Лекция 1 Максвеллды тедеулері. Из курса физики Закон полного тока пишется так (1) Запишем ток через плотность тока (2)

• Название: Лекция 1 Максвеллды тедеулері. Из курса физики Закон полного тока пишется так (1) Запишем ток через плотность тока (2)
• Дата: 09.03.2020
• Размер: 1.7 Mb.
• Имя файла: lektsii polya i voln .doc
• Тип: Лекция; #111359
• страница: 1 из 3

Лекции по электромагнитным волнам

Лекция №1
Максвеллдың теңдеулері.
Из курса физики Закон полного тока пишется так:
(1)
Запишем ток через плотность тока

(2)

отсюда
(3)
Введем третье уравнение в первое
(4)

Левую часть четвертого уравнения согласно теореме Стокса переведем в интеграл по поверхности.
(5)
Два интеграла по поверхности равны, поэтому:
(6)

Максвелл эту формулу так понимал- если плотность тока образуется в проводах, где течет ток, то как объяснить прохождения через конденсатор. Там ведь нет плотности зрядов протекающих от одной обкладки конденсатора к другой. Поэтому Максвел предположил, что между обкладками конденсатора течет ток смещения с плотностью

j_cм = (7)

или:
(8)

Эту формулу мы считаем первым законом Максвелла и первой формулой Максвелла. Теперь рассмотрим электрическое поле материальной точки. Заряд +q материальной точки создает напряженность электрического поля

(9)

Поместим этот заряд в сферу, тогда силовые линии электрического поя будут пронизывать поверхность сферы ивыйдут наружу. Найдем полный поток электрического поля. Это даст нам количество силовых линий вышедших через сферу.

q (10)

Итак, полный поток электрического поля будет равна:

(11

Выразим заряд через плотность заряда в объеме
(12)

Или

(13)

Теперь левую часть (13) уравнения преобразуем через теорему Остроградского -Гаусса
(14)
или
(15)

Перейдем к вектору смещения электрического поля
, (16)
Уравнение (16) называют третьим уравнением Маквелла.
Теперь перейдем к закону Фарадея (17)

Ф – магнитный поток. (18)

Связь между напряженностью электрическогполя и разностью потенциалов такова:
(19)

Или

(20)

Какая связь между уравнениями (17) и (20) ?
(21)

Последнее уравнение преобразуем через теорему Стокса

(22)

В последнем уравнении поменяем местами интеграл и производную
(23)

или

(24)
Формула (24) называется третьим уравнением Максвелла.

Четвертое уравнение Максвелла говорит о том, что не существуют магнитные заряды по отдельности:қ.
(25)

Потому что силовые линии магнитного поля замкнутые и полый поток его равен нулю

, (26)

(27)
Это и есть четвертое уравнение Максвелла.

Лекция №2
Уравнения Максвелла в комплексной форме
Чтобы написать уравнения Максвелла в комплексной форме сначала нам надо научиться записывать электрические и магнитные поля в комплексой форме. Если эти поля изменяются по закону синуса и косинуса:

(1)
(2)

Так как напряженности записаны в комплексной форме, то мы будем ставить точки над Н и Е или Ė, Ĥ. Первое уравнение Максвелла запишется так:

(3)

Здесь μ – магнитнакя проницаемость, ε – диэлектрическая проницаемость,

μ_о = 4π ·10^-7 Гн/м– магнитная постоянная, ε_о = 8,85·10^-12Ф/м – диэлектрическая постоянная.
Здесь

(4)

комплексная диэлектрическая проницаемость.
(5)
Точно так же найдем rotE
(6)
(7)

Четвертое уравнение Максвелла

(8)
Уравнение неразрывности:
(9)
В комплексной форме будет:
(10)

Для однородного и изотропной среды не зависит откоординат,

поэтому

(11)
(12)
Итак, для изотропной среды:
(13)

(14)

Для изотропной среды - тензор
(15)


(16)
(17)
(18)
(19)
(20)

(21)
Удельная проводимость тоже тензор
(22)
Лекция № 3
Пограничные условия на границе двух сред

Пограничные условия на нормально составляющие электрических и магнитных полей.

Рис. 1

На рисунке показан пограничная поверхность. Точка М находится на поверхности .

Верхняя часть среды определялась значениями, а нижняя часть среды

Допустим на эту поверхность косо падает поток вектора смещения. Пусть поток будет однородным.Пусть вектора напряженности электрического поля будут параллельны, тогда вектор Е можно разложить на два вектора. Первый вектор Е_1n перпендикулярный поверерхности раздела в точке М и второй вектор касательный к поверхности цилиндра.

Если считать, что цилиндр обладает замкнутым объемом, тогда поток пронизывающий будет равен сумме зарядов в этом объеме согласно теореме Остроградского - Гаусса.

(1)

здесь

(2)
(3)

(4)

Здесь знак минус говорит о том, что поток через выходит в наружу.

Итак

(5)

С уменьшением высоты цилиндра его объем будет уменьшаться и весь заряд тоже будет уменьшаться и в итоге станет равным нулю.
(6)

Или

(7)
Если окажутс заряды на поверхности, тогда зспись (5) станет таким:

(8)
Разделим обе части уравнения на
(9)

Если заряд на поверхности будет равным нулю, тогда:
(10)
(11)
(12)

Точно также рассмотрим и вектор магнитной индукции
(13)
Тогда тем же способом доказывается (14)
(15)


Лекция № 4
Условия, накладываемые на горизонтально составляющие векторов

электрического и магнитного полей

рис. 2
В этом рисунке S_o- площадь поверхности раздела двух изотропных сред.

Параметры описывающие среду выше поверхности S_o : .

Среду, находящуюся ниже поверхноси S_o раздела описывают параметры: .

АВСD – четырехугольный контур у котрого одна половина в верхней среде, а другая в нижней.

n_o- ортвектор в точке М, а ортвектор касательный к поверхности раздела сред. N_o- ортвектор, найденный по правилу правого буравчика по контуру ABCD .

Напишем первое уравнение Максвелла к контуру ABCD :
(1)
Тогда направление токов совпадет с вектором N_o, а площадь контура.
(2)

BC и DA параллельные стороны их длина 2.
Вектор в АВ dl = , а в CD dl =
(3)
(4)
(5)

Пользуясь этими пределами мы придем к такому уравнению:
(6)

Если на границе раздела не будет токаЕгер бөліну шекарасында жазықтық тоқтар жоқ болса онда:
(7)
(8)
или (9)


Рис. 3
Лекция №5
Волновое уравнение

Возьмем однородную изотропную среду и электропроводимость σ = 0, значит не проводящая ток.

Тогда уравнения Максвелла запишутся так:
(1)
(2)
(3)
(4)
Решение этого уравнения по нахождению Н и Е не легкое. Но есть другой способ. Для этого возьмем ротор от ротора.
(5)
Это только математическое преобразование.

Возьмем ротор с первого уравнения Максвелла:
(6)
Сторонний , значит внешний ток. В уравнении поменяем местами производную и ротор
(7)
Вместо поставим его выражение:
(8)

Теперь в уравнениях (5) и (8) приравняем правые части:
(9)
(10)
Это уравнение называется волновым уравнением

Вспомним, что фазовая скорость, тогда
(11)

Точно также найдем :
(12)
Если правые части волновых уравнений не будет равно нулю, то такое уравнение называется неоднородное волновое уравнение Даламбера.

Лекция № 6
Электродинамические потенциалы
Четвертое уравнение Максвелла divB = 0 . Если вместо В поставить rotA

Ничего не изменится как был ноль так и останется.

(1)
(2)

(3)

(4)

Если вместо А взять А+ ничего не изменится.

Во втором уравнении Максвелла сделаем следующее изменение:
(5)
(6)

То, что в скобке обозначим как –gradU
(7)
(8)

Здесь U- скалярный потенциал, а А- назовем векторным потенциалом.

Напряженности электрического и магнитного полей будут определяться через скалярный и векторный потенциалы. Уравнения (2) және (8)

Введем в первое уравнение Максвелла:
(9)

Упростим уравнение (9) , приравняв скобку к нулю.
(10)

Это уравнение условие поправки.

(11)

Точно также найдем для скалярного потенциала U.

(12)

Используя условие поправки найдем:
(13)

Если А = Const, тогда

Уравнение (8) изменится

(14)

Это уравнение рассмотрим в сферической системе координат (r,

(15)

После интеграла
(16)

Если заряд будет распределен в маленьком объеме
(17)

(17) – это есть решение нижнего уравнения:
(18)

Это есть уравнение Пуассона.

Теперь пусть точечный заряд будет расположен в начале координат и зависит от времени. Тогда потенциал U в любой точке кроме начала координат будет удовлетворять однородному уравнениюДаламбера:
(19)

Для решения уравнения (19) удобно применить сферическую систему координат r,. Из –за того, что точечный заряд будет находиться в начале координат, тогда его потенциал U не будет зависить от углов .
(20)

Рисунок 4
Известно и переходя от U к U₁ : U₁ = r U

(22)

Решение уравнения (22) будет представлено в таком виде:
(23)
(24)
Первое уравнение описывает сферические волны исходящие от точки, а второе уравнение описывает сферические волны собирающиеся в одной точке. От точечного заряда могут исходить только сферические волны, а собирающиеся в одной точке волны могут происходить в результате отражения волн. Поэтому второе слагаемое приравняем нулю. Потенциал в статическом случае нам известен:


(25)
Итак (26)

Если заряд будет распределен в маленьком пространстве

(27)
Здесь (28)
координаты маленького объема dV в декартой системе координат.

x,y,z- координаты точки N наблюдения в декартовой системе координат.

Объем будет таким:

(5 сурет)

5 сурет
Решением уравнения (27) будет частное решение уравнения Даламбера (13).

Точно так же решением уравнения (11) будет таким:
(29)
Чтоб найти A, U потенциалы в момент времени t надо заранее знать при ток и заряд в маленьком объеме dV.

Поэтому A мен U называют запаздывающими потенциалами.


Лекция 7
Излучение электромагнитных волн
По предположению Максвелла в диэлектрике и свободном пространстве электрический ток может совершать циркуляцию и этот ток мы называем током смещения. Ток смещения как и токи проводимости могут создавать вокруг себя магнитное поле. Это изменяющееся магнитное поле может создать изменяющееся электрическое поле. Электромагнитные поля содержат в себе энергию. Поэтому, если какое – нибудь устройство сможет создать ток смещения , тогда мы можем сказать, что это устройство является излучателем электромагнитных волн.

Самый первый излучатель электромагнитных волн был создан вибратором Герца. Элементарный вибратор состоит из двух коротких проводов, на концах которых сварены шары. На шары подается высокочастотный переменный ток. Поэтому шары будут заряжаться разноименно, а величина заряда и их знаки будет менятся согласно частоте тока.


Сурет 1

Потом А.С. Попов впервые использовал электромагнитные волны для связи с бедствующим кораблем.
Элементарный электрический вибратор ( ЭЭВ )
Длина волны ЭЭВ намного больше длины вибратора, причем фаза и и амплитуда вдоль вибратора не меняется.

Конечно, к идеальному вибратору больше подходит вибратор Герца. Допустим, что вибратор находится в изотропной и однородной среде .

Будем считать ток в вибраторе известен. Этот ток будем считать сторонним током, потому что благодаря этому току рождаются электромагнитные волны. Ток вибратора:

(1)
В комплексном виде (2)
Наша цель найти электрические и магнитные поля. Задачу будем решать в сферической системе координат . Ось вибратора установлен на оси Z , а его центр в начале координат.
Рис. 2
Площадь сечения вибратора , его длина . Возьмем интеграл по поверхности.

(3)

Теперь векторный потенциал найдем так:
A_m = z_o , (4)

Мұнда

(5)
При взятии интеграла надо учесть, что r >> расстояние до точки где определяем поле подавно больше длины вибратора.По определению ЭЭВ r, << λ , поэтому интеграл легко берется.

(6)
H_m и A_m – векторнфй потенциал связаны следующей формулой

(7)

E_m – напрженность электрического поля находится так:
(8)

Для нахождения rotA в сферической системе координат, надо найти проекции вектора А на орты r_o,θ_o,φ_o . φ_o орт перпендикулярен оси Z и его проекция будет равна нулю.Угол между осью Z и ортом r_o равен θ , а угол между ортом θ_o и осью Z равен θ +. A_rm = A_zmCos θ ; A_θm = - A_zm Sin θ ; A_φm = 0. Поэтому у вектора H_m будет только азимутальная составляющая:
H_m = φ_o H _φm ; H _φm = (9)
Это решение можно было предугадать, так как силовые линии магнитного поля лежат в плоскости перпендикулярной оси Z, т.е. оси вибратора. После дифференцирования находим:
(10)
H_rm = H_θm = 0. Для нахождения вектора E_m используем формулу (8) . H_m зависит от r и θ.
E_m = (11)
После дифференцирования
, (12)
(13)
Умножая вектор H_m и вектор E_m на найдем полные вектора.

Лекция №8
Близкие, дальние и промежуточные зоны элементарного

электрического вибратора.

В предыдущей лекции формулы (10), (12) и (13) магнитные и электрические поля. В квадратных скобках

мы видим сомножители и если

kr ›› 1- эту зону назовем дальной и следующие величины стремятся к нулю.

Если kr ‹‹ 1- эту зону назовем близкая зона , тогда в формулах (10) и (13) выражением можно пренебречь по сравнению с другими сомножителями. А в формуле (12) значением ()² можно пренебречь. Если kr1 тогда все три формулы будут применимы для расчета. Эта зона бут называться проиежуточной зоной.

Рассмотрим дальную (волновую) зону.

или kr ›› 1 все в квадратной скобке формулы (12) будут равны нулю, тогда E_r составляющая будет намногоменьше составляющей E_θ. Поэтому останутся только поля H_φm и E_θm , эти поля перпендикулярны друг – другу.
(14)

(15)

Эти два поля синхронно изменяются, вмете растут и вместе уменьшаются.

Комплексныйвектор Пойтинга действительное число:
П = (16)

При угле 90 градусов направление электрмагнитной энергии максимальна, а при направлениях и энергия не переносится.

Следующее выражение называется волновым характеристическим сопротивлением и является важным параметром:
(17)
В дальней зоне строятся электромагнитные волны.
В вакууме Z_c = Z_c^o = Ом
Рис. 3
Ближняя зона
В этой зоне , но при выводе формул полей для ЭЭВ мы считали, что . Поэтому в формуле (12) величины

и в (13) формуле и и в 10) формуле бесконечно малы:

(18)
(19)
(20)
Рассмотрим уравнение (20). Если , тогда .

В мгновенной магнитной напряженности :
H = φ₀ (21)

Сравним эту формулу с формулой Био- Савара:
H_m = φ₀ (22)

Если вместо постоянного тока подставить переменную силу, тогда выйдет формула (21).

Сумма зарядов в ЭЭВ всегда равна нулю. Закон сохранения зарядов .

Закон изменения зарядов , но тогда в формулах

(18) , (19) :
(23)
(24)
Итак в ЭЭВ электрическое поле согласуется с моментом электростатического диполя p = z₀q. В ближней зоне электрические и магнитные поля определяются как в (18) , (19), (20). Фазы смещены на 90^o. Поэтому комплексный вектор Пойтинга становится мнимым числом. Это значит в ближней зоне волна не распространяется, его нет.

Но поля очень велики.
Промежуточная хона
Промежуточная зона – это переходная зона от близкой до дальней зоны. Формулы (10), (12) и (13) ничто не сокращается пишется полностью. Излучающееся электрическое поле должно иметь замкнутые силовые линии, потому что это поле вихревое и величина инаправление зависят от времени. Структура этого поля в плоскости меридеана в мгновенном снимке показана на Рис. 4 .

Плоскость силовых линий магнитного поля перпендикулярна оси вибратора () Рис. 5. Допустим что в момент времени t = t_o тоқ вибраторане существует. Опустим положительный заряд находится вверху, а отрицательный внизу. Силовые линии начинаются сверху и кончаются внизу.


4 сурет 5 сурет
В интервале t_o < t < t_o + абсолютные значения зарядов уменьшаются , а величина тока растет. Тоқ течет с верхнего конца к нижнему концу.жоғары ұшынан төменгі ұшына ағады. Бросание петли началось – силовые линии замыкаются и обособляются Рис. 6_б.

В момент времени t_o + ток максимален, а заряд минимален «Борсание петли» завершилось.

6 сурет
После полпериода ток снова будет равен нулю, а величина заряда будет максимальной. Силовые лини будут начинаться снизу вверх.