Презентация расчет ПД. Расчет числа ядер продуктов деления и их активности в реакторе
 Скачать 476.94 Kb.
|
|
РАСЧЕТ ЧИСЛА ЯДЕР ПРОДУКТОВ ДЕЛЕНИЯ И ИХ АКТИВНОСТИ В РЕАКТОРЕ Основные обозначения
Для расчета количества ядер продуктов деления используют следующее дифференциальное уравнение: dNi = Nд· уi·dt - (λi + φ·σi)Nidt Если обозначить первый и второй члены в уравнении латинскими буквами A и B, то это уравнение примет вид: dNi = A·dt-B·Nidt Интегрируя предыдущее уравнение, получим Nti =( A/B)·[1 - ехр(-В·t)] + N0i·exp(-B·t) Получающиеся в результате деления ядра являются нейтронно-избыточными и претерпевают многократный бета-распад, в результате чего образуется цепочка бета-активных радионуклидов. Большинство и них короткоживущие. Принимая это во внимание, взаимодействием образовавшихся ядер с нейтронным потоком можно пренебречь. Тогда А = Nд·уi и В = λi а уравнение принимает вид: Ni = (Nд·уi / λi)·[1 - exp(-λi·t)] + N0i ехр(-λi·t) 1. Расчет активности первых короткоживущих членов цепочки Даже при небольшом времени работы реактора для первых короткоживущих радионуклидов экспонентой в скобке можно пренебречь, тогда, также пренебрегая взаимодействием образовавшихся ядер с нейтронным потоком и, считая, что начальное количество ядер равно нулю, получим: Аi = λi·Ni = Nд·уi То есть, при таком допущении активность первого и следующих за ним короткоживущих нуклидов равна скорости образования первого. 2. Расчет для последующих членов цепи с периодом полураспада, сравнимым со временем работы реактора В этом случае используется в полном виде уравнение: Ni = (Nд·уi / λi)·[1 - exp(-λi·t)] + N0i ехр(-λi·t) с единственной оговоркой, что N0i = 0 в начальный период времени. 3. Расчет для члена цепи с большим периодом полураспада Если λi·t«1, то экспоненту в скобке в первом члене предыдущего уравнения можно разложить в ряд Тейлора и ограничиться первыми двумя членами. Тогда: Ni = (Nд·уi·t) + N0i разложение экспоненциальной функции в степенной ряд выглядит следующим образом: Из уравнения следует, что количество ядер радионуклида является линейной функцией времени работы реактора t, как и в случае стабильных ядер 4. Расчет для члена цепи, следующего за долгоживущем радионуклидом При расчете активности необходимо учитывать период полураспада дочернего радионуклида. Если он много меньше работы самого реактора, в этом случае наступает вековое равновесие и активность дочернего продукта равна активности материнского, определенной по предыдущему уравнению. В тех случаях, когда это условие не соблюдается, необходимо использовать более сложное дифференциальное уравнение: dNi2 = Nд·уi·[1 - exp(-λi1·t)]·dt - λi2·Ni2·dt где подстрочные индексы 1 и 2 относятся к материнскому и дочернему радионуклидам. Первый член в уравнении отражает распад материнского радионуклида и численно равен его активности, умноженной на dt, а второй член отражает распад дочернего радионуклида Для интегрирования уравнения выразим Ni2 = uv. Тогда dNi2 = udv + vdu. Следовательно после подстановки в уравнение получим: udv + vdu + λi2·uv·dt = Nд·уi·[1 - exp(-λi1·t)]·dt Примем dv + λi2·v·dt = 0, или v = exp(-λi2·t) Тогда уравнение примет вид: exp(-λi2·t)·du = Nд·уi·[1 - exp(-λi1·t)]·dt После интегрирования получим: Ni2 = uv = Nд·уi·[(1/λi2) - exp(-λi1·t)/(λi2- λi1)] + C· exp(-λi2·t) Постоянную интегрирования C определяем из начального условия Ni2 = Ni20 при t = 0. Тогда получим: Ni2 = Ni20· exp(-λi2·t) + (Nд·уi/λi2)·[1 - exp(-λi2·t)] – [Nд·уi/(λi2 - λi1)]·[exp(-λi1·t) - exp(-λi2·t)] или при Ni20 = 0 : Ni2 = (Nд·уi/λi2)·[1 - exp(-λi2·t)] – [Nд·уi/(λi2 - λi1)]·[exp(-λi1·t) - exp(-λi2·t)] 5. Расчет в случае изотопа с большим сечением захвата нейтронов Для более точного расчета активности достаточно долгоживущих ядер следует учитывать их взаимодействие с нейтронным потоком Тогда уравнение dNi = Nд· уi·dt - (λi + φ·σi)Nidt преобразуется в: dNi = Nд· уi·dt - (λi + φ·σi)Nidt - φ·σi·Nidt Его интегрирование позволит получить следующее выражение: Ni = [Nд·уi /(λi + φ·σi)]·{1 – exp[-(λi + φ·σi)·t]} Для короткоживущих ядер справедливо допущение, что произведение (λi + φ·σi)·t много больше 1 и экспонентой можно пренебречь по сравнению с 1. Соответственно получим: Ai = λi·Ni = Nд·уi·λi/(λi + φ·σi) Ni = Nд·уi /(λi + φ·σi) Примечание: 1 барн равен 10−28 м² = 10−24 см² Для расчета предварительно необходимо определить значение числа делений – Nд, которое зависит от тепловой мощности реактора W МВт. Величина W составляет для реакторов РБМК-1000 – 3200 МВт, ВВЭР-1000 – 3000 МВт и ВВЭР-440 – 1375 МВт. Значение Nд рассчитывается по уравнению Nд = W·106/(3,154·10-11) где 3,154·10-11 – средняя энергия (Дж), выделяющаяся при одном делении: 194,14 МэВ для урана-235; 200,14 МэВ для плутония-239; 1 МэВ = 1,602·10-13 Дж. |