Главная страница
Навигация по странице:

  • Лабораторная работа №1

  • График решения

  • График ошибок

  • решение. Расчет диска на прочность и решение краевой задачи


    Скачать 94.5 Kb.
    НазваниеРасчет диска на прочность и решение краевой задачи
    Дата27.10.2022
    Размер94.5 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файларешение.doc
    ТипЛабораторная работа
    #757102

    Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

    «Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева-КАИ»

    Институт авиации, наземного транспорта и энергетики

    Кафедра «Реактивных двигателей и энергетических установок (РДЭУ)»

    Лабораторная работа №1

    на тему:

    «Расчет диска на прочность и решение краевой задачи»


    Выполнил: студент группы 1162

    Проверил: доцент кафедры РДиЭУ


    Казань, 2022

    Задание:

    Для указанного дифференциального уравнения, описывающего уравнение равновесия конструкции, с использованием пакета символьной математики (например, WolframMathematica или др.) требуется:

    Придуманные для реализации краевой задачи любые граничные условия;

    Решение краевой задачи (аналитическое, точное решение);

    Решение краевой задачи приближенное с использованием (в таблице указано количество членов ряда в аппроксимирующей функции, а также количество промежуточных точек для сеточной области): метода моментов (ММ), Бубнова-Галеркина (БГ), коллокаций (К), метода конечных разностей (КР), метода Рэлея-Ритца (РР);

    Показ на одном графике всех шести решений (линии д.б. отличимы друг от друга, хорошо оформленные со всеми необходимыми пояснениями и т.д.);
    Вид дифференциального уравнения конструируется так:

    a – количество букв в имени; b - количество букв в фамилии; c - количество букв в отчестве;


    

    Input interpretation

    solve y'(x) = -2 y(x)

    y(0) = 1 using Runge-Kutta-Fehlberg method from x = 0 to 10

    Solution plot

    (using initial stepsize 1)

    Stepwise results

    step | x | y | global error

    0 | 0 | 1 | 0

    ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮

    56 | 9.42414 | 4.82222×10^-9 | 1.69856×10^-9

    Butcher tableau

    1/4 | 1/4 | | | | |

    3/8 | 3/32 | 9/32 | | | |

    12/13 | 1932/2197 | -7200/2197 | 7296/2197 | | |

    1 | 439/216 | -8 | 3680/513 | -845/4104 | |

    1/2 | -8/27 | 2 | -3544/2565 | 1859/4104 | -11/40 |

    | 25/216 | 0 | 1408/2565 | 2197/4104 | -1/5 | 0

    | -1/360 | 0 | 128/4275 | 2197/75240 | -1/50 | -2/55

    Symbolic iteration code

    y'(x) = f(x, y) = -2 y(x), y(0) = 1

    y_n + 1 = y_n + h ((25 k_1)/216 + (1408 k_3)/2565 + (2197 k_4)/4104 - k_5/5)

    x_n + 1 = x_n + h

    k_1 = f(x_n, y_n)

    k_2 = f(x_n + h/4, y_n + (h k_1)/4)

    k_3 = f(x_n + (3 h)/8, y_n + (3 h k_1)/32 + (9 h k_2)/32)

    k_4 = f(x_n + (12 h)/13, y_n + (1932 h k_1)/2197 - (7200 h k_2)/2197 + (7296 h k_3)/2197)

    k_5 = f(x_n + h, y_n + (439 h k_1)/216 - 8 h k_2 + (3680 h k_3)/513 - (845 h k_4)/4104)

    k_6 = f(x_n + h/2, y_n + -(8 h k_1)/27 + 2 h k_2 - (3544 h k_3)/2565 + (1859 h k_4)/4104 - (11 h k_5)/40)

    where y_0 = | 1

    x_0 = | 0

    h = | 1

    n = | 0, ..., 10

    Stability region in complex stepsize plane
    stability function: z^5/104 + z^4/24 + z^3/6 + z^2/2 + z + 1

    Exact solution of equation

    y(x) = e^(-2 x)

    Initial stepsize comparison

    Initial stepsize comparison

    Method comparison

    method | global error | log scale comparison

    forward Euler method | -1.00 |

    midpoint method | -1.00 |

    Heun's method | -1.00 |

    third-order Runge-Kutta method | -0.0000169 |

    fourth-order Runge-Kutta method | -0.0000169 |

    Runge-Kutta-Fehlberg method | 5.78×10^-10 |

    Bogacki-Shampine method | 4.84×10^-9 |

    Dormand-Prince method | -1.43×10^-10 |

    backward Euler method | 5.14 |

    implicit midpoint method | 0.368 |

    (global error at x = 10

    using initial stepsize 1)

    Mathematica input

    RKFCoefficients[4, p_] := N[{{{1/4}, {3/32, 9/32}, {1932/2197, -7200/2197, 7296/2197}, {439/216, -8, 3680/513, -845/4104}, {-8/27, 2, -3544/2565, 1859/4104, -11/40}}, {25/216, 0, 1408/2565, 2197/4104, -1/5, 0}, {1/4, 3/8, 12/13, 1, 1/2}, {-1/360, 0, 128/4275, 2197/75240, -1/50, -2/55}}, p];

    NDSolve[{y'[x] == -2 y[x], y[0] == 1}, y, {x, 0, 10}, Method-> {"ExplicitRungeKutta", "Coefficients" -> RKFCoefficients, "DifferenceOrder" -> 4, "EmbeddedDifferenceOrder" -> 5, "StiffnessTest" -> False}, StartingStepSize -> 1, MaxStepFraction -> 1/10, WorkingPrecision -> MachinePrecision]

    График решения

    • Скрыть график ошибок





    График ошибок




    написать администратору сайта