Методы решения некорректно поставленных задач. Методы_решения_некорректно_поставленных_задач_-_StudentLib. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

• Название: Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
• Анкор: Методы решения некорректно поставленных задач
• Дата: 13.07.2022
• Размер: 270.5 Kb.
• Имя файла: Методы_решения_некорректно_поставленных_задач_-_StudentLib.com[1.doc
• Тип: Документы; #630246
• страница: 2 из 4

2.2. Квазирешения
2.2.1. Пусть оператор А в уравнении (2; 0,1) — вполне непрерывный. Построение устойчивого к малым измене­ниям правой части и приближенного решения уравнения (2; 0,1) по формуле

z=A^-1u (2; 2,1)

возможно в тех случаях, как отмечалось в 2.1. , когда ре­шение ищется на компакте МF и правая часть уравне­ния принадлежит множеству N = AM.

Обычно не существует эффективных критериев, поз­воляющих установить принадлежность элемента и множеству N. Это приходится предполагать известным априори. В практических задачах часто вместо точного значения правой части и_T нам известно ее приближенное значение u¹, которое может не принадлежать множеству N=AM. В этих случаях нельзя строить приближенное решение уравнения (2; 0,1) по формуле (2; 2,1), так как сим­вол А^-1u может не иметь смысла.

2.2.2. Стремление устранить затруднения, связанные с от­сутствием решения уравнения (2; 0,1) при неточной правой части, привело В. К. Иванова к понятию квазирешения уравнения (2; 0,1) — обобщению понятия решения этого уравнения.

Элемент z¹М, минимизирующий при данном и функ­ционал _U(Az¹,и) на множестве М, называется квазиреше­нием уравнения (2; 0,1) на М,



Если М — компакт, то квазирешение, очевидно, существу­ет для любого иU и если, кроме того, иAM, то ква­зирешение z¹ совпадает с обычным (точным) решением уравнения (2; 0,1). Квазирешение может быть и не одно. В этом случае под квазирешенпем будем разуметь любой элемент из множества квазирешений D.

Можно указать достаточные условия, при которых квазирешение единственно и непрерывно зависит от пра­вой части и.

Напомним определение. Пусть элемент у и множество Q принадлежат пространству U. Элемент q множества Q называется проекцией элемента у на множество Q, q=Ру, если выполняется равенство


где


Теорема 1.Если уравнение Аz=u может иметь на компакте М не более одного решения и проекция каждого элемента uU на множество N = AM единственна, то квазирешение уравнения (2; 0,1) единственно и непре­рывно зависит от правой части u.

Доказательство. Пусть z¹ — квазирешение и и¹=Аz¹. Очевидно, и¹ есть проекция элемента u на множе­ство N = AM. По условию теоремы она определяется од­нозначно. Отсюда, в силу взаимной однозначности ото­бражения множества М на множество N, следует един­ственность квазирешения z¹.

Очевидно, что z¹ = А^-1u=А^-1Ри. Согласно лемме о непрерывности обратного отображения компакта (см. предыдущий параграф) оператор А^-1 непрерывен на N. Оператор проектирования Р непрерывен на U. Поэтому А^-1P— непрерывный на U оператор и, следовательно, квазирешение z¹ непрерывно зависит от правой части и.

Таким образом, при переходе к квазирешению восста­навливаются все условия корректности, т. е. задача на­хождения квазирешения уравнения (2; 0,1) на компакте М является корректно поставленной.

Если условие единственности решения уравнения (2; 0,1) не выполнено, то квазирешения образуют некото­рое множество D элементов компакта М. В этом случае без упомянутых в теореме 1 ограничений на множество N имеет место непрерывная зависимость множества квази­решений D от и в смысле непрерывности многозначных отображений. Для случая, когда уравнение (2; 0,1) линейно, легко получить более общие результаты, содержащиеся в сле­дующей теореме .

Теорема 2. Пусть уравнение (2; 0,1) линейно, одно­родное уравнение Az=0 имеет только нулевое решение, множество М выпукло, а всякая сфера в пространстве U строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения (2; 0,1) на компакте М единственно и непрерывно зависит от пра­вой части и.

Доказательство. Пусть z¹ — квазирешение и u¹=Az¹. Так как множество М выпукло, то в силу линей­ности оператора А множество N=AM также выпукло. Очевидно, что и¹ есть проекция элемента и на множество N. В силу того, что сфера в пространстве U по условию теоремы строго выпукла, проекция и определяется одно­значно. Далее доказательство завершается, как в тео­реме 1.

2.2.3. Пусть F и U — гильбертовы пространства, МS_R — шар (|| z ||<=R ) в пространстве F и А — вполне непре­рывный линейный оператор.

В этом случае квазирешение уравнения (2; 0,1) мож­но представить в виде ряда по собственным элементам (функциям, векторам) _n оператора А*А, где А* — опе­ратор, сопряженный оператору А.

Известно, что А*А — самосопряженный положитель­ный вполне непрерывный оператор из F в F. Пусть ₁>=₂>=…>=_n>=… — полная система его собственных значений, a ₁,₂,…,_n,…—отвечающая им полная ортонормированная система его собственных элементов (функций, векторов). Элемент А*и можно представить в виде ряда

(2;2,2)

В этих условиях справедлива

Теорема 3.Квазирешение уравнения (2, 0,1) на множестве S_R выражается формулами:

(2;2,3)

если

(2;2,4)

и


если

(2;2,5)

Здесь  — корень уравнения

(2;2,6)

Доказательство. Квазирсшение минимизирует функционал

_U² (Az, u) == (Az — u, Az — u) (2;2,7)

(где (v,w ) — скалярное произведение элементов v и w из U), уравнение Эйлера для которого имеет вид

A*Az=A*u. (2;2,8)
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по системе {_n}:
(2;2,9)
Подставляя этот ряд в уравнение (2; 2,8) и используя разложение (2;2,2), находим с_n=b_n/_n. Следователь­но, неравенство (2; 2,4) означает, что ||z||
Если же выполняется неравенство (2; 2,5), то это означает, что ||z||>=R и надо решать задачу на услов­ные экстремум функционала (2; 2,7) при условии, что || z ||² = R². Методом неопределенных множителей Лагранжа эта задача сводится к нахождению безусловного экстремума функционала

(Аz-u, Аz-u) +  (z, z),
а последняя — к решению отвечающего ему уравнения Эйлера A*Az+z=А*и. Подставляя сюда z в виде ряда (2; 2,9) и используя разложение (2; 2,2), находим



Параметр  определяем из условия || z ||² = R² , которое эквивалентно (2; 2,6).
2.3. Приближенное нахождение квазирешений
В предыдущем параграфе мы видели, что нахождение квазирешения связано с нахождением элемента в беско­нечномерном пространстве. Для приближенного нахожде­ния квазирешения естественно переходить к конечномер­ному пространству. Можно указать достаточно общий под­ход к приближенному нахождению квазирешений урав­нения (2; 0,1) , в котором А—вполне непре­рывный оператор.

Будем полагать, что выполнены указанные в 2.2. дос­таточные условия существования единственного квазире­шения на заданном множестве М, т. е. полагаем, что множество М — выпуклый компакт и сфера в пространст­ве U строго выпукла. Пусть

M₁ M_M_n 

— возрастающая цепочка компактных замкнутых множеств М_n такая, что замыкание их объединения совпадает с М. Квазирешение уравнения (2; 0,1) сущест­вует на каждом множестве М_n . Но оно может быть не единственным. Обозначим через Т_n совокупность всех квазирешений на множестве М_n .

Покажем, что в качестве приближения к квазиреше­нию z¹ на множестве М можно брать любой элемент z¹_n из Т_n . При этом



Пусть N_n = АМ_n и В_n — множество проекций элемен­та и на множество N_n . Очевидно, что В_n = АТ_n и N₁  N₂  … N_n; тогда

 _U(u,N₁)>= …>= _U (u,N_n)>=…  _U (u,N)=  _U (u,Az¹) .(2;3,1)
Так как множество всюду плотно на N, то для всякого  >0 найдется такое число n₀(), что для всех п >n₀()

_U(u,N_n)<_U(u,N)+ (2; 3,2)

Из (2; 3,1) и (2; 3,2) следует, что

(2;3,3)


Поскольку

то







(2;3,4)

Каждое множество В_n есть компакт, так как оно является замкнутым подмножеством компакта N_n. Поэтому в В_nнайдется такой элемент у_n , что

_U(y_n ,u) = inf _U(y,u)

yB_n

Последовательность {y_n} имеет хотя бы одну пре­дельную точку, принадлежащую N, так как N — компакт. Пусть у₀ — какая-нибудь предельная точка множества {y_n} и {уn_k} — подпоследовательность, сходящаяся к y₀ , т. е.



Из (2; 3,3) и (2; 3,4) следует, что



Таким образом,

_U(u,y₀)=_U(u,N).

Отсюда и из единственности квазирешения на множестве М следует, что

y₀=Az¹.

Так как у₀ — произвольная предельная точка множества {y_n}, то последовательность {у_n} сходится к Аz¹. Это и означает, что в качестве приближения к квазирешению мож­но брать любой элемент z¹_n из множества Т_п , так как в силу леммы параграфа 2.1. z¹_nz* при n.

Если в качестве М_п брать конечномерные (n-мерные) множества, то задача нахождения приближенного квази­решения на компакте М сводится к минимизации функ­ционала _U(Az, u) на множестве М_п, т. е. к нахождению минимума функции п переменных.

2.4. Замена уравнения Аz=u близким ему

Уравнения вида (2; 0,1), в которых правая часть u не принадлежит множеству N=AM, изучались М. М. Лав­рентьевым . Ему принадлежит идея замены исходного уравнения (2; 0,1) близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой правой части uU. В простей­шем случае это делается следующим образом.

Пусть FUН — гильбертовы пространства, А — линейный, ограниченный, положительный и самосопря­женный оператор, S_R  {х, ||x||<=R, xF} есть шар радиуса R в пространстве F, В — вполне непрерывный оператор, определенный на S_R при любом R > 0. В ка­честве класса корректности М берется множество D_R=BS_R — образ шара S_R при отображении с помощью оператора В. Предполагается, что искомое точное решение z_T уравнения (2; 0,1) с правой частью u=u_T существует и принадлежит множеству D_R. Уравнение (2; 0,1) заме­няется уравнением

(A+E)z  Az+z=u , (2:4,1)

где >0 – числовой параметр. Решение уравнения

z_=(A+E)^-1u , (2; 4,2)

при соответствующем выборе параметра , принимается за приближенное решение уравнения (2; 0,1). Здесь Е — единичный оператор.

Замечание. Для оценки уклонения _F(z_T,z_) приближенного решения от точного можно использовать мо­дуль непрерывности  обратного оператора на N.

Пусть u₁, u₂  N и _U(u₁,u₂)<=_. Тогда

(,N)= sup _F(A^-1u₁,A^-1u₂).

u₁,u₂ N

Очевидно, что если _U(u_T,u_)<=  и z_=A^-1u_ , то

_F(z_T,z_)<=(,N).

Вернемся к уравнению (2; 4,1). Если || Az ||<= и (,D_R) = sup || z ||, то легко

D_R

получить оценку уклонения z_ от z_T. Очевидно, что

|| z_ - z_T ||<=||z_¹ - z_T|| + ||z_ - z_¹||, (2;4,3)

где

z_¹=(A + E)^-1u_T.

Следовательно,

||z_ - z_T||<=(,D_R) + /. (2;4,4)

Если известен модуль непрерывности (,D_R) или его мажоранта, то из (2; 4,4) можно найти значение пара­метра  как функцию , при котором правая часть в не­равенстве (2; 4,4) будет минимальной.

2. 5. Метод квазиобращения

2.5.1. Известно, что задача Коши для уравнения тепло­проводности с обратным течением времени является не­устойчивой к малым изменениям начальных значений. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным усло­виям. Для устойчивого решения таких задач разработан метод квазиобращения . Мы изложим существо его для простейшего уравнения теплопроводности, не вда­ваясь в вопросы обоснования. Подробное изложение в применении к более широкому классу задач содержится в .

2.5.2. Рассмотрим прямую задачу. Пусть D — конечная область n-мерного евклидова пространства Rⁿ точек x = (x₁, x₂, ...,x_n), ограниченная кусочно-гладкой по­верхностью S, a t — время. Пусть, далее, (x) — заданная непрерывная в D функция. Прямая задача состоит в на­хождении решения u=u(x,t) уравнения
(2;5,1)
в области G  {x  D, t > 0}, удовлетворяющего гранич­ным условиям

u(х, t) =0 при xS(2; 5,2)

и начальным условиям

u(x, 0)=(x). (2; 5,3)

Здесь



Известно, что решение такой задачи существует. Каждой функции (x)C отвечает решение задачи (2; 5,1)— (2; 5,3). Будем обозначать его через u(х, t;).

Обратная задача состоит в нахождении функции (х)по известной функции u(х,t;). В реальных задачах функция u(x,t;) обычно получается в результате изме­рений и, следовательно, известна приближенно. Будем по­лагать, что uL₂. Такая функция может и не соответст­вовать никакой «начальной» функции (х). Таким обра­зом, может не существовать в классе функций С решения обратной задачи. Поэтому будем рассматривать задачу нахождения некоторого обобщенного решения обратной задачи.

Пусть заданы число T > 0 и функция (x), опреде­ленная в области D,(x)L₂. На функциях (х) класса С определен функционал



Обобщенным решением обратной задачи будем называть функцию (х)., на которой достигается

f₀=inf f()

C

Замечание. «Естественный» подход к решению этой задачи — выбрать функцию (х).так, чтобы f()=0 .

Для этого достаточно найти решение прямой задачи



u(x, t) = 0 для х  S, 0 < t < T;

u(x,T) = (x)

и положить  (x) = u(x,0). Но такая задача при задан­ной функции (x) из L₂, вообще говоря, неразрешима и, кроме того, неустойчива к малым изменениям функ­ции (x).

На некотором классе обобщенных функций  (x) f₀=0 . Поэтому рассматривается задача на­хождения приближенного значения f₀ с заданным уровнем погрешности.

Для заданного числа  > 0 найти функцию _(x), на которой f (_)<=.

Эта задача и решается методом квазиобращения.

Идея метода квазиобращения состоит в том, что вмес­то оператора теплопроводности находится «близ­кий» ему оператор В_ , для которого задача с обращением отсчета времени

B_u_ = 0, x  D, t < Т,  > 0;

u_ (x,T)=(x);

u_ (x,t) = 0 для x S, t< Т

устойчива. Решив эту задачу, полагают  (x)=u_(x,0). Обычно в качестве оператора В_ берут оператор и решают прямую задачу
x D, t>0;




u_ (x,T)=(x);
u_ (x,t) = 0 для x S, 0< t<= Т

u_=0 для x S, 0< t<= Т.
Затем полагают

 (x)=u_(x,0).

Следует отметить, что u_не сходится в обычном смыс­ле при .

1   2   3   4