Шпора за январь. Пусть прямая пересекает произвольный треугольник abc, причем C
 Скачать 7.84 Mb.
|
|
Пусть прямая пересекает произвольный треугольник ABC, причем C 1 – точка ее пересечения со стороной AB, A 1 – точка ее пересечения со стороной BC, и B 1 – точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Теорема Менелая А В С B 1 A 1 C 1 1 2 3 4 5 6 Тогда выполняется равенство: АС 1 BA 1 A 1 C CB 1 B 1 A = 1 ⋅ ⋅ С 1 В 1 2 3 4 5 6 Теорема Чевы Пусть на прямых АВ, ВС и CA треугольника ABC отмечены точки C 1 , A 1 и B 1 соответственно. Для того, чтобы прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: AB 1 CA 1 A 1 B ⋅ ⋅ C 1 A = 1 BC 1 B 1 C B A C C 1 B 1 A 1 Теорема Ван-Обеля Если прямые AP, BP, CP пересекают прямые BC, CA, AB, содержащие стороны треугольника ABC, соответственно в точках A 1 , B 1 и C 1 , то имеет место равенство отношений направленных отрезков: A C 1 P AP AC 1 C 1 B + B 1 C = AB 1 PA 1 B A 1 C B 1 Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки: с d e A 1 А 2 В 1 B 2 A 2 А 3 В 2 B 3 A 1 А 3 = = В 1 B 3 Обобщённая теорема Фалеса а b A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 с d e а b A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 Если прямые, пересекающие две другие прямые, отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны. Обратная теорема Фалеса A 1 А 2 В 1 B 2 A 2 А 3 В 2 B 3 A 1 А 3 = = В 1 B 3 Если тогда , c d e || || Рельсы Евклида Площади двух треугольников равны, если у них общая сторона и равные высоты, как расстояние между двумя паралллельными прямыми. S 1 = S 2 тогда и только тогда, когда a ‖ BC. B a C A 1 S A 1 BC = S A 2 BC S 1 S 2 A 2 Лемма о площадях 1 - Без доказательства на ЕГЭ Чевиана Чевиана - это любой отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположнойстороне. Частные случаи чевианы: биссектрисса, медиана, высота. Чевиана разбивает сторону треугольника на два отрезка, образуя при этом два треугольника. Площади данных треугольников относятся, как: B С A K BK - чевиана S 1 S 2 a 0,5 • a • h b 0,5 • b • h = = A B Bl - чевиана C l h a b S 2 S 1 Если на чевиане взять произвольную точку M, то она разделяет треугольник на 4 треугольника. Площади двух треугольников, не прилежащих к стороне, к которой провели чевиану, относятся, как Лемма о площадях 2 - С доказательством на ЕГЭ A B C L M Рассмотрим треугольник AMC и чевиану ML, по лемме 1: Рассмотрим треугольник BCL и чевиану CM, по лемме 1: Рассмотрим треугольник LAB и чевиану AM, по лемме 1: Заметим: , выразим : a b S 2 S 1 S 4 S 3 S 1 S 3 S 2 S 2 S 3 S 1 S 1 S 1 S 1 S 2 S 4 S 4 S 4 S 4 S 3 S 3 S 2 S 2 a a a BM BM b b b ML ML = = = = = = = Свойство биссектрисы Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон. С Р m n a = b а b m n В А Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. А В С М СM = AB 2 Медиана в прямоугольном треугольнике BM - медиана Частный случай: чевиана оказалась медианой Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Равновеликие треугольники — это треугольники, имеющие равные площади. То есть медиана делит исходный треугольник на два треугольника с равными площадями (или медиана делит площадь треугольника пополам). S 1 S 2 S 1 = S 2 0,5 • a • h 0,5 • a • h = = 1 S 1 S 2 A B C M h K a a Теорема синусов = = = sinβ 2R а b c sinγ sinα Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов где R - радиус описанной около треугольника окружности. a b R γ α β c Равные хорды В одном круге или в равных кругах равные дуги стягиваются равными хордами. α α α а а Условие принадлежности четырёх точек одной окружности Если точки D и C лежат по одну сторону от прямой AB и ∠ADB =∠ ACB, то A, B, C, D лежат на одной окружности. C В А D Признак вписанного четырёхугольника Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то этот четырёх - угольник вписанный. D C C + А = 180° D + B = 180° B A Теорема Птолемея Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон. B C D A AC ⋅ BD = AB ⋅ CD + BC ⋅ AD Теорема косинусов a b c β γ α Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: b2 = a2 + c2 - 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cosγ c2 = b2 + a2 - 2 ⋅ b ⋅ a ⋅ cosβ a2 = b2 + c2 - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cosα Дельтоид Дельтоид - четырёхугольник, четыре стороны которого можно сгруппировать в две пары равных смежных сторон. Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны. A B C D AB = AD BC = CD Дельтоид Теорема о биссектрисе угла Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны. A K P M R R C L B Справедлива обратная теорема: если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе. Касательная и секущая Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. OA2 = OB ⋅ OC O A B C Секущие Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку𝐴, выполняется равенство: АB ⋅ AC = AD ⋅ AE A B C D E 1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны. 2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны. Признаки равнобедренной трапеции А В С D AВС = BCD BAD = ADC 3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная. Опять же, около равнобедренной трапеции можно описать окружность. А В С BD = AC D А В С D 4. В равнобедренной трапеции одинаковые углы между диагоналями и основаниями. 1) ABD = ∠ACD 2) DBC = ∠ACB 3) CAD = ∠ ADB 4) ∠ BAC = ∠BDC Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Наоборот: если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов четырехугольника. Вписанная окружность A a a + c = b + d b c d B C D Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны. Теорема о пересекающихся хордах AO ⋅ BO = CO ⋅ DO A O B D C 2. Если в прямоугольник можно вписать окружность, то он является квадратом. Тогда центр окружности лежит на пересечении диагоналей. Вписанная окружность для квадрата A D B C 1. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом. Тогда центр окружности лежит на пересечении диагоналей. Вписанная окружность для ромба A B C O D 1. Высота (CP) равнобедренной трапеции, опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) - равен полуразности оснований: BC + AD PD = AD - BC Основные свойства равнобедренной трапеции AP = 2 2 P 2. Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини): 3. Если в равнобедренной диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты: h = m S ABCD = h2 4. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней линии трапеции: 5. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению оснований трапеции: AB = CD = m. h2 = BC · AD А α O а b c Формула через три стороны: Формула через две стороны и угол между ними : M = 0,5 ⋅ a2 + b2 + 2a⋅b⋅cosα M = 0,5 ⋅ 2a2 + 2b2 - c2 Формула длины медианы АO - медиана (М) - боковые стороны - сторона, к которой проведена медиана a, b с Формула Брахмагупты Помним формулу Герона? Есть похожая, но для четырехугольника. Итак, вот формула площади вписанного в окружность четырехугольника со сторонами a, b, c и d: вписанного A a b c d B C S = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d) p - полупериметр D α/2 α/2 Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L): = L 2ab ∙ cos(α/2) a + b Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L): = a ∙ b - L e ∙ d Формула длины биссектрисы А L T a b d e B C L - биссектриса, отрезок, который делит угол ABC пополам a, b - стороны треугольника с - сторона, на которую опущена биссектриса - отрезки, полученные делением биссектрисой стороны AC α - угол ABC, разделенный биссектрисой пополам d, e Теорема: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии. A N M D C O B P Замечательное свойство трапеции (4 замечательные точки трапеции) Лемма о трезубце Лемма о трезубце. Пусть биссектриса угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность m в точке F, а L является центром вписанной окружности. Тогда FL = FA = FC. B A C F m L A a b c B S p - a r a = O C Вневписанная окружность Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других его сторон. Радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне a, вычисляется по формуле: Обобщенная лемма о трезубце. Пусть биссектриса угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность m в точке F, а L является центром вписанной окружности, I — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Тогда FL = FA = FC = FI. B A C F L I Основные свойства ортоцентра Ортоцентр - это точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника. Ортотреугольник или ортоцентрический треугольник - это треугольник, вершины которого являются основаниями высот данного треугольника. 1 свойство ортоцентра Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности. H C A P K Z D T M B HK = KP; HZ = ZD; MT = TH 2 свойство ортоцентра Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей данной стороне. KL = LH, если L - середина AC H C A L K P B H C A L K B 3 свойство ортоцентра Если KL = LH, если L - середина AC, то BK равно диаметру описанной окружности. H - ортоцентр. KB - диаметр, если KL = LH и L - середина AC 4 свойство ортоцентра Угол между стороной и высотой, опущенных из одной вершины, равен углу между диаметром описанной окружности и другой боковой стороной треугольника, выходящей из той же вершины треугольника. СBK = LBA H L C A L K B O 5 свойство ортоцентра Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в 2 раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны. Или более сложное и каноничное определение: При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности. OE= BH/2, OE || BH A B C E O H x 2x 6 свойство ортоцентра Радиусы описанной окружности, проведённые к вершинам треугольника, перпендикулярны соответствующим сторонам ортотреугольника. Ортотреугольник -это треугольник ΔA 1 B 1 C 1 , вершины которого являются основаниями высот треугольника ∆ABC. A B C H С 1 B 1 A 1 7 свойство ортоцентра Если AD и BE — высоты треугольника ABC, то треугольник DEC подобен треугольнику ABC с коэффициентом |cos ∠С|. C D B A E S DEC S ABC = (cosC)2 CD CA = |cos ∠ С| |