10781 ЗМУ Матем. Протокол от 05. 10. 2012 2 Председатель методической комиссии Маи ргппу а. В. Песков Директор Маи а. А. Жученко фгаоу впо Российский государственный профессионально педагогический университет
![]()
|
8. Ряды421-430. Исследовать сходимость числового ряда. 421. ![]() ![]() 423. ![]() ![]() 425. ![]() ![]() 427. ![]() ![]() 429. ![]() ![]() 431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда. 431. ![]() ![]() 433. ![]() ![]() 435. ![]() ![]() 437. ![]() ![]() 439. ![]() ![]() 441-450. Вычислить определенный интеграл ![]() 441. ![]() ![]() 443. ![]() ![]() 445. ![]() ![]() 447. ![]() ![]() 449. ![]() ![]() 451 – 460. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения ![]() ![]() ![]() 451. ![]() 452. ![]() 453. ![]() 454. ![]() 455. ![]() 456. ![]() 457. ![]() 458. ![]() 459. ![]() 460. ![]() МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ В данном разделе приведены образцы выполнения заданий, содержащихся в контрольных работах. Задания 11 – 20 Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие [5] Гл. I –IV, стр.39 – 91. В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:
SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5). Решение 1) Длину ребра АВ находим по формуле расстояния между двумя точками: ![]() 2) Угол между рёбрами ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Найдем координаты вектора ![]() ![]() Найдем координаты вектора ![]() ![]() Он перпендикулярен плоскости (грани) ABC, поэтому угол ![]() ![]() ![]() ![]() φ Отсюда получаем ![]() 4) Площадь ![]() ![]() ![]() 5) Объём пирамиды ![]() ![]() ![]() 7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору ![]() ![]() 6) Уравнение прямой ![]() ![]() ![]() ![]() Канонические уравнения прямой, вектор ![]() ![]() 7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору ![]() ![]() 8) Для определения проекции вершины ![]() ![]() а) составляется уравнение высоты пирамиды ![]() б) находится точка пересечения высоты и основания ![]() Решение: SO –высота пирамиды, перпендикулярна плоскости (ABC), следовательно, прямая (SO) параллельна вектору ![]() ![]() ![]() ![]() Он будет направляющим для ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставив во второе уравнение, найдём значение ![]() ![]() ![]() ![]() Точка ![]() ![]() ![]() 9) Длину высоты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9). Задания 51 – 60 Дана система линейных уравнений ![]() Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса. а) Матричный метод Данной системе соответствует матричное уравнение ![]() ![]() ![]() Находим обратную матрицу ![]() ![]() Находим матрицу ![]() ![]() б) Метод Крамера ![]() Вычислим все определители ![]() ![]() ![]() в) Метод Гаусса Составим расширенную матрицу ![]() ![]() ![]() Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные ![]() ![]() ![]() ![]() Вторая строка соответствует уравнению: ![]() ![]() Аналогично из первой строки напишем уравнение: ![]() Итак: ![]() Задания 91 – 100. Дано комплексное число ![]() Записать число ![]() ![]() Рекомендуемая литература : Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101. Найдём алгебраическую форму комплексного числа ![]() Тригонометрическая форма комплексного числа ![]() ![]() Изобразив число на плоскости, найдём ![]() ![]() ![]() ![]() -1 ![]() ![]() ![]() ![]() Итак, число ![]() Найдём корни уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задания 111 – 120 Вычислить пределы: а) ![]() За скобку выносили наивысшую степень ![]() б) ![]() Для исключения неопределённости ![]() в) ![]() В данном случае для исключения неопределённости ![]() ![]() г) ![]() д) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю. ![]() Задания 111 – 120 Задана функция ![]() Сделать чертёж. ![]() Кусочно-заданная функция представлена функциями, непрерывными на данных интервалах. Проверим непрерывность в граничных точках. ![]() ![]() ![]() Левосторонний и правосторонний пределы равны и равны значению функции в точке ![]() ![]() ![]() ![]() Пределы различны, значит в точке ![]() График функции выполните самостоятельно. Обратите внимание на учебное пособие [5] , ч.I , гл.IV, §§4 – 6. Задания 141– 150 Найти производные ![]() а) ![]() ![]() в) ![]() ![]() д) ![]() ![]() б) ![]() в) ![]() г) ![]() Прологарифмируем обе части равенства ![]() Продифференцируем обе части равенства ![]() ![]() ![]() ![]() д) ![]() Функция ![]() ![]() ![]() ![]() Задания 151 – 160 Найти ![]() ![]() Решение: а) ![]() ![]() б) ![]() ![]() Задания 191 – 200 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график. ![]() Рассмотрим свойства функции: 1. Область определения: ![]() 2. Чётностьь, нечётность функции: ![]() Функция общего вида. 3. Асимптоты. а) Так как ![]() ![]() ![]() б) ![]() Найдём ![]() Найдём ![]() ![]() 4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции: ![]() ![]() Так как ![]() Производная ![]() ![]() 5. Точки пересечения с координатными осями а) с осью ![]() ![]() ![]() б) с осью ![]() ![]() ![]() Используя исследование функции, строим график (схематично). ![]() Задания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие [5]? Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183. ![]() Задания 231-240 Показать, что функция ![]() ![]() Находим частные производные по ![]() ![]() ![]() ![]() Подставим в равенство частные производные. ![]() ![]() ![]() Равенство верно. Задания 251-260 Найти наименьшее и наибольшее значения функции ![]() в области D=(ABCD): ![]() y В С 3 2 А D 0 1 2 x а) Найдём стационарные точки ![]() Точка ![]() б) Исследуем данную функцию на границах квадрата АВСD АВ: ![]() Функция возрастает на границе АВ ![]() ВС: ![]() ![]() На границе ВС функция возрастает ![]() ![]() Значит, на границе ![]() ![]() ![]() ![]() Значит на границе ![]() ![]() Найденные значения z сравним и выделяем ![]() Задания 261 – 270 Дана функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найдём частные производные и вычислим их значение в точке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Литература к заданиям 231 – 240, 251 – 260 , 261 – 270 – пособие [5], гл. VIII §§1-2, §4. ![]() Задания 281 – 290 Найти неопределённые интегралы, выполнив проверку дифференцированием в первых двух примерах. ![]() Решение: ![]() Проверка: ![]() ![]() Метод интегрирования по частям для функции ![]() Формула: ![]() ![]() Проверка: ![]() ![]() Найдём коэффициенты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задания 301– 310 Вычислить несобственный интеграл ![]() Несобственный интеграл расходится. Методы интегрирования рассматриваются в учебном пособии [5], ч. I, гл. IХ. §§1-4. Задания 321– 330 В данном задании предлагается решить дифференциальное уравнение одного из трёх типов – однородное, линейное или с разделяющимися переменными. Предлагается решение однородного уравнения Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка. ![]() ![]() Уравнение является однородным. Функции ![]() ![]() Уравнение можно привести к виду ![]() ![]() ![]() ![]() Введём подстановку ![]() Разделяем переменные: ![]() Интегрируем обе части, получаем ![]() Общее решение (общий интеграл) примет вид ![]() Задание 341-350. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения ![]() ![]() Однородное уравнение ![]() ![]() корни которого ![]() Тогда общее решение ![]() - для однородного уравнения Согласно теории общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид ![]() ![]() Учитывая стандартную формулу правой части, находим ![]() Число ![]() ![]() ![]() ![]() Найдём ![]() ![]() ![]() Общее решение данного уравнения ![]() Найдём частное решение, взяв ![]() ![]() ![]() В равенства (1) и (2) подставим начальные условия: ![]() ![]() Тема «обыкновенные дифференциальные уравнения рассмотрена в пособии [5] ч. ![]() ![]() Задание 371-380. Вычислить двойной интеграл ![]() ![]() Необходимо перейти к полярным координатам, используя формулы перехода ![]() ![]() Интеграл, звисящий от ![]() ![]() В результате ![]() Задание 391-400. Вычислить криволинейный интеграл по дуге ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задания 421-430 Исследовать сходимость числового ряда ![]() Для исследования данного ряда применяем признак Даламбера: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Значит данный ряд сходящийся. Задания 431-440 Найти область сходимости степенного ряда ![]() Прежде всего определяется радиус сходимости степенного ряда ![]() ![]() Значит интервал сходимости ![]() На границах интервала рассматриваются числовые ряды. При ![]() Так как предел ![]() При ![]() ![]() 1. Рассмотрим члены ряда по абсолютной величине ![]() Члены ряда возрастают, значит по теореме Лейбница при ![]() Задания 441 – 450 Вычислить определённый интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Используя разложение в ряд Маклорена функции ![]() ![]() Проинтегрировав, получим: ![]() Значение интеграла (по теореме Лейбница) соответствует сумме с точностью 0,001. ![]() Шестое слагаемое ![]() Типовые задачи по теме «Ряды» рассматриваются в учебном пособии [5], ч. ![]() ![]() Задания 451 – 460. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения ![]() ![]() ![]() Используем разложение искомой функции в ряд Тейлора около точки ![]() ![]() В нашем примере ![]() Из заданного дифференциального уравнения ![]() Поэтому второй член ряда имеет вид ![]() ![]() И поэтому следующий член ряда равен ![]() ![]() Третий нулевой член ряда ![]() Окончательно: ![]() Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов рассматривается в учебном пособии [5] ч. ![]() ![]() УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Литература Основная литература 1. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики [Текст] / Б.П. Демидович, В.А Кудрявцев - М.: ООО "Издательство Астрель". 2003. - 654 с. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление [Текст] / Н.С.Пискунов : в 2 т. - М.: Интеграл-Пресс 2005. 3. Шипачев В.С. Высшая математика [Текст] / В.С. Шипачев -М.: Высшая школа. 2005. - 479 с. 4. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике [Текст] / В.С. Шипачев -. М.: Высшая школа, 2004.- 304 с. 5. Данко П.Е.,Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. [Текст] / Ч.1, 2. М.: Оникс 21 век. 2005. Дополнительная литература 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии [Текст] / Я.С.Бугров– М.: Наука, 1984. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление [Текст] / Я.С.Бугров – М.: Наука, 1988. 3. Линейная алгебра и основы математического анализа[Текст]: Сб. задач по математике для втузов / Под ред. А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича. – М.: Наука, 1993. 4. Методические указания к введению в математический анализ [Текст]: Сост. Т.А.Серова; Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1986. 5. Методические указания к выполнению типового расчета по теме "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" [Текст]: В 2 ч. / Сост. Л.В. Демина; Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1986. 6. Методические указания "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных" [Текст]: Сост. Б.П. Танана; Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1984. 7. Методические указания к выполнению типового расчета по теме "Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии" [Текст]: Сост. С.П. Клейнбок; Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1984. ЗАДАНИЯ и методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине«математика» Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага для множ. аппаратов. Печать плоская. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. .Тираж 100 экз. ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет». Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11. Ризограф ФГАОУ РГППУ, Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11. |