Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

Название	Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
Анкор	Zadanie_Kratnye_integraly_MTUSI_2013g.pdf
Дата	17.03.2019
Размер	303.56 Kb.
Формат файла
Имя файла	Zadanie_Kratnye_integraly_MTUSI_2013g.pdf
Тип	Документы #25908
страница	4 из 4

1 2 3 4

y
=
(
)
2 2
3 1.
x
y
−
+
=
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
0,
x
=
0,
y
=
4,
y
=
2 25
,
x
y
=
−
если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
,
x y
x
µ
=
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
x
+
+
=
0,
x
y
+ ≤
0,
y
≥ относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
,
x
y
z
=
+
2 2
9,
y
z
+
=
0.
x
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область :
V
2 2
9
,
z
x
y
= −
−
0.
z
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2
,
y
x
=
,
z
y
=
2
z
y
= −
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
L
dx
dy
x
y
+
−
∫
, где
L
−
контур прямоугольника 1 3
x
≤ ≤ , 0 4
y
≤ ≤ .
8.
Вычислите поток векторного поля
2 2
(2
)
(
)
F
x
y i
y
z j
zk
=
+
+
+
+




через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями
2 2
9
z
x
y
=
+
−
,
4
z
=
и
0
z
= .
9.
Найдите циркуляцию векторного поля
2
F
xi
z j
yk
=
+
+




по контуру, заданному параметрически:
2cos
3sin
1,
cos ,
3sin .
x
t
t
y
t
z
t
=
−
+

 =

 =

10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
a
yi
xj
=
−




Вариант 26 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
2 9
,
x
y
=
−
0,
y
≥ y x
= .
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
2,
x
=
,
y
x
=
3 ,
y
x
=
если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
2 2
,
2
x y
x
y
µ
=
+
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
x
+
−
=
0,
y
x
− ≤
0,
y
≥ относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
0,
x
=
0,
y
=
0,
z
=
3.
x
y
z
+ + =
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область :
V
2 2
4
,
z
x
y
=
+
2.
z
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
6
,
z
x
= −
0,
z
=
(
)
2 2
2 4,
x
y
+
−
=
(
)
2 2
1 1.
x
y
+
−
=
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
2 2
,
L
y dx
x
y
dy
+
+
∫
где
L
−
контур треугольника
:
ABC
( )
1;0
A
,
( )
1;1
B
,
( )
0;1
C
8.
Вычислите поток векторного поля
2
(
2 )
F
x i
y
z j
xzk
=
+
+
+




через внешнюю сто- рону границы области, ограниченной поверхностями
2 2
2
z
x
y
= −
+
,
0
y
= и
0
z
=
(
0
y
≥ ).
9.
Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию)
C
xdx
zdy
ydz
−
+
∫
, где
C
−
контур, полученный при пересечении поверхности
2 4
y
z
x
= − − с координатными плоскостями
(
)
0,
0,
0
x
y
z
≥
≥
≥
. Линия проходится по часовой стрелке, если смотреть от начала координат.
10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
(
) (
)
(
)
a
x i
j
k
y i
k
z i
j
=
+ +
+
+
+
+


 

 


Вариант 27 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
2 6
0,
x
y
+
− =
,
y
x
=
0.
y
≥
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
,
y
x
=
2
,
y
x
=
если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
,
2 3 .
x y
x
y
µ
=
+
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
x
+
−
=
0,
y
x
− ≤
0,
x
y
+ ≥
относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
2
,
z
x
y
=
+
2 2
9,
x
y
+
=
0.
z
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область :
V
(
)
2 2
3
,
z
x
y
=
+
3.
z
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2 2
,
z
x
y
=
+
0,
z
=
2,
y
=
2 ,
y
x
=
6
y
x
= −
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
L
dx
dy
x
y
−
+
∫
, где
L
−
квадрат
:
ABCD
( )
1;0
A
,
( )
0;1
B
,
(
)
1;0
C
−
,
(
)
0; 1
D
− .
8.
Вычислите поток векторного поля F
y xi
z yj
xzk
=
+
+




через внешнюю сто- рону границы области, ограниченной поверхностями
y
x
=
,
1
x
= ,
0
y
= ,
1
z
=
и
0
z
= .
9.
Найдите циркуляцию векторного поля
2 2
F
xi
zj
yk
=
+
+




по ломаной ABOCDA , где (0, 0, 0)
O
, (1, 0, 0)
A
, (1, 2, 0)
B
, (0, 2, 3)
C
,
(0, 0, 3)
D
— вершины прямоугольного параллелепипеда. При вычислении по теореме Стокса в качестве поверхности, опирающейся на контур, выберите часть поверхности этого параллелепипеда.
10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
a
zj
=



Вариант 28 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
,
y
x
= − 2 3,
x
y
+ = 3.
y
=
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
0,
x
=
2 2
0,
x
y
+
+ =
1,
x
y
+ =
если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
2
,
x y
x
µ
=
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
y
+
−
=
0,
y
x
− ≥
0,
x
y
+ ≥ относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
2
,
z
x
y
=
+
3.
z
=
5.
Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область :
V
2 2
2
,
x
y
z
=
+
2.
x
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2 2
2
,
z
x
y
=
+
2 2
2 2
1.
z
x
y
⋅
=
+
+
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
(
)
2 2
,
L
x
y
dx
x
y
dy
−
+
+
∫
где :
L контур
,
ABC
∆
( )
0,0 ,
A
( )
1,0 ,
B
( )
1,1 .
C
8.
Вычислите поток векторного поля
2 2
2
(
1)
F
x i
y j
z
k
=
+
+
+




через внешнюю сто- рону границы области, ограниченной поверхностями
2 2
z
x
y
=
+
и
2 2
4
z
x
y
=
−
−
9.
Вычислить модуль криволинейного интеграла (циркуляцию)
2 2
C
yzdx
xzdy
x dz
+
−
∫
, где C − линия пересечения сферы
2 2
2 25
x
y
z
+
+
=
с цилиндром
(
)
2 2
9 0
x
y
z
+
=
>
10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
a
xj
= −



Вариант 29 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
0,
x
≥
1,
y
= 1,
y
= −
1 2
log
y
x
=
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
0,
x
=
0,
y
=
2 1,
x
y
+
= если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
(
)
2 2
,
2
x y
x
y
µ
= −
+
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
x
+
+
=
0,
x
y
+ ≤
0,
y
x
− ≥ относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
,
z
x
y
=
+
4.
z
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область :
V
(
)
2 2
3
,
y
x
z
=
+
3.
y
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2 2,
z
x
= − +
0,
z
=
,
y
x
=
2 ,
y
x
=
0,
x
≥
0.
y
≥
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
2 2
2
L
x
y
dx
xydy
−
+
∫
, где
L
−
контур треугольника
:
ABC
( )
1;1
A
,
( )
3;1
B
,
( )
3;3
C
8.
Вычислите поток векторного поля
(2 4
)
F
xi
yj
z
z k
=
+
+
−




через внешнюю сто- рону границы области, ограниченной поверхностями
2 2
4 2
z
x
y
+
−
−
=
и
4
z
=
9.
Найдите циркуляцию векторного поля
3 2
(
)
(
)
3
F
x
z i
x
yz j
xy k
=
−
+
+
−




по контуру, заданному параметрически:
2cos ,
2sin ,
1.
x
t
y
t
z
=

 =

 =

10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
( ) ( )
y
x
a
ze
i
ye
k
=
+




Вариант 30 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
0,
x
≥ 0,
y
≥
1,
y
=
2 4
x
y
=
−
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
0,
x
=
0,
y
=
2,
x
y
+ =
если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
2 2
,
x y
x
y
µ
=
+
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
y
+
+
=
0,
y
x
− ≤
0,
x
y
+ ≤ относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
,
z
x
y
=
+
2 2
4,
x
y
+
=
0.
z
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область :
V
2 2
3
,
z
x
y
= −
−
0.
z
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2 2
1,
z
x
y
=
+
+
2 2
3
z
x
y
=
−
−
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
(
)
2 2
,
L
x
y
dx
x
y
dy
+
+
−
∫
где :
L контур
,
ABC
∆
( )
0,0 ,
A
( )
2, 2 ,
B
( )
4,0 .
C
8.
Вычислите поток векторного поля
2 2
2
(
)
(
2 )
(
3 )
F
x
y i
y
z j
z
x k
=
+
+
+
+
+




через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями
3 3
x
z
+
= ,
0
x
= ,
0
y
= ,
2
y
= и
0
z
= .
9.
Вычислить модуль криволинейного интеграла (циркуляцию)
(
)
(
)
(
)
3 3
2 3
2 2
C
yz
y dx
xz
x dy
z
xz dz
+
+
+
−
+
∫
, где C − линия пересечения сферы
2 2
2 18
x
y
z
+
+
= с конусом
(
)
2 2
2 0
x
y
z
z
+
=
>
10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
(
)
2 2
3
a
xy
yzi
xzj
xyk
=
+
+





1 2 3 4