Расчетно-графическое Задание N1_2020. Расчетнографические задания по общей физике. 1

• Название: Расчетнографические задания по общей физике. 1
• Дата: 11.05.2023
• Размер: 4.92 Mb.
• Имя файла: Расчетно-графическое Задание N1_2020.doc
• Тип: Задача; #1121774
• страница: 6 из 7

17. Действие электрического и магнитного полей на движущиеся заряды
Пример 17.1. Найти траекторию движения электрона в однородном магнитном поле, если , где Тл, м, м/с.

Математическая модель
(1)
где - векторное произведение, которое можно найти по правилу Крамера
. (2)
Решение
Подставляя начальные значения в (2) получаем уравнение движения для электрона
(3)
В декартовых координатах уравнение движения (3) может быть представлено в виде системы уравнений
(4)
Эта задача допускает аналитическое решение, электрон движется по винтовой линии радиуса с шагом винтовой линии и временем обращения (периодом) . Для вычисления этих параметров заметим, что два последних уравнения образуют замкнутую подсистему
(5)
Переходя к переменной , получаем однородное дифференциальное уравнение
(6)
где -круговая частота электрона на проекции траектории в плоскости , тогда период . Решение уравнения (6) имеет вид
, (7)
соответственно, , . В момент времени , м/с, м/с, следовательно, Чтобы вычислить радиус витка винтовой линии необходимо интегрировать второе и третье уравнение системы (4), тогда
(8)
Применяя начальные условия к (8), получаем , , тогда из (8) легко можно получить каноническое уравнение второго порядка
(9)
Таким образом, ось винтовой линии параллельна оси и пересекает координатную плоскость в точке радиус витка линии равен , а шаг винтовой линии равен . Подставляя численные значения получаем: с^-1, м, с, м.

Для графического представления траектории движения иногда проще рассчитать и построить сложную пространственную кривую, чем делать график при помощи чертежных приспособлений. Для этого в составе всех универсальных математических пакетов имеется графический инструментарий. Здесь приведен рабочий документ пакета Maple, в котором приведен код расчета траектории электрона
>

>

>

>

>



>

>

>

>



>



>

>

>



>

Ответ: с^-1,

м,

с,

м

***
17.1. Электрон, обладающий энергией 1000 эВ, влетает в однородное электрическое поле E= 800 В/см, перпендикулярно силовым линиям поля. Каковы должны направление и величина магнитного поля B, чтобы электрон не испытывал отклонений? Построить траекторию движения электрона.

1 7.2. Электрон, ускоренный напряжением 200 В, движется в магнитном поле Земли со скоростью, которая перпендикулярна линиям магнитной индукции B. Радиус окружности движения электрона 0,68 м. Найти индукцию магнитного поля Земли. Построить траекторию движения электрона.

17.3. Протон, ускоренный разностью потенциалов 250 кВ, пролетает поперечное однородное магнитное поле с индукцией 0.1 Тл. Толщина области 5 см. Построить траекторию протона и найти угол отклонения от первоначального направления движения.

1 7.4. Точечный заряд 10 мКл влетает со скоростью 5 м/с в однородное магнитное поле. Вектор скорости заряда и вектор магнитной индукции поля взаимно перпендикулярны. Найдите величину и направление силы, действующей на заряд. Индукция магнитного поля 2 Тл. Построить траекторию движения заряда.
17.5. Между дуантами циклотрона приложено напряжение 40 кВ. Индукция магнитного поля, заставляющего двигаться частицы двигаться по окружности равна 0,8 Тл. Определить разность радиусов траекторий протона после 4-го и 9-го прохождения щели. Построить траекторию движения заряда.

17.6. Циклотрон предназначен для ускорения протонов до энергии 8 10^-13 Дж. Определить наибольший радиус орбиты, по которой движется протон, если индукция магнитного поля равна 1 Тл. Построить траекторию движения протона.

17.7. Протоны ускоряются в циклотроне так, что максимальный радиус орбиты R =2 м, Частота генератора циклотрона = 1 МГц, эффективное напряжение между дуантами U = 100 В. Пренебрегая шириной зазора между дуантами, найти полное время процесса ускорения протона и приближенное значение пройденного им при ускорении пути. Построить траекторию движения протона.

1 7.8. Между дуантами циклотрона приложено напряжение 30 кВ. Индукция магнитного поля, заставляющего двигаться частицы двигаться по окружности равна 0,8 Тл. Определить разность радиусов траекторий протона после 5-го и 10-го прохождения щели. Построить траекторию движения заряда.
17.9. Электрон влетает в пространство, где на него действуют два взаимно перпендикулярных магнитных поля с магнитными индукциями 1,73 мТл и 2,30 мТл. Начальная скорость электрона м/с и перпендикулярна векторам магнитных полей. Определить величину и направление силы, действующей на электрон. Построить траекторию движения электрона.

17.10. Электрон влетел в однородное электрическое поле, напряженность которого изменяется по гармоническому закону амплитудой 100 В/см и частотой 1 МГц. Начальная скорость частицы направлена перпендикулярно направлению силовых линий поля. Определить уравнение траектории частицы и длину пути, если электрон обладал начальной кинетической энергией 10 эВ и толщина области поля составляет 10 см. Построить траекторию движения электрона.

18. Колебания
Пример 18.1. Частица массы 0.2 кг находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты так

, (1)

где Дж/м² и Дж/м – постоянные. Найти циклическую частоту и период малых колебаний частицы около положения равновесия. Построить график зависимости .

Решение

Построим график потенциальной энергии, для уточнения вида кривой найдем точки экстремума
, , м, .


Таким образом, вычисленная точка определяет минимум потенциальной энергии, построим график на интервале от 0 до

Разложим в окрестности экстремума в ряд и, учитывая малые колебания, учтем первых два ненулевых членов ряда:
(2)


Рис.18.1. Потенциальная энергия частицы: - черная сплошная линия, параболическая аппроксимация (2) – красная штриховая линия.
Найдем уравнение движения маятника, для этого запишем уравнение Ньютона
или

Перейдем к переменной , тогда
или
Тогда частота малых колебаний равна
или , с^-1,
а период малых колебаний равен
с.

Чтобы построить график зависимости (фазовый портрет) необходимо доопределить задачу, например, будем считать, что в крайнем правом положении координата частицы равна м (см. рис.6.1).

Тогда колебания тела описываются такой системой уравнений



где .

Составим программу (Python).

# Фазовая траектория частицы

import math as mt

import matplotlib.pyplot as plt

a=0.001; b=0.01; m=0.2; x1=0.21;

xm=2.*a/b; A=x1-xm;

w=mt.sqrt(b**4/(8.*m*a**3)); T=2.*mt.pi/w;

tmin=0.0; tmax=2.*T; NT=500; dt=(tmax-tmin)/NT;

ti=[]; X=[]; V=[];

ti.append(tmin); X.append(x1); V.append(0.);

for i in range(NT):

t1=tmin+i*dt;ti.append(t1);

X.append(xm+A*mt.cos(w*t1));

V.append(A*w*mt.sin(w*t1));

plt.plot(X,V,'k-')

plt.grid(True)

plt.xlabel('$x$',fontsize=16)

plt.ylabel('$v$',fontsize=16)

plt.show()
По результатам расчета построим фазовый портрет движения тела



Рис.18.2. Фазовый портрет движения частицы.
В начальный момент времени тело находится в крайнем правом положении, затем начинает смещаться влево по часовой стрелке по эллиптической траектории, как показано на рис.6.2, делая полный оборот за 2.51 с.
Ответ: с^-1, с.
***
18.1. Тело совершает колебания по закону см. Определите амплитуду смещения, скорости, ускорения, если масса тела 1 кг, начальная фаза равна нулю. Найдите полную энергию тела. Построить график зависимости (фазовый портрет).

18.2. Тело совершает колебания по закону см. Определите амплитуду смещения, скорости, ускорения, если масса тела 2 кг, начальная фаза равна нулю. Найдите полную энергию тела. Построить график зависимости (фазовый портрет).

18.3. Однородный диск массы 3 кг и радиуса 20 см скреплен в центре диска с тонким стержнем так, что стержень перпендикулярен плоскости диска. Другой конец стержня закреплен жестко и неподвижно. Коэффициент кручения стержня (отношение приложенного вращающего момента к углу закручивания) равен 6.00 Н·м/рад. Определить: а) частоту малых крутильных колебаний; б) амплитуду и начальную фазу колебаний, если в начальный момент времени угол равен 0.00600 рад и скорость 0.800 рад/с. Построить график зависимости в диапазоне времен от 0 до .

18.4. Материальная точка совершает колебания по закону синуса с амплитудой 10 см, частотой 2 Гц и начальной фазой 30 градусов. Полная энергия колеблющейся точки 0.077 Дж. Через какой промежуток времени от начала движения кинетическая энергия станет равной потенциальной? Построить график зависимости в диапазоне времен от 0 до .

18.5. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями см и см. Найдите уравнение траектории точки. Определите скорость и ускорение точки в момент времени 0.5 с. Построить траекторию движения точки .

18.6. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия х=0 с частотой 4.00 с^-1. В некоторый момент времени координата частицы равна 25 см и ее скорость 100 см/с. Найти координату и скорость частицы через 2.4 с после этого момента времени. Построить график зависимости (фазовый портрет)

18.7. Определите амплитуду гармонических колебаний материальной точки, если полная энергия колеблющейся точки 0.04 Дж, а максимальная сила, действующая на точку, равна 2 Н. Привести поясняющий рисунок и указать основные параметры

18.8. Частица массы 0.2 кг находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты так , где Дж и м^-1 – постоянные. Найти циклическую частоту и период малых колебаний частицы около положения равновесия. Построить график зависимости .

18.9. На доске лежит груз массой 10 кг. Доска совершает гармонические колебания по закону косинуса в вертикальном направлении с периодом 0.5 с и амплитудой 2 см. Определите величину давления груза на доску в момент времени 2 с и полную энергию колеблющегося груза. Начальная фаза колебаний равна нулю. Построить график зависимости .

18.10. Найти период малых поперечных колебаний шарика массы 40 г, укрепленного на середине натянутой струны длины 1 м. Силу натяжения струны считать постоянной и равной 10 Н. Массой струны и силами тяжести пренебречь. Построить график зависимости .
18.11. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре дано в виде А. Индуктивность катушки 1 Гн. Найдите 1) период колебаний, 2) емкость конденсатора, 3) максимальную разность потенциалов на обкладках конденсатора, 4) максимальную энергию электрического поля, 5) максимальную энергию магнитного поля. Построить векторную диаграмму напряжений и привести графики и зависимость энергии в и от времени.

18.12. Колебательный контур имеет индуктивность 0.23 Гн, емкость конденсатора 7 мкФ. Сопротивление контура 40 Ом. Конденсатор заряжен 0.56 мКл. Найдите: а) период колебаний, б) логарифмический декремент затухания колебаний λ. Напишите уравнение зависимости разности потенциалов на обкладках конденсатора от времени. Построить векторную диаграмму напряжений и привести графики и зависимость энергии в и от времени.

18.13. Заряженный конденсатор емкостью 0.35 мкФ подключили к катушке индуктивностью 0.25 мГн. Через какое время после подключения катушки энергия электрического поля станет равной энергии магнитного поля катушки? Построить графики энергий. Активным сопротивлением контура пренебречь.

18.14. В колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивностью 2.5 мГн, происходят электромагнитные колебания, при которых максимальная сила тока 10 мА. Определить емкость конденсатора, если максимальная разность потенциалов на его обкладках достигает 50 В, а активным сопротивлением катушки можно пренебречь. Построить векторную диаграмму напряжений и привести графики и зависимость энергии в и от времени.

18.15. Определить частоту собственных колебаний колебательного контура, который состоит из конденсатора емкостью 2 мкФ и катушки длиной 10 см и радиусом 1 см, содержащим 500 витков. Учесть, что происходят электромагнитные колебания, при которых максимальная сила тока в контуре 10 мА. Сопротивлением катушки можно пренебречь. Построить векторную диаграмму напряжений и привести графики и зависимость энергии в и от времени.

18.16. Колебательный контур имеет индуктивность 1.6 мГн, емкость конденсатора 0.04 мкФ и максимальную разность потенциалов на обкладках конденсатора 200 В. Чему равна максимальная сила тока в контуре? Активное сопротивление контура мало. Построить векторную диаграмму напряжений и привести графики и зависимость энергии в и от времени.