доклад бесселевы пучки. Документ. Пучок Бесселя
 Скачать 276.54 Kb.
|
|
Пучок Бесселя - это волна, амплитуда которой описывается функцией Бесселя первого рода. Электромагнитные, акустические, гравитационные и материальные волны могут быть в форме пучков Бесселя. Истинный пучок Бесселя не является дифракционным. Это означает, что при распространении он не рассеивается и не рассеивается; это противоречит обычному поведению света (или звука), который распространяется после фокусировки до небольшого пятна. Лучи Бесселя также самовосстанавливаются, что означает, что луч может быть частично заблокирован в одной точке, но будет переформирован в точке, расположенной дальше по оси луча. Рентгеновские волны - это особые суперпозиции лучей Бесселя, которые распространяются с постоянной скоростью и могут превышать скорость света. Пучки Матье и параболические (веберовские) пучки представляют собой другие типы недифракционных пучков, которые обладают теми же недифракционными и самовосстанавливающимися свойствами, что и пучки Бесселя, но разными поперечными структурами. Бесселевы функции с любым индексом Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве[1,2]:  . (1.1)Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:  ,  , ,то уравнение (1) примет следующий вид:  . (1.2)Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида  ,где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми. Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (1.2), получим:  ,откуда (после деления на )  .Записав это в виде:  ,найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:  ;  ; ;  ; .В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:  ,  ; ,  .Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка: , (1.3) , ,из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида. Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (1.3), то  есть решение уравнения (1.2). В самом деле, подставляя в левую часть (1.2) и деля затем на , получим: .Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (1.2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , - любые решения уравнений (1.3) при любом выборе чисел , .Первое из уравнений 1.3 в случае , называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию - буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:  . (1.4)Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями. 1.2Бесселевы функции первого рода Будем искать решение уравнения Бесселя (1.4) в виде ряда:  .Тогда  , , ,  .Следовательно, приходим к требованию  ,или к бесконечной системе уравнений   ,которая распадается на две системы:   Первая из них удовлетворится, если взять  … Во второй системе можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если не является целым отрицательным числом). Взяв ,найдем последовательно:  , , ,и в качестве решения уравнения (1.4) получим ряд:  Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (1.4), сходится для всех положительных значений и, следовательно, является решением уравнения (1.4) в области  (в случае целого в области ). Функция  (1.5)называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (1.4). В случае целого неотрицательного индекса получим:  , (1.6)и, в частности,  .(1.7)1.3 Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента Пусть - положительная функция и - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений . Запись  при означает, что найдутся такие числа и M, что при имеем  Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если - положительная функция и - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений , то запись  при означает, что найдутся такие числа и , что  на .Вспомогательная лемма Если дважды непрерывно дифференцируема на , то для функции  имеет место асимптотическое представление  при .Докажем эту лемму. Заменяя на , получим:  . (1.8)Рассмотрим на каком-либо интервале (конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения  ,  , (1.9)где и - непрерывные функции на Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (1.9). Заменяя на , найдем:  ,но, заменив на , получим:  .Если положительна, убывает и стремиться к нулю при , то  и  , а следовательно, и  есть  при , поэтому при ,откуда  при .Итак, получаем асимптотическое представление:  при .(1.10)Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (1.9). Имеем  , Очевидно, дважды непрерывно дифференцируема на , но существуют  и  , поэтому становится непрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает: ,где первое слагаемое правой части  есть  при , а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом ,который сходится, так как  при ;следовательно, второе слагаемое есть тоже при .Итак, имеем:  при . (1.11)Из (1.8), (1.9), (1.10) получаем искомое асимптотическое представление:  при .(1.12)Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:  при .(1.13)Формулы (1.12) и (1.13) верны и для комплекснозначных функций  .Вывод асимптотической формулы для Jn(x) Заменяя на  , получим: (учитывая, что  есть четная функция от , а  есть нечетная функция от ). Подстановка дает:  ,где  есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что  есть полином n-й степени относительно . Но и, заменяя в первом из этих интегралов на , получим: Так как  и  на имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (1.12) и (1.13), и мы получаем: ;но  ;  , следовательно, .Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:  при .(1.14)Эта формула показывает, что с точностью до слагаемого порядка является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы. В частности,  при ; (1.15) при . (1.16)Графики этих функций изображены ни рис1. Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя. . Найти решение уравнения Бесселя при  ,удовлетворяющее начальным условиям при , и . Решение. На основании формулы 5 находим одно частное решение:  .. Найти одно из решений уравнения:  ,  .Решение. Сделаем замену  .При получим:  .При будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда:  .Уравнение на имеет вид  ;  , , , , поэтому , ,  . Рис.1.1 График распределения интенсивности функции бесселя 0,1и2 порядков. Свойства Как и в случае с плоской волной, настоящий пучок Бесселя не может быть создан, поскольку он неограничен и потребует бесконечного количества энергии. Тем не менее, могут быть сделаны достаточно хорошие приближения, и они важны во многих оптических приложениях, поскольку они практически не проявляют дифракции на ограниченном расстоянии. Приближения к пучкам Бесселя выполняются на практике либо путем фокусировки гауссова пучка с помощью аксиконовой линзы для получения пучка Бесселя–Гаусса, с использованием осесимметричных дифракционных решеток, либо путем размещения узкой кольцевой апертуры в дальнем поле. Пучки Бесселя высокого порядка могут генерироваться спиральными дифракционными решетками. На рисунках 1 и 2 представлены реальные изображения Бесселевых пучков, формируемых аксиконом на экране. Исходные данные: источником света (параллельного пучка) является зеленый лазер. Диаметр падающего пучка в обоих опытах 4 мм, баланс белого 127 х 127 мм. Угол аксикона α=20°. Опыт показывает, что толщина кольца на экране остается постоянной (2 мм), а диаметр растет по мере удаления экрана от аксикона: на рис. 2 аксикон расположен на расстоянии L= 228.6 мм и диаметр кольца на экране составляет 73.66 мм, на рис.3 – L=355.6 мм и диаметр равен 114.3 мм. Аксиконы Аксиконы – осесимметричные оптические линзы, одна поверхность которых плоская, а вторая – коническая. Главные параметры аксикона (рис. 1) – угол раствора конуса и угол α между образующей поверхностью и основанием. В отличие от собирающих линз (плосковыпуклых, двояковыпуклых и асферических), предназначенных для фокусировки пучка, исходящего от точечного источника в одну точку, лежащую на главной оптической оси, при прохождении пучка через аксикон на экране наблюдается тонкое кольцо, формирование которого происходит за счет интерференции. При использовании аксиконов также происходит формирование Бесселевых пучков с протяженной глубиной фокусировки. Такие пучки оказываются достаточно полезным при регулировке уровней, выравнивании протяженных объектов, а также при захвате частиц (оптические ловушки). Бесселевы пучки образуются в области перекрытия пучков Свойства пучков Бесселя делают их чрезвычайно полезными для оптического пинцета, поскольку узкий пучок Бесселя будет сохранять требуемое свойство плотной фокусировки на относительно длинном участке пучка и даже при частичном перекрытии выщипываемыми частицами диэлектрика. Аналогично, манипулирование частицами с помощью акустического пинцета было достигнуто с помощью луча Бесселя, который рассеивает и создает силу излучения, возникающую в результате обмена акустическим импульсом между волновым полем и частицей, расположенной вдоль его пути. Математическая функция, описывающая балку Бесселя, является решением дифференциального уравнения Бесселя, которое само по себе возникает из сепарабельных решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах. Фундаментальный пучок Бесселя нулевого порядка имеет максимум амплитуды в начале координат, в то время как пучок Бесселя высокого порядка (ХОББ) имеет осевую фазовую особенность вдоль оси пучка; амплитуда там равна нулю. Пучок Хоббса может быть вихревого (геликоидального) или невихревого типа. Ускорение В 2012 году было теоретически доказано и экспериментально продемонстрировано, что при специальной манипуляции с их начальной фазой пучки Бесселя могут ускоряться по произвольным траекториям в свободном пространстве. Эти балки можно рассматривать как гибриды, которые сочетают симметричный профиль стандартной балки Бесселя со свойством самоускорения балки Эйри и ее аналогов. Предыдущие попытки создания ускоряющих пучков Бесселя включали пучки со спиральными и синусоидальными траекториями, а также ранние попытки создания пучков с кусочно-прямыми траекториями. Распространяясь, луч Эйри не подвергается дифракции, то есть не расплывается. Для этого луча характерно свободное ускорение: по мере распространения он отклоняется от первоначального направления, формируя дугу параболы. Компенсация затухания При прохождении лучей через материалы могут возникать потери, что приведет к ослаблению интенсивности луча. Общим свойством пучков без дифрагирования (или инвариантных к распространению), таких как пучок Эйри и пучок Бесселя, является способность управлять продольной огибающей интенсивности пучка без существенного изменения других характеристик пучка. Это может быть использовано для создания пучков Бесселя, интенсивность которых увеличивается по мере их перемещения, и может быть использовано для нейтрализации потерь, тем самым поддерживая луч постоянной интенсивности при его распространении. Применение Визуализация и микроскопия В световой флуоресцентной микроскопии недифрагирующие (или инвариантные к распространению) лучи используются для получения очень длинных и однородных световых полос, размер которых существенно не изменяется по всей длине. Также было показано, что свойство самовосстановления лучей Бесселя обеспечивает улучшенное качество изображения на глубине, поскольку форма луча меньше искажается после прохождения через рассеивающую ткань, чем у гауссова луча. Световая микроскопия на основе пучка Бесселя была впервые продемонстрирована в 2010 году, но с тех пор последовало много изменений. В 2018 году было показано, что использование компенсации затухания может быть применено к световой микроскопии на основе пучка Бесселя и может обеспечить получение изображений на больших глубинах в биологических образцах. Подводные системы звуковидения и акустическая голография Большое внимание уделяется в настоящее время акустической голографии. Акустические системы подводного видения имеют ряд преимуществ перед системами прямого оптического видения и гидролокационными системами обычного типа при наблюдениях в водной среде. Оптическое видение ограничивается сравнительно небольшими дальностями, особенно в мутной воде, а гидролокационные системы не обеспечивают детальной информации о цели. Акустическая голография позволяет создать систему видения, на которую мало влияет турбулентность и мутность воды и которая может воспроизводить изображения подводных объектов в сравнительно большом угле поля зрения при большей дальности видения по сравнению с оптическими системами. Акустическая жидкость Пучки Бесселя являются хорошим кандидатом для выборочного захвата из-за концентрических окружностей максимального и минимального давления в поперечных плоскостях. Акустические линзы устройство для фокусировки звука путём изменения длины пути, проходимого акустич. волной, и её преломления (рефракции) на граничных поверхностях. Свойства Л. определяются свойствами материала линзы и окружающей её среды и формой преломляющих поверхностей линзы. Показатель преломления Л. n=с1/с2, где с2 и с1 — скорости волн в материале линзы и в окружающей среде соответственно. При n>1 (с2<с1) собирающая линза имеет хотя бы одну выпуклую преломляющую поверхность и наз. замедляющей. При n<1 (c2>c1) собирающая Л. имеет хотя бы одну вогнутую преломляющую поверхность в наз. ускоряющей. Материал для Л. должен обладать миним. затуханием и волновым сопротивлением, близким к волновому сопротивлению окружающей среды. Л. изготавливают из тв. материалов, жидкостей и газов. В последних двух случаях используют оболочку, обеспечивающую макс. прохождение энергии и незначит. отклонение лучей при преломлении. Ускоряющие Л. обладают меньшими сферич. аберрациями, чем замедляющие. Звуковая волна, падая на поверхность раздела двух сред, как и световая волна, частично проходит в другую среду. При этом происходит преломление волны, т. е. если волна падает на поверхность раздела под углом фь то в следующей среде направление движения волны (звукового луча) будет под другим углом ( фг). Отношение угла падения к углу преломления (рис. 1.11) определяется отношением скоростей распространения звуковых колебаний в этих средах з п 1131/8111 г з2=с1/с2, где С1 и Сг — скорости звука в обеих средах. Если удельные акустические сопротивления обеих сред близки друг к другу, то почти вся энергия перейдет из одной среды в другую, а если при этом среды (или материалы из них) будут иметь разные скорости звука, то можно сделать акустические линзы из таких материалов (см. разд, 6), Чувствительность дефектоскопа с непрерывным излучением можно повысить, концентрируя ультразвуковые волны с помощью акустических линз. Акустические линзы изготовляют обычно из органического стекла. Поведение ультразвука в материалах Ультразвук в широком смысле определяется как любой звук, имеющий частоту выше 20 кГц, что является приблизительно самой высокой частотой, которую может уловить человеческое ухо. Тем не менее, акустические микроскопы излучают ультразвук в диапазоне от 5 МГц до 400 МГц, что позволяет достичь разрешения в микрометрах. Ультразвук, проникающий в образец, может рассеиваться, поглощаться или отражаться внутренними элементами или самим материалом. Эти действия аналогичны поведению света. Ультразвук, отраженный от внутреннего элемента или (в некоторых приложениях) прошедший через всю толщу образца, используется для получения акустических изображений. Ультразвуковые частоты Ультразвуковые частоты, излучаемые в образцы преобразователями акустических микроскопов, варьируются от низких 10 МГц (редко 5 МГц) до высоких 400 МГц или более. В этом спектре частот существует компромисс между проникновением и разрешением. Ультразвук на низких частотах, таких как 10 МГц, проникает глубже в материалы, чем ультразвук на более высоких частотах, но пространственное разрешение акустического изображения меньше. С другой стороны, ультразвук на очень высоких частотах не проникает глубоко, но обеспечивает акустические изображения с очень высоким разрешением. Частота, выбранная для получения изображения конкретного образца, будет зависеть от геометрии детали и используемых материалов. Приведенное ниже акустическое изображение микросхемы, заключенной в пластик, было сделано с использованием преобразователя с частотой 30 МГц, поскольку эта частота обеспечивает хороший компромисс между проникновением и разрешением изображения. Акустическая микроскопия История Понятие акустической микроскопии восходит к 1936 году, когда С. Я. Соколов предложил устройство для получения увеличенных изображений структуры с помощью звуковых волн частотой 3 ГГц. Однако из-за технологических ограничений того времени такой прибор не мог быть сконструирован, и только в 1959 году Данн и Фрай[2] провели первые эксперименты по акустической микроскопии, хотя и не на очень высоких частотах. Научная литература показывает очень незначительный прогресс в создании акустического микроскопа после экспериментов Данна и Фрая примерно до 1970 года, когда появились две группы исследователей, одну из которых возглавил К.Ф. Куэйт (Стэнфордский университет), а другую - А. Корпел и Л.В. Кесслер (Zenith Radio Research Labs). Первые попытки разработать операционный акустический микроскоп были сосредоточены на высокочастотной адаптации низкочастотных методов ультразвуковой визуализации. В одной из ранних систем использовалась брэгговская дифракционная визуализация[3], основанная на прямом взаимодействии между полем акустических волн и лазерным лучом. Другой пример был основан на вариациях ячейки Полмана.[4] Оригинальное устройство основано на суспензии асимметричных частиц в тонком слое жидкости, которые при воздействии акустической энергии вызывают визуальные изменения отражательной способности. Каннингем и Куэйт [5] модифицировали это, поместив крошечные латексные сферы в жидкость. Акустическое давление вызывало изменения популяции, которые можно было обнаружить визуально. Кесслер и Сойер[6] разработали жидкокристаллическую ячейку, которая позволяла обнаруживать звук по гидродинамической ориентации жидкости. В 1973 году группа Quate начала разработку концепции,[7], в котором использовался первый сканирующий акустический микроскоп (SAM) с конфокальной парой ультразвуковых линз 50 МГц для фокусировки и обнаружения ультразвуковой энергии. В 1974 году эта концепция была реализована Р. А. Лемонсом и К. Ф. Куэйтом в Микроволновой лаборатории Стэнфордского университета. Достижения этого прибора, сканирующего акустического микроскопа, связаны с достижением очень высокого разрешения, новыми режимами получения изображений и приложениями. С тех пор было сделано много усовершенствований в системах акустической микроскопии для повышения разрешения, качества и точности изображения. Большинство из них были подробно описаны в книге Бриггс, Эндрю (1992). Продвинутый в акустической микроскопии. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-1-4615-1873-0., Маев, Роман (2008). Акустическая микроскопия: основы и приложения. Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40744-6., а также недавно в Маев, Роман (2013). Достижения в области акустической микроскопии и ультразвуковой визуализации высокого разрешения: от принципов к новым приложениям. Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-41056-9. Принцип работы ультразвукового микроскопа состоит в следующем. В сосуде с жидкостью находится объект, увеличенное изображение которого мы хотим получить при помощи ультразвука. Узкий пучок ультразвуковых лучей, идущий от кварцевой пластинки /, освещает этот объект 2 отражённые от него ультразвуковые лучи собираются акустической линзой 3 на кварцевой пластинке 4 (рис. 190). [c.298] Типы акустических микроскопов За полвека, прошедшее с момента первых экспериментов, непосредственно приведших к разработке акустических микроскопов, было разработано по крайней мере три основных типа акустических микроскопов. Это сканирующий акустический микроскоп (SAM), конфокальный сканирующий акустический микроскоп (CSAM) и сканирующий акустический микроскоп C-mode (C-SAM).[16] Совсем недавно акустические микроскопы, основанные на системах пикосекундного ультразвука, продемонстрировали акустическую визуализацию в клетках с использованием субоптических длин волн, работающих с ультразвуковыми частотами в диапазоне нескольких ГГц. Поскольку подавляющее большинство используемых сегодня акустических микроскопов являются приборами типа C-SAM, это обсуждение будет ограничено этими приборами.[17] |