый интервал частот d не имеет конкретного значения. Однако сигнал (В.6) полностью определен, если известны амплитудная спектральная плотность F( ) и начальная фаза ( ) как функции частоты. Функции F( ) и ( ) представляют непрерывный спектр сигнала S(t). Подчеркивая общее свойство выражений (В.5) и (В.6), можно дать следующее определение: спектром сигнала S(t) называется множество амплитуд и началь- ных фаз гармонических колебаний кратных частот, сумма которых равна сигналу S(t). Если множество частот гармонических колебаний дискретное, то спектр дискретный, если множество частот непрерывное, то и спектр непрерывный. Детализируя спектр, различают амплитудный и фазо- вый спектры. Амплитудный спектр - это множество амплитуд гармонических колебаний кратных частот. У непрерывного спектра характери- стикой амплитудного спектра является амплитудная спектраль- ная плотность F( ), поскольку она определяет зависимость бесконечно малой амплитуды от частоты при фиксированном значении бесконечно малого интервала частот d . Фазовый спектр - это множество начальных фаз гармонических колебаний кратных частот. У непрерывного спектра характери- стикой фазового спектра является начальная фаза ( ). Если спектр известен, то сигнал как функцию времени всегда можно получить с помощью выражений (В.5), (В.6). На практике, обычно, возникает задача определения спектра сиг- нала, поскольку сам сигнал как функция времени известен. Эта задача известна как спектральный анализ. Аналоговый аппаратурный спек- тральный анализ основан на узкополосной фильтрации. Теоретиче- ский анализ спектра базируется на соответствующих разделах математического анализа. В настоящее время, благодаря достижениям 7 в компьютерных технологиях, практический спектральный анализ сигнала представляет численный расчет спектра за очень короткое время. Если время наблюдения сигнала S(t) много больше времени вычисления спектра, то говорят, о спектральном анализе в реальном масштабе времени [1]. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ: 1. Почему энергия периодического сигнала бесконечна? 2. Почему энергия одиночного сигнала конечна? 3. Что является гарантией единственности спектрального разло- жения? 1. СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА Сигнал S(t) является периодическим, если существует интервал времени Т, когда при любом t выполняется равенство S(t) = S(t+T) (1.1) Минимальное, положительное значение Т называется периодом сиг- нала S(t) и является параметром периодического сигнала. Условие пе- риодичности в общем виде: S(t) = S(t + nT), где n - любое целое число. Выражение (В.1) в виде S(t) = Acos(ωt + Ф) - наиболее употреби- тельная форма записи гармонического во времени сигнала. Менее употребительная форма использует функцию синуса. Сигнал является периодическим с периодом Т вследствие периодичности тригономет- рических функций cosθ, sinθ, период которых равен 2π. Чтобы выпол- нялось требование (1.1), круговая частота и период должны быть связаны соотношением [1]: ωТ=2π. (1.2) 1.1 Спектральный анализ на основе тригонометрического ряда Фурье Из математического анализа известно, что периодический сигнал можно представить в виде тригонометрического ряда Фурье: 8 S t a a n t b n t n n n ( ) ( cos sin ) 0 1 1 1 2 . (1.3) Параметр 1 (основная частота) выражается через известный период Т сигнала (1.2): ω 1 =2π/T. (1.4) Коэффициенты Фурье a n , b n могут быть найдены с использованием свойства ортогональности гармонического базиса T n dt t n t S T a 1 cos ) ( 2 , T n dt n t S T b 1 sin ) ( 2 . Интервал интегрирования по времени равен периоду Т. Начальное значение интервала выбирается произвольно. Однако, чтобы исклю- чить неопределенность, в радиоэлектронике используется интервал 2 2 T t T . Отсюда общепринятые выражения для коэффициентов Фурье: 2 2 1 cos ) ( 2 T T n dt t n t S T a , 2 2 1 sin ) ( 2 T T n dt t n t S T b . (1.5) В тригонометрическом ряде Фурье (1.3), традиционно используемом в математике, гармоническое колебание с частотой nω 1 представлено суммой квадратурных составляющих с коэффициентами a n , b n . Для того, чтобы коэффициенты при квадратурных составляющих выра- зить через амплитуду и начальную фазу A = AcosФ, b = - AsinФ, (1.6) необходимо воспользоваться тригонометрическим равенством: t b t a t t A t A sin cos ) sin sin cos (cos ) cos( Из (1.6) можно получить выражения для амплитуды и фазы через ко- эффициенты при квадратурных составляющих: 2 2 n n n b a A , n n n a b arctg . (1.7) 9 Выражения (1.7) позволяют найти амплитудный и фазовый спек- тры через коэффициенты Фурье Теперь ряд Фурье можно записать в форме спектрального разложения (В.5) S t A A n t n n n ( ) cos( ) 0 1 1 2 (1.8) по гармоническим колебаниям кратных частот ω n = nω 1 , (1.9) где n = 0, 1, 2,... Ненулевые частоты кратны основной частоте ω 1 Гармоническое колебание на частоте nω 1 называют n-ой гармоникой. Частота первой гармоники равна основной частоте, поэтому обозна- чение основной частоты (1.4) имеет индекс 1. Частоте ω 0 = 0 соответ- ствует постоянная составляющая сигнала, которая находится интегрированием (1.3) или (1.8) на интервале периода и представляет среднее за период значение сигнала [2, 3] 2 2 0 0 ) ( 1 2 2 T T dt t S T a A . (1.10) В таблице 1.1, в качестве примера, представлены результаты спек- трального анализа периодической последовательности прямоуголь- ных импульсов. Графики амплитудного и фазового спектров по существу являются графиками дискретных функций и в теории спек- тров называются спектральными диаграммами. Таблица 1.1.Спектральный анализ последовательности прямоуголь- ных импульсов. Сигнал 0 0 0, 2 ( ) 0 , 0 2 И И T t S t U t T T T t S t T T И 0 -T 10 ВЫВОДЫ У периодического сигнала спектр существует и является дис- кретным. Частоты спектральных составляющих кратны основной частоте периодического сигнала. Спектр периодического сигнала можно найти, используя выра- жения для коэффициентов тригонометрического ряда Фурье. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ: 1. Какой физический смысл имеет нулевая гармоника? 2. Какой математический смысл имеет нулевая гармоника? 3. Что называют спектральной диаграммой? 1.2. Спектральный анализ на основе комплексного ряда Фурье Формула Эйлера связывает действительные тригонометрические функции и комплексную экспоненту: Коэффициенты Фурье 1 1 0 0 1 1 sin 1 cos 2 ; 2 И И n n n T n T a U b U n T n T Амплитудный спектр 2 2 sin 2 1 1 0 И И И n T n T n T T U A Фазовый спектр ) 2 ( 1 И n T n tg arctg Спектральная диаграмма фазового спектра 2 0 A A ω/ω 1 Спектральная диаграмма амплитудного спектра 0 2 4 6 8 10 12 ω/ω 1 0 2 4 6 8 10 12 -π Ф 11 sin cos j e j , (1.11) где 1 j - мнимая единица. В качестве обобщенной модели гар- монического колебания с частотой ω, амплитудой А, начальной фазой Ф широко используется комплексное колебание: ) sin( ) cos( ) ( t jA t A e A t S t j , (1.12) где j Ae A - комплексная амплитуда. Амплитуда гармонического колебания равна модулю комплексной амплитуды: 2 2 * ]} {Im[ ]} {Re[ A A A A A A . (1.13) Начальная фаза равна аргументу комплексной амплитуды: ] Re[ ] Im[ A A arctg . (1.14) Разложение, известное как комплексный ряд Фурье, имеет вид: n t jn n e A t S 1 2 1 ) ( . (1.15) Ряд представляет сумму комплексных колебаний. Комплексные ам- плитуды гармоник играют роль коэффициентов ряда. Если известен сигнал во времени, комплексная амплитуда гармоники выражается как 2 2 1 ) ( 2 T T t jn n dt e t S T A . (1.16) Комплексный ряд Фурье можно получить, преобразуя тригоно- метрический ряд Фурье в форме спектрального разложения (1.8) с учетом (1.12). Косинусоидальное колебание является вещественной частью комплексного колебания (1.11). Вещественную часть можно выделить, используя операцию комплексного сопряжения ) ( 2 1 ) ( 2 1 )] ( Re[ ) cos( * t S t S t S t A 12 Значок “*” означает операцию комплексного сопряжения, которая со- стоит в смене знака перед мнимой единицей. Выразим n-ю гармонику в ряде Фурье через комплексное колебание: t jn n t jn n n n e A e A t n A 1 1 * 1 2 1 2 1 ) cos( . (1.17) Чтобы найти связь комплексной амплитуды гармоники и коэффи- циентов тригонометрического ряда Фурье, надо представить ком- плексную амплитуду в виде суммы вещественной и мнимой частей, используя формулу Эйлера (1.11). n n n n j n n jA A e A A n sin cos Если обратиться к выражениям (1.7) , то получим: n n n jb a A . (1.18) Подставляя выражения коэффициентов тригонометрического ряда Фурье (1.5), после простых преобразований получаем выражение комплексной амплитуды гармоники через сигнал (1.16). Выражения (1.13), (1.14) показывают, что для нахождения спектра периодического сигнала достаточно найти комплексные амплитуды гармоник по вы- ражению (1.16). Из (1.16) следует, что n n A A * . (1.19) Отрицательный знак номера гармоники согласно (1.9) означает, что частота становится отрицательной. Отрицательная частота не имеет физического смысла, но удобна при аналитических исследованиях. Смена знака частоты соответствует операции комплексного сопряже- ния для комплексного колебания. С учетом (1.17), (1.19) ряд Фурье (1.8) примет вид: 1 * 0 ) 2 1 2 1 ( 2 ) ( 1 1 n t jn n t jn n e A e A A t S 1 0 1 1 1 2 1 2 1 2 1 n t jn n n t jn n e A A e A 13 В последней сумме надо перейти к суммированию по отрицательным номерам, а затем все слагаемые объединить суммированием по всем номерам - и отрицательным, и положительным. Окончательный ре- зультат представляет комплексный ряд Фурье (1.15). Сигнал, как комплексный ряд Фурье, и спектр, как множество комплексных амплитуд, имеют компактную форму и широко исполь- зуются в теоретических исследованиях. Особенность спектра при ис- пользовании комплексного ряда Фурье в том, что параметр “частота” принимает значения ω n = nω 1 , где n = ...-2, -1, 0, 1, 2, .... Как следует из (1.19), амплитудный спектр является четной функцией частоты, а фазовый - нечетной функцией: n n A A ; Ф n = - Ф -n . (1.20) Физический спектр соответствует положительным частотам. На нуле- вой частоте физическая спектральная составляющая равна половине теоретической. Если известен спектр на положительных частотах, то спектр на отрицательных частотах получают, используя свойства (1.20). Полезно помнить, что отрицательная частота соответствует операции комплексного сопряжения для комплексного колебания, а суммирование по всем частотам приводит к вещественному сигналу во времени, что и отражает комплексный ряд Фурье [2, 3]. Результаты спектрального анализа периодической последователь- ности прямоугольного импульсов на основе комплексного ряда Фурье представлены в таблице 1.2 [1]. Таблица 1.2.Комплексный спектр периодического сигнала. ] Х [ обозначает целую часть Х Комплексная амплитуда спектральной составляющей Амплитудный спектр 1 1 1 2 0 0 1 1 sin 1 2 2 2 2 И И И T jn T jn И n И T n T e A U U e T jn T T n 1 1 2 2 И И n n T T n 1 1 1 2 0 0 1 1 sin 1 2 2 2 2 И И И T jn T jn И n И T n T e A U U e T jn T T n Фазовый спектр 14 ВЫВОДЫ Комплексный ряд Фурье представляет взвешенную сумму ком- плексных экспонент как функций времени. Экспоненциальные функции удобны для ряда математических операций. Спектральный анализ представляет вычисление комплексных амплитуд гармоник с дальнейшим переходом к амплитудному и фазовому спектрам. Для спектра используются и положительные, и отрицательные частоты, но вся информация о спектре содержится на положи- тельных частотах, которым соответствует физический спектр. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ: 1. В чем преимущество комплексного ряда Фурье перед тригоно- метрическим? 2. Как от комплексного ряда Фурье перейти к тригонометрическо- му? 3. Почему отрицательные частоты не имеют физического смысла? Спектральная диаграмма фазового спектра A 0 -2 -4 6 8 10 12 -6 -8 -10 -12 -14 2 4 Спектральная диаграмма амплитудного спектра ωω 1 0 2 4 6 8 10 12 -π ω/ω 1 Ф -2 -4 -6 -8 -10 -14 π -12 15 |