10781 ЗМУ Матем. Протокол от 05. 10. 2012 2 Председатель методической комиссии Маи ргппу а. В. Песков Директор Маи а. А. Жученко фгаоу впо Российский государственный профессионально педагогический университет
 Скачать 1.7 Mb.
|
8. Ряды421-430. Исследовать сходимость числового ряда. 421.  . 422.  .423.  . 424.  .425.  . 426.  .427.  . 428.  .429.  . 430.  .431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда. 431.  . 432.  .433.  . 434.  .435.  . 436.  .437.  . 438.  .439.  . 440.  .441-450. Вычислить определенный интеграл  с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд, и, затем, проинтегрировав ее почленно.441.  . 442.  .443.  . 444.  .445.  . 446.  .447.  . 448.  .449.  . 450.  .451 – 460. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения  дифференциального уравнения  , удовлетворяющего начальному условию  .451.  452.  453.  454.  455.  456.  457.  458.  459.  460.  МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ В данном разделе приведены образцы выполнения заданий, содержащихся в контрольных работах. Задания 11 – 20 Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие [5] Гл. I –IV, стр.39 – 91. В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:
SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5). Решение 1) Длину ребра АВ находим по формуле расстояния между двумя точками:  2) Угол между рёбрами  найдём по формуле косинуса угла между векторами   , координаты которых определяются так:  3) Найдем координаты вектора   Найдем координаты вектора   Он перпендикулярен плоскости (грани) ABC, поэтому угол  между ребром AS и гранью ABC является дополнительным к углу α между векторами    αφ Отсюда получаем  4) Площадь  определяем с помощью векторного произведения: , 5) Объём пирамиды  находится через вычисление смешанного произведения векторов  Изучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Формула для нахождения объема V пирамиды: 7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору  , проходящей через точку А(-3;0;0) 6) Уравнение прямой  , проходящей через точки    Канонические уравнения прямой, вектор  направляющий вектор прямой  7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору , проходящей через точку А(-3;0;0)8) Для определения проекции вершины  на плоскость  выполняютсяследующие действия:а) составляется уравнение высоты пирамиды  .б) находится точка пересечения высоты и основания решением системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости.Решение: SO –высота пирамиды, перпендикулярна плоскости (ABC), следовательно, прямая (SO) параллельна вектору  или  - нормали плоскости (ABC. Он будет направляющим для  По уравнению  координаты вершины , т.е.   . Так как точка О – пересечение прямой (SO) и плоскости (ABC), то ее координаты удовлетворяют системе уравнений , которую можно решить подстановкой Подставив во второе уравнение, найдём значение  , и следовательно значения   Точка  - проекция точки на плоскость  9) Длину высоты пирамиды можно найти по формуле расстояния  между точками S и O или по формуле расстояния d от точки до плоскости  : Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9). Задания 51 – 60 Дана система линейных уравнений  Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса. а) Матричный метод Данной системе соответствует матричное уравнение  , которое решается по формуле:  . Матрицы имеют вид: Находим обратную матрицу   Находим матрицу   б) Метод Крамера  - формулы Крамера. Вычислим все определители    в) Метод Гаусса Составим расширенную матрицу   и преобразуем её с помощью элементарных преобразований. Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные  и  . Найдём  .  .Вторая строка соответствует уравнению:  или  Аналогично из первой строки напишем уравнение:  Итак:  Задания 91 – 100. Дано комплексное число  Записать число  в геометрической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения  Рекомендуемая литература : Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101. Найдём алгебраическую форму комплексного числа  Тригонометрическая форма комплексного числа  определится по формуле  .Изобразив число на плоскости, найдём  и  . -1    Итак, число  Найдём корни уравнения   вычислим по формуле Муавра   Задания 111 – 120 Вычислить пределы: а)  За скобку выносили наивысшую степень  для числителя и знаменателя.б)  Для исключения неопределённости  требуется числитель и знаменатель разложить на множители.в)  В данном случае для исключения неопределённости использованы эквивалентные бесконечно малые ,например  г)  д) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю.  Задания 111 – 120 Задана функция  Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать чертёж.  .Кусочно-заданная функция представлена функциями, непрерывными на данных интервалах. Проверим непрерывность в граничных точках.  найдём односторонние пределы  Левосторонний и правосторонний пределы равны и равны значению функции в точке . Значит функция в этой точке непрерывна.  аналогично Пределы различны, значит в точке  функция имеет разрыв с конечным скачком.График функции выполните самостоятельно. Обратите внимание на учебное пособие [5] , ч.I , гл.IV, §§4 – 6. Задания 141– 150 Найти производные  следующих функций:а)  б)  ;в)  г)  ;д)  .  б)  в)  г) Прологарифмируем обе части равенства  Продифференцируем обе части равенства     д) Функция  задана неявно. Учитываем, что  аргумент,  функция. Задания 151 – 160 Найти  функций: Решение: а)   б)   Задания 191 – 200 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график.  Рассмотрим свойства функции: 1. Область определения:  2. Чётностьь, нечётность функции:  Функция общего вида. 3. Асимптоты. а) Так как  , то прямая  является вертикальной асимптотой: б)  – наклонная асимптота.Найдём  Найдём   – уравнение наклонной асимптоты.4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции:   Так как  то действительных корней нет, значит, нет точек экстремума.Производная  на всей области определения, значит функция  убывает.5. Точки пересечения с координатными осями а) с осью  при   ,б) с осью  при   .Используя исследование функции, строим график (схематично).  Задания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие [5]? Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183. Задания 231-240 Показать, что функция  удовлетворяет равенству: Находим частные производные по и по  :  Подставим в равенство частные производные.   ; Равенство верно. Задания 251-260 Найти наименьшее и наибольшее значения функции  в области D=(ABCD):  y В С 3 2 А D 0 1 2 x а) Найдём стационарные точки  Точка  - стационарная, но не принадлежит области D.б) Исследуем данную функцию на границах квадрата АВСD АВ:  Функция возрастает на границе АВ  ВС:   На границе ВС функция возрастает   Значит, на границе  функция возрастает   Значит на границе функция возрастает  Найденные значения z сравним и выделяем  Задания 261 – 270 Дана функция  точка  и вектор  Найти  в точке  и производную в точке  по направлению вектора  . Найдём частные производные и вычислим их значение в точке .   – направляющие косинусы вектора  Литература к заданиям 231 – 240, 251 – 260 , 261 – 270 – пособие [5], гл. VIII §§1-2, §4. Задания 281 – 290 Найти неопределённые интегралы, выполнив проверку дифференцированием в первых двух примерах.  Решение:  Проверка:   Метод интегрирования по частям для функции  Формула:   Проверка:   Найдём коэффициенты       Задания 301– 310 Вычислить несобственный интеграл  Несобственный интеграл расходится. Методы интегрирования рассматриваются в учебном пособии [5], ч. I, гл. IХ. §§1-4. Задания 321– 330 В данном задании предлагается решить дифференциальное уравнение одного из трёх типов – однородное, линейное или с разделяющимися переменными. Предлагается решение однородного уравнения Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.  .Уравнение является однородным. Функции  однородные второго порядка.Уравнение можно привести к виду  разделить обе части на  а затем на  . Введём подстановку  Разделяем переменные:  Интегрируем обе части, получаем  Общее решение (общий интеграл) примет вид  Задание 341-350. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения  при начальных условиях  .Однородное уравнение  имеет характеристическое уравнение  корни которого  .Тогда общее решение  - для однородного уравнения Согласно теории общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид  частное решение данного уравнения, правя часть которого  Учитывая стандартную формулу правой части, находим  Число  не совпадает с   подбираем с учётом этого  Найдём    Общее решение данного уравнения  Найдём частное решение, взяв  для отыскания   В равенства (1) и (2) подставим начальные условия:  , тогда Тема «обыкновенные дифференциальные уравнения рассмотрена в пособии [5] ч.  , гл.  .Задание 371-380. Вычислить двойной интеграл  если область D ограничена окружностями  Необходимо перейти к полярным координатам, используя формулы перехода   Интеграл, звисящий от  , берём по частям В результате  Задание 391-400. Вычислить криволинейный интеграл по дуге  линии, заданной параметрически  Тогда   Задания 421-430 Исследовать сходимость числового ряда  Для исследования данного ряда применяем признак Даламбера:  , ряд расходящийся,  сходящийся,  нет ответа по данному признаку. по данному условию, составим Значит данный ряд сходящийся. Задания 431-440 Найти область сходимости степенного ряда  Прежде всего определяется радиус сходимости степенного ряда   Значит интервал сходимости  На границах интервала рассматриваются числовые ряды. При  Так как предел  то ряд считается расходящимся.При  – знакочередующийся ряд.1. Рассмотрим члены ряда по абсолютной величине  Члены ряда возрастают, значит по теореме Лейбница при  ряд расходящийся.Задания 441 – 450 Вычислить определённый интеграл  с точностью 0,001,  Разложим подынтегральную функцию в ряд, а затем проинтегрируем её почленно.  .Используя разложение в ряд Маклорена функции  , запишем разложение Проинтегрировав, получим:  Значение интеграла (по теореме Лейбница) соответствует сумме с точностью 0,001.  Шестое слагаемое  поэтому взято пять слагаемых.Типовые задачи по теме «Ряды» рассматриваются в учебном пособии [5], ч.  , гл.  ,§§1-6.Задания 451 – 460. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения  дифференциального уравнения  удовлетворяющего данному условию  Используем разложение искомой функции в ряд Тейлора около точки  . В нашем примере  т.е. первый член ряда обращается в ноль.Из заданного дифференциального уравнения  Поэтому второй член ряда имеет вид  . Чтобы найти третий член ряда продифференцируем обе части нашего уравнения И поэтому следующий член ряда равен  . Аналогично Третий нулевой член ряда  Окончательно:  Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов рассматривается в учебном пособии [5] ч.  гл. , §4.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Литература Основная литература 1. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики [Текст] / Б.П. Демидович, В.А Кудрявцев - М.: ООО "Издательство Астрель". 2003. - 654 с. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление [Текст] / Н.С.Пискунов : в 2 т. - М.: Интеграл-Пресс 2005. 3. Шипачев В.С. Высшая математика [Текст] / В.С. Шипачев -М.: Высшая школа. 2005. - 479 с. 4. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике [Текст] / В.С. Шипачев -. М.: Высшая школа, 2004.- 304 с. 5. Данко П.Е.,Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. [Текст] / Ч.1, 2. М.: Оникс 21 век. 2005. Дополнительная литература 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии [Текст] / Я.С.Бугров– М.: Наука, 1984. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление [Текст] / Я.С.Бугров – М.: Наука, 1988. 3. Линейная алгебра и основы математического анализа[Текст]: Сб. задач по математике для втузов / Под ред. А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича. – М.: Наука, 1993. 4. Методические указания к введению в математический анализ [Текст]: Сост. Т.А.Серова; Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1986. 5. Методические указания к выполнению типового расчета по теме "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" [Текст]: В 2 ч. / Сост. Л.В. Демина; Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1986. 6. Методические указания "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных" [Текст]: Сост. Б.П. Танана; Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1984. 7. Методические указания к выполнению типового расчета по теме "Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии" [Текст]: Сост. С.П. Клейнбок; Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1984. ЗАДАНИЯ и методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине«математика» Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага для множ. аппаратов. Печать плоская. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. .Тираж 100 экз. ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет». Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11. Ризограф ФГАОУ РГППУ, Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11. |