Matematika_Практ.работа Краснова М.А. Проверил Оценка Дата

• Название: Проверил Оценка Дата
• Дата: 18.02.2022
• Размер: 40.99 Kb.
• Имя файла: Matematika_Практ.работа Краснова М.А.docx
• Тип: Практическая работа; #366079

«СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

Текущий контроль

(Практическая работа)

Дисциплина :Математика

Выполнил(а) Краснова М.А Группа: ЭС – 1520(2) 2 семестр Адрес: ХМАО-Югра г.Мегион ул Садовая 16/1 кв 16 Проверил:___________________________ Оценка:_____________________________ Дата:_______________________________

2021г.

№1. Решение.

Найдем произведение матриц А и В:

N=A·B =  * =

Компоненты матрицы N вычисляются следующим образом:

n₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁ = 1 · 1 + 2 · 0 = 1 + 0 = 1,
n₁₂ = a₁₁ · b₁₂ + a₁₂ · b₂₂ = 1 · 2 + 2 · 2 = 2 + 4 = 6,
n₁₃ = a₁₁ · b₁₃ + a₁₂ · b₂₃ = 1 · 0 + 2 · (-1) = 0 - 2 = -2,
n₂₁ = a₂₁ · b₁₁ + a₂₂ · b₂₁ = 2 · 1 + 0 · 0 = 2 + 0 = 2,
n₂₂ = a₂₁ · b₁₂ + a₂₂ · b₂₂ = 2 · 2 + 0 · 2 = 4 + 0 = 4,
n₂₃ = a₂₁ · b₁₃ + a₂₂ · b₂₃ = 2 · 0 + 0 · (-1) = 0 - 0 = 0,
n₃₁ = a₃₁ · b₁₁ + a₃₂ · b₂₁ = 3 · 1 + (-1) · 0 = 3 - 0 = 3,
n₃₂ = a₃₁ · b₁₂ + a₃₂ · b₂₂ = 3 · 2 + (-1) · 2 = 6 - 2 = 4,
n₃₃ = a₃₁ · b₁₃ + a₃₂ · b₂₃ = 3 · 0 + (-1) · (-1) = 0 + 1 = 1.

Найдем компоненты матрицы 2С:

2С = =

Найдем матрицу D:

D = N – 2C = - = =

Ответ:

№11. Решение.

Найдем обратную матрицу для невырожденной матрицы А:

A =

Найдем определитель (детерминант) матрицы: 

detA = = (-1)*(-1)*4 + (-2)*2*(-2) + 3*2*5 – (-1)*(-2)*5 – 4*2*2 –

3*(-1)*(-2) = 4 + 8 + 30 – 10 - 16 – 6 = 10, поэтому обратная матрица существует. Найдём её.

Найдем минор M₁₁ и алгебраическое дополнение A₁₁, для этого в матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1:

M₁₁ = = 6,

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ · M₁₁ = 1 · 6 = 6.

Найдем минор M₁₂ и алгебраическое дополнение A₁₂, в матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2:

M₁₂ = = −7,

A₁₂ = (-1)¹⁺² · M₁₂ = -1 · (-7) = 7.

Найдем минор M₁₃ и алгебраическое дополнение A₁₃, для этого в матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3:

M₁₃ = = −1,

A₁₃ = (-1)¹⁺³ · M₁₃ = 1 · (-1) = -1.

Найдем минор M₂₁ и алгебраическое дополнение A₂₁, в матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1:

M₂₁ = = 4,

A₂₁ = (-1)²⁺¹ · M₂₁ = -1 · 4 = -4.

Найдем минор M₂₂ и алгебраическое дополнение A₂₂, в матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2:

M₂₂ = = 2,

A₂₂ = (-1)²⁺² · M₂₂ = 1 · 2 = 2.

Найдем минор M₂₃ и алгебраическое дополнение A₂₃. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3:

M₂₃ = = −4

A₂₃ = (-1)²⁺³ · M₂₃ = -1 · (-4) = 4

Найдем минор M₃₁ и алгебраическое дополнение A₃₁. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1:

M₃₁ = = 8,

A₃₁ = (-1)³⁺¹ · M₃₁ = 1 · 8 = 8.

Найдем минор M₃₂ и алгебраическое дополнение A₃₂. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2:

M₃₂ = = −1,

A₃₂ = (-1)³⁺² · M₃₂ = -1 · (-1) = 1.

Найдем минор M₃₃ и алгебраическое дополнение A₃₃, для этого в матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3:

M₃₃ = = −3,

A₃₃=(-1)³⁺³ · M₃₃ = 1 · (-3) = -3.

Выпишем союзную матрицу (матрицу алгебраических дополнений):

C =

Транспонированная союзная матрица (поменяем местами строки со столбцами):

C^T =

Найдем обратную матрицу:

A^-1 = C^T /detA = =

Пользуясь правилом умножения матриц, покажем, что A*A^-1 = E, где E – единичная матрица.

A*A^-1 = * =

=

Из проверки следует, что обратная матрица вычислена верно.

Ответ:

№21. Решение.

Решим систему линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса.

Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду:



L2−3×L1→L2

Вычитаем из строки 2 строку 1, умноженную на 3, чтобы получить нули ниже ведущего элемента:



L3−1×L1→L3

Вычитаем из строки 3 строку 1, умноженную на 1, чтобы получить нули ниже ведущего элемента:



L3−12×L2→L3

Вычитаем из строки 3 строку 2, умноженную на 12, чтобы получить нули ниже ведущего элемента:

(**)

Из уравнения 3 системы (**) найдем переменную x₃:

2,5x₃ = −2,5

x₃=−1

Из уравнения 2 системы (**) найдем переменную x₂:

8x₂ -15*(-1)=−9

8x₂=−9 – 15

8х₂ = -24

х₂ = -3

Из уравнения 1 системы (**) найдем переменную x₁:

x₁ – 2*(-3) + 4*(-1) = 4

х₁ = 4 – 6 + 4

х₁ = 2

Ответ: x₁=2; x₂=−3; x₃=−1.

№31. Решение.

Построим в декартовой системе координат треугольник, вершины которого находятся в точках А(-1;2), В(5;1), С(1;-2):



Положим A(x_А;y_А) = A(−1;2), B(x_В;y_В) = B(5;1), C(x_С;y_С) = C(1;−2).

1. 
   Составим уравнения сторон:
   

АВ: = ; = ; = ; х+6у-11=0.

АС: = ; = ; = ; 2х+у=0.

ВС: = ; = ; = ; 3х-4у-11=0.

2. 
   Найдем координаты точки М пересечения медиан:
   

М(х_М;у_М); М( ( + )/3; ( + )/3); М( ; );

М( ; ).

3. 
   Пусть AH – высота, опущенная из вершины А к стороне ВС треугольника АВС. Составим уравнение высоты.
   

AH: = ; = ; = ; 4х+3у-2=0.

Найдем длину АH:

|AH| =

S = 11(смотри пункт 4),

|ВС| = = = =5. Тогда |AH| = = .

4. Вычислим площадь треугольника АВС по формуле:

S = =

=

= = = 11.

Ответ: 1) АВ: х+6у-11=0;

АС: 2х+у = 0;

ВС : 3х-4у-11=0.

2) М( ; ).

3) |AH| =4,4; 4х + 3у – 2 =0.

4) S = 11.

№41. Решение.

Даны координаты точек А(2;3;2) =А(х_1, у_1, z₁), В(4;-1;-2) = B(х_2, у_2, z₂), С(6;3;-2) = C(х_3, у_3, z₃), D(-5;-4;8) = D(х_4, у_4, z₄).

1. Найдем длину ребра АВ: АВ= = = = 6.

2. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С. Для составления уравнения плоскости (АВС), используем формулу:

= 0

= 0,

= 0.

(х-2)(-4*(-4) – (-4)*0) – (у-3)(2*(-4) – (-4)*4) +(z-2)(2*0 – (-4)*4) =0

16х - 8у +16z – 40 = 0, то есть 2х - у +2z – 5 = 0

3. Напишем уравнение высоты, опущенной из точки D на плоскость АВС.

Для вычисления расстояния DH от точки D(-5; -4; 8) до плоскости (АВС) 2x - y + 2z - 5 = 0, используем формулу:

d =DH =	|A·Dx + B·Dy + C·Dz + D|

Подставим в формулу данные:

d = DH =	|2·(-5) + (-1)·(-4) + 2·8 + (-5)|	=	|-10 + 4 + 16 - 5|	=

4. 
   
   

4) Найдем площадь грани АВС.

S_ABC = =

= = 0,5*24 = 12.

5. Найдем объем пирамиды АВСD по формуле:

V = = =

=

=

= = = .

Ответ: 1) АВ = 6;

2) (АВС): 2х-у+2z-5=0;

3) DH = ;

4)S_ABC = 12;

5) V = .