Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
 Скачать 303.56 Kb.
|
|
. 8. Вычислите поток векторного поля F xi yj zk = + + через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями 2 1 x y + = , 0 x = , 2 z = и 0 z = . 9. Вычислить модуль криволинейного интеграла (циркуляцию) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 C y x z x y y dx x dy z xz dz + − + + + + ∫ , где C − линия пересечения эллипсоида 2 2 3 2 1 4 9 x y z + + = с плоскостью 2 x z = 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) 2 3 a x xi zk = − + Вариант 19 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 1, x = − 2, x = − 0, y ≥ 2 y = x . 2. Найти массу неоднородной пластины : D 0, y = 2 , y x = 6, x y + = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) 2 , x y x µ = 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y x + − = 2 2 0, x y x + − = 0, y ≤ относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V 2 2 4 , y x z = + 9. y = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область : V 2 2 2 , x y z = + 2 2 4, y z + = 0. x = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 4 , z x = − 0, y = z y = 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: ( ) ( ) 2 2 , L x y dx x y dy + + − ∫ где : L 2 , y x y x = = 8. Вычислите поток векторного поля F xyi yzj zk = + + через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями 1 x z + = , 0 x y − = , 0 y = и 0 z = . 9. Найдите циркуляцию векторного поля ( ) 2 F xz y i yzj xyk = + + + по контуру, вырезанному из двуполостного гиперболоида 2 2 2 16 0 x y z + − + = плоскостями 0 x = , 0 y = и 5 z = при 0, 0 x y ≥ ≥ . 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) x a e yj zk = − + Вариант 20 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 0, y ≤ 2 , x y = − 2 2 x y = − 2. Найти массу неоднородной пластины : D 0, x ≥ 0, y ≥ 2 2 4, x y + = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) 2 , 4 x y x µ = − 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y x + + = 2 2 0, x y x + + = 0, y ≤ относительно оси Oy , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V 2 2 5 , x y z = + 20. x = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область : V 2 2 2 , z x y = + 2 2 4, x y + = 0. z = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 2 2 4, x y z + − = 2 2 9. x y + = 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: ( ) ( ) 2 L x y dx x y dy + − − ∫ , где L − часть параболы 2 y x = и хорда, проходящая через точки ( ) 1;1 A − , ( ) 1;1 B 8. Вычислите поток векторного поля 3 3 3 F x i y j xz k = − + через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями 2 2 9 x y + = и 2 2 2 25 x y z + + = ( 2 2 9 x y + ≤ ). 9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию) ( ) ( ) ( ) 2 3 C y z dx x z dy y z dz + + − + + ∫ , где C − контур треугольника с вершинами ( ) ( ) ( ) 3;0;0 , 0;3;0 , 0;0;3 A B C , который обходится в направлении ABCA 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) a x y i zk = − − + Вариант 21 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 0, y ≥ 1, y ≤ , y x = 2 4 x y = − − 2. Найти массу неоднородной пластины : D 2 , y x = 2, y = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) , 2 x y y µ = − 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y y + + = 0, x y + ≤ 0, x ≥ относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V 2 2 , y x z = + 2 2 10, x z + = 0. y = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область : V ( ) 2 2 2 , z x y = + 2. z = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 4 , z y = , x y = 2. x y + = 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: 2 2 L xy dy x ydx − ∫ , где L − эллипс 2 2 2 2 1 x y a b + = . 8. Вычислите поток векторного поля 2 ( ) F x i yzj y z k = + + + через внешнюю сто- рону границы области, ограниченной поверхностями 0 x = , 1 x = , 0 y = , 2 y = , 0 z = и 3 z = . 9. Найдите циркуляцию векторного поля F yi zj xk = + + по контуру, являющемуся пересечением сферы 2 2 2 4 x y z + + = и плоскости 0 x y z + + = . 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) 2 a y yzi xzj xyk = + + Вариант 22 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 0, x ≤ 1, y = 4, y = y x = − 2. Найти массу неоднородной пластины : D 0, x = 0, y = 1, x y + = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) 2 2 , x y x y µ = + 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y y + − = 0, y x − ≥ 0, x ≥ относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V 2 2 3 , y x z = + 2 2 16, x z + = 0. y = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область : V 2 2 1 , x y z = − − 0. x = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 2 2 6, x y z + + = 2 2 z x y ≥ + 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: ( ) ( ) L x y dx x y dy + + − ∫ , где L − контур прямоугольника 1 4 x ≤ ≤ , 0 2 y ≤ ≤ . 8. Вычислите поток векторного поля 2 2 2 (4 ) ( ) ( 2) F y x yz i x xy z j xyz k = + + + + + через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями 2 2 4 z x y = − , 0 y = , 2 x = и 0 z = ( 0 y ≥ ). 9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию) ( ) ( ) 2 C x z dx zdy x y dz + + + − ∫ , где C − контур треугольника с вершинами ( ) ( ) ( ) 2;0;0 , 0;2;0 , 0;0;4 A B C , который обходится в направлении ABCA 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) 2 a x yzi xzj xyk = + + Вариант 23 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 2 3 , y x = − y x = − . 2. Найти массу неоднородной пластины : D 2 1, y x = + 3, x y + = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) , 4 5 2. x y x y µ = + + 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y x + + = 0, y x − ≥ 0, y ≤ относительно оси Oy , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V 2 2 3 , x y z = + 9. x = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область : V 2 2 4 , y x z = − − 0. y = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 0, y = 0, z = 4, x y z + + = 2 4. x z + = 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: L dx dy x y − + ∫ , где L − квадрат : ABCD ( ) 1;1 A , ( ) 3;1 B , ( ) 3;3 C , ( ) 1;3 D 8. Вычислите поток векторного поля 2 ( 2 ) 2 F x i y z j xzk = + + − через внешнюю сто- рону границы области, ограниченной поверхностями 2 2 2 z x y = − + , 0 x = , 0 y = и 0 z = ( ) 0, 0, 0 . x y z ≥ ≥ ≥ 9. Найдите циркуляцию векторного поля F xi zj yk = + − по контуру, образованному пересечением конуса 2 2 2 ( 1) x y z − = + с координатными плоскостями ( 0, 0, 0) x y z ≥ ≥ ≥ . 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a xi yj zk = + + Вариант 24 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 0, x = 2, x = − 0, y ≥ 2 4. y x = + 2. Найти массу неоднородной пластины : D 2 1, y x = − 1, x y + = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) , 2 5 8. x y x y µ = + + 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y y + − = 0, x y + ≥ 0, x ≤ относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V 2 2 , y x z = + 4. y = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область : V ( ) 2 2 3 , x y z = + 3. x = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 , z x = 0, z = 2 2 1. x y + = 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: ( ) ( ) 2 2 2 2 L x y dx x y dy + + + ∫ , где L − контур прямоугольника 0 5 x ≤ ≤ , 1 3 y ≤ ≤ . 8. Вычислите поток векторного поля F xyi xzj yzk = + + через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями 2 0 x y + = , 1 z y − = и 0 z = . 9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию) ( ) ( ) ( ) 2 3 C x y z dx y z dy x z dz + + + + + + ∫ , где C − контур треугольника с вершинами ( ) ( ) ( ) 2;0;0 , 0; 3;0 , 0;0;3 A B C − , который обходится в направлении ABCA 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) 2 3 2 a x z yzi xzj xyk = + + |