Пирамида. Правильная пирамида. Усечённая пирамида.. Рассмотрим многоугольник А
![]()
|
Пирамида. Рассмотрим многоугольник А1А2 … Аn и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку Р отрезками с вершиной многоугольника, получим n треугольников (рисунок 1): РА1А2, РА2А3 …, РАnА1. Многогранник, состоящий из n-угольника А1А2 … Аn и n треугольников РА1А2, РА2А3 …, РАnА1, называется пирамидой. Многоугольник А1А2 … Аn – основание, треугольники РА1А2, РА2А3 …, РАnА1 – боковые грани. Точка Р – вершина, отрезки РА1, РА2 , …, РАn – боковые ребра. Обозначение: РА1А2 … Аn – n-угольная пирамида. ![]() ![]() Bn B1 С β B2 An H A1 α Е A2 РИС. 1 Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания – высота (РН). PE – апофема (высота боковой грани для правильной пирамиды) Пирамида называется правильной, если её основание правильный многоугольник, а отрезок соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой (РЕ) . ![]() Центр правильного многоугольника – центр вписанной и описанной окружности. Тогда последнее определение можно сформулировать следующим образом: пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а высота пересекает основание в центре вписанной и описанной окружности. Свойства правильной пирамиды Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу. Все боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой. Высота пирамиды пересекает основание в центре вписанной и описанной окружности. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Теорема. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части; сечением этой плоскости является многоугольник, подобный основанию; площади сечения и основания относятся друг к другу как квадраты их расстояний от вершины. Усеченная пирамида. Проведем в пирамиде РА1А2 … Аn секущую плоскость , параллельную плоскости основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В1В2,…, Вn (рисунок 1). Плоскость разбивает пирамиду на 2 многогранника. Многогранник, гранями которого является n-угольники А1А2 …Аn и В1В2 …Вn (нижнее и верхнее основание), расположенные в параллельных плоскостях, и n-4х угольников А1А2В2В1, А2А3В3В2, …, АnА1В1Вn (боковые грани), называется усеченной пирамидой. Отрезки А1В1, А2В2, …, АnВn – боковые ребра. Обозначение: А1А2 … АnВ1В2 … Вn – усеченная пирамида Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой (СН). Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции. Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильного усечения пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами. Тетраэдр. Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DAB, DBC и DCA. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DAB, DBC и DCA, называется тетраэдром и обозначается DABC. ![]() грани (4) ребра (6) вершины тетраэдра (4) Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Одна из граней тетраэдра называется основанием, а три другие – боковыми гранями. Сечения тетраэдра: Тетраэдр имеет 4 грани, то его сечениями могут быть только треугольники четырехугольники ![]() Правильный тетраэдр состоит из 4х равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 3х треугольников, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180. Симметрия в правильном тетраэдре: Тетраэдр имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер. Тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру. ![]() ![]() К правильным относятся 5 видов многогранникам: Куб Правильный тетраэдр Правильный октаэдр Правильный икосаэдр Правильный додекаэдр С кубом и тетраэдром мы уже познакомились. Теперь рассмотрим остальные фигуры. К ![]() Правильный октаэдр состоит из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 4х треугольников, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240. ![]() Правильный икосаэдр состоит из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5ти треугольников, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300. ![]() Правильный додекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной 3х правильных пятиугольников, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324. Правильный октаэдр, правильный икосаэдр и правильный додекаэдр имеют центр симметрии и и несколько осей и плоскостей симметрии. Попробуйте подсчитать их число. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды - сумма площадей ее боковых граней. Sполн = Sбок + Sосн Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна ½ P · ℓ, где р – периметр, ℓ - апофема (высота) Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна полусумме периметров оснований на апофему. S бок = ½(Р+р) · ℓ ![]() ![]() ![]() ![]() Вопросы для выявления уровня первичного запоминания Какая фигура называется пирамидой? Ответ: Многогранник, состоящий из n-угольника А1А2 … Аn и n треугольников РА1А2, РА2А3 …, РАnА1, называется пирамидой. Какая фигура называется усеченной пирамидой? Ответ: Многогранник, гранями которого является n-угольники А1А2 …Аn и В1В2 …Вn (нижнее и верхнее основание), расположенные в параллельных плоскостях, и n-4х угольников А1А2В2В1, А2А3В3В2, …, АnА1В1Вn (боковые грани), называется усеченной пирамидой. Какая формула выражает площадь полной поверхности пирамиды? Ответ: Sполн = Sбок + Sосн Какая формула выражает площадь боковой поверхности правильной пирамиды? Ответ: Sбок = ½ P · ℓ, где р – периметр, ℓ - апофема (высота) Какая формула выражает площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды? Ответ: S бок = ½(Р+р) · ℓ Задания. Сторона правильной треугольной пирамиды равна ![]() Высота правильной треугольной пирамиды равна ![]() ![]() Высота правильной треугольной пирамиды равна ![]() ![]() |