Высшая математичка часть 2 вариант № 1. Контрольная работа. Решение. Координаты центра масс вычисляются по формуле
![]()
|
Задание 1. Кратные интегралы Однородная пластина имеет форму четырехугольника (см. рисунок). Указаны координаты вершин. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра масс пластины. Вариант 1. ![]() Решение. Координаты центра масс вычисляются по формуле ![]() Так как пластина однородная, то плотность µ = const, и ![]() Составим уравнение прямой, ограничивающей область сверху. ![]() Координаты этих точек (0,3) и (4,4). Таким образом, уравнение прямой: ![]() Площадь пластины (интеграл в знаменателе): ![]() Вычислим интегралы в числителях: ![]() Первая координата: ![]() ![]() Вторая координата: ![]() Ответ: ![]() Задание 2. Дифференциальные уравнения Найти общее решение дифференциального уравнения. Вариант 1. ![]() Решение: Делим на x: ![]() Группируем: ![]() Линейное уравнение 1-го порядка: ![]() Для решения воспользуемся заменой (метод Бернулли): Подставляем: ![]() Получаем: ![]() Группируем: ![]() I.Решим первое уравнение: ![]() ![]() Преобразуем: ![]() Умножаем на дифференциал dx: ![]() Делим на ![]() ![]() Интегрируем обе части уравнения: ![]() ![]() Возведем уравнение в степень ![]() ![]() II.Решим второе уравнение: ![]() ![]() Умножаем на х: ![]() Преобразуем ![]() ![]() Умножаем на дифференциал dx: ![]() Интегрируем обе части уравнения: ![]() ![]() Подставляем полученные значения в уравнениях I и II, получаем: ![]() Ответ: ![]() Задание 3. Степенные ряды Найти область сходимости степенного ряда. Вариант 1. ![]() Решение: Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом: ![]() ![]() ![]() Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где: ![]() Вычислим его: ![]() Таким образом, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-3;3). Проверим сходимость ряда на концах этого интервала. Пусть x=-3. Получаем ряд: ![]() Исследуем сходимость ряда при помощи признаков сходимости. ![]() Рассмотрим первые три члена ряда:3, -3, 3 Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница. ![]() а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие не выполняется 3=3=3 б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0. ![]() Второе условие Лейбница не выполняется. Таким образом, рассматриваемый ряд расходится (один из признаков не выполняется). Ряд расходится, значит, x = -3 - точка расходимости. При x = 3 получаем ряд: ![]() Исследуем его сходимость при помощи признаков сходимости. ![]() Исходное выражение можно упростить: Тогда исходный ряд можно представить в виде: ![]() Исследуем сходимость ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл: ![]() Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 3 - точка расходимости. Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при: ![]() Ответ: ряд является сходящимся при: ![]() Задание 4. Приближенные вычисления с помощью разложения функции в ряд Вычислить с точностью до 0,001 значение определённого интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд. Вариант 1. ![]() Решение: Разложение экспоненты в ряд Маклорена: ![]() Почленно интегрируем степенной ряд: ![]() Ответ: 0,1049 Задание 5. Линии и области в комплексной плоскости По заданным условиям, построить область в комплексной плоскости. Вариант 1. ![]() Решение: По определению, z = x + iy, Re z = x, Im z = y. Следовательно, условия принимают вид: ![]() Каждое условие: ![]() Рисунок 2. ![]() ![]() Рисунок 3. ![]() ![]() Рисунок 4 – Область удовлетворяющая одновременно 1-му и 3-му условиям. Вычислим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 5. Область, удовлетворяющая 2-му условию. Ответ: Совмещая все условия получим область, выделенная на рисунке ![]() Рисунок 6. Задание 6. Функции комплексного переменного Вычислить значение функции комплексного переменного, результат представить в алгебраической форме. Вариант 1. Ln(-2i) Решение. Логарифм комплексного числа вычисляется по формуле: ![]() ![]() Ответ: ![]() |