математика 4. Работа 2 Случайные величины. 19 вариант. Задача 1

• Название: Работа 2 Случайные величины. 19 вариант. Задача 1
• Дата: 16.12.2018
• Размер: 201.17 Kb.
• Имя файла: математика 4 .docx
• Тип: Задача; #60431

Работа №2

Случайные величины.

19 - вариант.
Задача 2.1. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,36. Вычислить все вероятности р_k, k = 0, 1, 2, ..., 11, где k частота события А. Построить график вероятностей р_k. Найти наивероятнейшую частоту.

Задано: n = 10, p = 0,49, q = 1 - p = 0,51.

Найти: р₀, р₁, р₂ , ..., р₁₀ и k.

Используя формулу Бернулли. Значение р₀ вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности р_k - по второй.

Для формулы вычисляем постоянный множитель

р/q = 0,49/ 0,51 = 0,96780, р₀ = *0,49⁰ * 0,51¹⁰ = 0,00119042.

Результаты вычислений запишем в таблице 1. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

np - q knp + p,

np - q = 10 * 0,49 - 0,51 = 4,39.

np + p= 10 * 0,49+0,49= 5,39

Значит, наивероятнейшая частота k = 5 и, было получено ранее, значение 5 является максимальным.

Таблица 1

k	(n-k-1)/ k	рk		k	(n-k-1)/ k	pk
0 1 2 3 4 5	- 10/ 1 9/ 2 8/ 3 7/ 4 6/ 5	0,011904 0,115208 0,501742 1,332010 2,255958 2,619979		6 7 8 9 10	5/ 6 4/ 7 3/ 8 2/ 9 1/ 10	2,028346 0,981516 0,284973 0,055159 0,005339
					-	0,998361

0,10

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Рисунок 1 График вероятностей р_k
Задача 2.2. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,47. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 330 раз;

б) меньше чем 330 и больше чем 284 раз;

в) больше чем 330 раз.
а) Задано: п = 760, р = 0,47, М = 330.

Найти: Р₇₆₀(330).

Используем локальную теорему Муавра - Лапласа . Находим:





Значение функции (x) найдем из таблицы :

(1,98) = 0,0562, P₇₆₀(330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408.
б) Найти: Р₇₆₀(284
Используем интегральную теорему Муавра - Лапласа .

Находим:







Значение функции Ф(х) найдем из таблицы :

Р₇₆₀(284в) Найти: Р₇₆₀(330
Имеем: х₁ = -1,98,

Р₇₆₀(330760(330Задача 2.4. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/800. Найти вероятность того, что среди 5600 соединений имеет место:

а) точно 2 неправильных соединений;

б) меньше чем 3 неправильных соединений;

в) больше чем 8 неправильных соединений.

а) Задано: n = 5600, p = 1/800, k = 2.

Найти: Р₈₀₀(2).

Получаем:

 = 5600 * 1/800 = 7.

Р₈₀₀(2) = .

б) Задано k<3.

Найти: Р₂₀₀(k<3).

Имеем:

= 7.

Р₈₀₀(k<3) = Р₈₀₀(0) + Р₈₀₀(1) + Р₈₀₀(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296.
в) Задано k > 8.

Найти: Р₈₀₀(k > 8).

Находим

= 7.

Эту задачу можно решить проще, найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Р₈₀₀(k>8) = 1 – Р₈₀₀(k8) = 1 - Р₈₀₀(k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709.
Задача 2.6. Случайная величина Х задана рядом распределения.

Х	8 12 16 24
Р	0,11 0,14 0,50 0,25

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график. Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX и моду Мо.

R = 4



Построим график функции распределения F(x) . Среднее значение ЕХ вычисляем по формуле:

ЕХ = 8*0,11 + 12*0,14 + 16*0,5 + 24*0,25 = 16,56.

Дисперсия: Е(Х²) = 8²*0,11 + 12²*0,14 + 16²*0,5 + 24²*0,25 = 299,2

DX = 299,2 – 16,52² = 26,2896.



График функции распределения
Задача 2.7. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

f(x) =

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить график функции f(x) и F(x). Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX, моду Мо и медиану Ме. К = 8, R = 12.

Функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины найдем по формуле:



Поэтому



Построить графики функций f(x) и F(x). Среднее значение Х вычисляем по формуле:

ЕХ =

Для нахождения дисперсии Х воспользуемся формулами:

Е(Х²) =

DX = 40,5 – (4,5)².

Из графика видно, что f(x) достигает максимума в точке х = 1/2 и, значит, Мо = 12. Для нахождения медианы Ме нужно решить уравнение х²/ 256 = 1/2, или х² = 128. Имеем х =  11,31, Ме = 11,31.

6

3

6 12 х

График функции плотности вероятности f(x).

6

3

6 12 х

График функции распределения F(х).
Работа №3.

Задача 3.1

По выборкам А и В

• 
  составить вариационный ряд;
  
• 
  вычислить относительные частоты (частости) и накопленные частости;
  
• 
  построить графики вариационного ряда (полигон и гистограмму);
  
• 
  составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
  
• 
  вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
  

среднее арифметическое ,

дисперсию ,

стандартное отклонение ,

моду Мо,

медиану Ме.
Задача 3.2.

Вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности ,S², S по

выборкам А и В (используя результаты, полученные в задаче 3.1.), а также по первому столбцу выборки В.
Выборка А6

4	10	7	6	3	7	8	7	4	7	10	7	3	9	3
1	5	8	10	11	6	5	7	6	3	8	4	3	8	4
10	6	8	7	8	7	7	7	4	6	7	10	4	4	0
5	4	4	8	5	5	10	7	3	8	5	6	6	6	3
5	7	8	5	7	10	9	10	8	2	3	6	9

N = 73 Начало первого интервала: 0 Длина интервала: 1
Выборка В6

324	296	313	323	312	321	322	301	337	322	329	307
301	328	312	318	327	315	319	317	309	334	323	340
326	322	314	335	313	322	319	325	312	300	323	335
339	326	298	298	337	322	303	314	315	310	316	321
312	315	331	322	321	336	328	315	338	318	327	323
325	314	297	303	322	314	317	330	318	320	312	333
332	319	325	319	307	305	316	330	318	335	327	321
332	288	322	334	295	318	329	305	310	304	326	319
317	316	316	307	309	309	328	317	317	322	316	304
303	350	309	327	345	329	338	311	316	324	310	306
308	302	315	314	343	320	304	310	345	312	330	324
308	326	313	320	328	309	306	306	308	324	312	309
324	321	313	330	330	315	320	313	302	295	337	346
327	320	307	305	323	331	345	315	318	331	322	315
304	324	317	322	312	314	308	303	333	321	312	323
317	288	317	327	292	316	322	319	313	328	313	309
329	313	334	314	320	301	329	319	332	316	300	300
304	306	314	323	318	337	325	321	322	288	313	314
307	329	302	300	316	321	315	323	331	318	334	316
328	294	288	312	312	315	321	332	319

N = 237 Начало первого интервала: 285 Длина интервала: 7
Решение задач.

Задача 3.1.

Сначала решим задачу по выборке А. Находим: х_min = 0 и х_max = 11. Размах (11 - 0 + 1 = 12) довольно мал, поэтому составим вариационный ряд по значениям (табл. 1).
Таблица 1

xi	ni	ni/n	Накопленные частости
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	1 1 1 8 9 8 9 14 10 3 8 1	0,0137 0,0137 0,0137 0,1096 0,1233 0,1096 0,1233 0,1918 0,1370 0,0411 0,1096 0,0137	0,0137 0,0274 0,0411 0,1507 0,274 0,3836 0,5069 0,6987 0,8357 0,8768 0,9864 1,0001
	73	1,0001	-

Все относительные частоты вычисляем с одинаковой точностью. При построении графиков изображаем на оси х значения с 0 по 11 и на оси n_i/n - значения с 0 по 0,25 (рис.1 и 2).



Рис. 1. Полигон вариационного ряда выборки А


Рис. 2. Гистограмма вариационного ряда выборки А.

Эмпирическую функцию распределения F^*(x) находим, используя формулу и накопленные частости, из табл. 1. Имеем:




При построении графика F^*(x) откладываем значения функции в интервале от 0 до 1,2 (рис. 3).

Рис.3. График эмпирической функции распределения выборки А.

Вычисление сумм для среднего арифметического и дисперсии по формулам и по вариационному ряду (см. табл. 1) оформляем в табл. 2. По максимальной частоте определяем с = 7, а шаг таблицы k = 1.

Далее по формуле вычисляем среднее арифметическое и дисперсию

Таблица 2

xi	ni
0	1	-7	-7	49	49
1	1	-6	-6	36	36
2	1	-5	-5	25	25
3	8	-4	-32	16	128
4	9	-3	-27	9	81
5	8	-2	-16	4	32
6	9	-1	-9	1	9
7	14	0	0	0	0
8	10	1	10	1	10
9	3	2	6	4	12
10	8	3	24	9	72
11	1	4	4	16	16
	73		-58		470

Стандартное отклонение Модой Мо является значение с максимальной частотой, т.е. Мо = 7. Медианой Ме служит 37-е значение вариационного ряда: Ме = 7.

Теперь по выборке В найдем х_min = 288 и х_max = 350. Размах (350 - 288 + 1 = 63) достаточно большой, поэтому составим вариационный ряд по интервалам значений, используя при выборке заданные начало первого интервала и длину интервала (табл.3).
Таблица 3

Интервалы	ni	ni/n	Накопленные частости
285-292 292-299 299-306 306-313 313-320 320-327 327-334 334-341 341-348 348-355	4 8 22 36 62 50 33 16 5 1	0,017 0,034 0,093 0,153 0,262 0,211 0,140 0,068 0,022 0,004	0,017 0,051 0,144 0,295 0,557 0,768 0,907 0,975 0,996 1,000
	237	1,000	-

Рис. 4. Полигон вариационного ряда выборки В.

Рис. 5. Гистограмма вариационного ряда выборки В.
При построении графиков откладываем по оси х значения с 285 по 355 и по оси n_i/n - значения с 0 по 0,3(рис. 4 и 5).

Далее учитываем, что в качестве представителя каждого интервала взят его конец. Принимая за координаты точек концы интервалов и соответствующие накопленные частости (см. табл. 3) и соединяя эти точки прямыми, построим график эмпирической функции распределения (рис. 6).
Рис. 6. График эмпирической функции распределения выборки В.
Для вычисления среднего арифметического и дисперсии по формулам и по табл. 3 определим с = 316 и k = 7. Суммы вычислим с помощью табл. 4 (табл. 4).

По формулам вычисляем среднее арифметическое и дисперсию

Стандартное отклонение Моду находим по формуле:

Мо = 313 + 7  = 317,8.

Таблица 4

Интервал	Середина интервала	ni		ni	()2	()2ni
285-292 292-299 299-306 306-313 313-320 320-327 327-334 334-341 341-348 348-355	289 296 303 310 317 324 331 338 345 352	4 8 22 36 62 50 33 16 5 1	-3,8 -2,8 -1,8 -0,8 0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1	-1114,7 -845,7 -562,7 -265,7 45,3 370,3 709,3 1062,3 1429,3 1810,3	14,9 8,2 3,4 0,7 0,02 1,3 4,6 9,9 17,2 26,4	4299,6 2416,3 1045 227,8 6,5 423,2 1519,9 3338,6 5921,3 9310
	-	237		2637,9	-	28508,3

Медиану находим по формуле: Ме =.
Задача 3.2.

По формуле находим несмещенные оценки дисперсии и стандартного отклонения:

n = 73, S^-2 = 5,8143, S² = 73/72  5,8143 = 5,8951, S = = 2,43.
Для выборки В имеем

= 393,92, = 177,47, n = 237, S² = 237/236  177,47 = 178,222, S = 13,35.

Несмещенные оценки для первого столбца выборки В получаются аналогично (если эта выборка содержит мало повторяющихся элементов, вариационный ряд можно не составлять).