Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
 Скачать 303.56 Kb.
|
|
Вариант 1 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области 2 : 4 , D y x = − 3 , y x = 0. x ≥ 2. Найти массу неоднородной пластины : D 2 , y x = 3, x = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) , x y x µ = 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y y + − = 0, x y − ≤ относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V ( ) 2 2 6 , x y z = + 2 2 3, y z + = 0. x = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область : V 2 2 2 , y x z = + 4. y = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 9 , z x = , x y = 2 x y + = . 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 , 4 2 L x y x dx xy dy − + + ∫ где L − контур треугольника : ABC ( ) 1;1 A , ( ) 2;2 B , ( ) 1;3 C 8. Вычислите поток векторного поля F xi yj zk = + + через внешнюю сторону гра- ницы области, ограниченной поверхностями 2 2 2 1 2 x y z + = + , 2 z = и 0 z = . 9. Найдите циркуляцию векторного поля 2 2 2 2 z x F xz j xz k = − + + + по контуру 2 2 2 4, 2. x y z x y + + = + = 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) 2 3 2 a x y yzi xzj xyk = + + Вариант 2 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 2 2 , x y = 5 2 6 0. x y − − = 2. Найти массу неоднородной пластины : D 0, x = 0, y = 1, x y + = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) 2 , x y x µ = 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y x + − = 0, x y + ≤ относительно оси Oy , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V 2 2 3 , y x z = + 2 2 36, x z + = 0. y = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область : V 2 2 , x y z = + 2. x = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 2 2 5, x y z + + = 2 2 1 z x y ≥ + + . 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: ( ) ( ) L xy x y dx xy x y dy + + + + − ∫ , где L − парабола 2 y x = и хорда 4 y = . 8. Вычислите поток векторного поля F xi yzj xyzk = + + через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями y x = , 0 y = , 1 x z + = и 0 z = . 9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию) ( ) ( ) 5 3 5 5 7 C zydx z x dy y x dz + + + + ∫ , где C − линия, определяемая уравнениями 2(sin cos ); 2sin ; x t t y t = + = 2cos z t = ; [ ] 0; 2 t π ∈ (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t ). 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) x y a e zi zj k + = + + Вариант 3 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 2 8 x = y , − 0, y ≥ y = x 2. Найти массу неоднородной пластины : D 0, x = 0, y = 2 3 6, x y + = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) 2 , 2 y x y µ = 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y y + + = 0, x y − ≥ относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V ( ) 2 2 7 , y y z = + 28. x = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область : V 2 2 2 , y x z = + 2. y = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 2 4 , z x y = − 0, z = 4 x = . 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: ( ) ( ) 2 2 2 2 , L y y dx y xy dy + + + ∫ где : L 2 2 2 x y R + = 8. Вычислите поток векторного поля F xi yj xyk = + + через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями z xy = , 1 x y + = и 0 z = . 9. Найдите циркуляцию векторного поля 2 2 2 F z i x j y k = + + по линии 2 2 2 4, 2. x y z x y z + + = + + = 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) 2 3 2 a y z yzi xzj xyk = + + Вариант 4 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 0, x ≥ 0, y ≥ 1, y ≤ ln . y = x 2. Найти массу неоднородной пластины : D 2 2 4 , x y x + = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) , 4 x y x µ = − 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y x + + = 0, x y + ≥ относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V 2 2 2 , z x y = + 8. z = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область : V 2 2 , x y z = + 9. x = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 2 1, x y + = 2 2 4, x y + = 0, z = 5 z x = − . 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: ( ) ( ) 2 2 , L y x dx x y dy − − + ∫ : L 2 2 2 , x y R + = ( ) 0, 0 . x y ≥ ≥ 8. Вычислите поток векторного поля 2 2 F x i y j zk = − + через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями 2 2 9 z x y = + + и 5 z = . 9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию) ( ) ( ) ( ) 5 2 1 2 C y x dx y z dy y z dz − + + + + − ∫ , где C − линия, определяемая уравнениями [ ] 3cos ; 2sin ; 3cos 2sin ; 0; 2 x t y t z t t t π = = = − ∈ (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t ). 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) ( ) z a e i j x y k = − + − Вариант 5 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 2 2 x = y, − 0. x + y = 2. Найти массу неоднородной пластины : D 0, x = 1, y = , y x = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) 2 2 , 2 x y x y µ = + 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y x + + ≥ 2 2 2 0, x y y + + ≤ 0, x ≤ относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V ( ) 2 2 5 , z x y = + 2 2 2, x y + = 0. z = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область : V 2 2 2 , x y z = + 2. x = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 4 , z x = 2, x y + = 0 y = . 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: 2 2 L xydx xy dy + ∫ , где L − контур треугольника : ABC ( ) 1;0 A , ( ) 0;1 B , ( ) 0;0 C 8. Вычислите поток векторного поля 2 F x i zj xyk = + + через внешнюю сторону гра- ницы области, ограниченной поверхностями z xy = , 1 x y + = и 0 z = . 9. Найдите циркуляцию векторного поля 2 F xzi z j yzk = + + по линии пересечения полусферы 2 2 2 z x x y = − − и цилиндра 2 2 x y x + = . 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) a y xi zk = − + Вариант 6 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 2 2 y = x , − 2 y = x 2. Найти массу неоднородной пластины : D 2 2 1, x y + = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) , 2 x y x y µ = − − 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y y + − ≥ 2 2 2 0, x y x + + ≤ 0, y ≥ относительно оси Oy , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V 2 2 6 , x y z = + 2 2 9, y z + = 0. x = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область : V 2 2 , y x z = + 2. y = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 2 , z x y = + 2 z x = . 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: ( ) 2 2 2 L x y dx xydy − + ∫ , где L − контур треугольника : ABC ( ) 1;1 A , ( ) 3;1 B , ( ) 3;2 . C 8. Вычислите поток векторного поля 2 2 z F xzi yzj k = + + через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями 2 2 4 25 z x y = − − и 2 z = 9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию) ( ) ( ) 2 12 6 3 6 18 C z x dx z dy zy x dz − + + − ∫ , где C − линия, определяемая уравнениями [ ] 3cos ; 6cos 4sin 1; 4sin ; 0; 2 x t y t t z t t π = = − + = ∈ (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t ). 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) a z i xk = − + Вариант 7 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 2 2, y = x − . y = x 2. Найти массу неоднородной пластины : D 2 2 4 , x y y + = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) , 4 x y y µ = − 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y y + − ≤ 2 2 2 0, x y x + − ≥ 0, x ≥ относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V ( ) 2 2 8 , z x y = + 32. z = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область : V 2 2 2 , x y z = + 3. x = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 4 , x y = 4, y z + = 2 4 y z + = . 7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: 2 2 L x ydx xy dy − + ∫ , где L − окружность 2 2 2 x y R + = 8. Вычислите поток векторного поля 2 2 2 ( ) ( ) ( ) F x y i y z j x z k = + + + + + через внеш- нюю сторону поверхности 2 2 2 2 x y z z + + = 9. Найдите циркуляцию векторного поля 2 2 2 F y i x j z k = + + по контуру, вырезанному координатными плоскостями из сферы 2 2 2 1 x y z + + = при 0, 0, 0 x y z ≥ ≥ ≥ . 10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: ( ) 2 2 1 2 2 x z x y a xyz y i x j k = − + − + + Вариант 8 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ( ) , D f x y dxdy ∫∫ в декартовых координатах для области : D 0, x ≥ 1, y ≥ 3, y ≤ y = x . 2. Найти массу неоднородной пластины : D , y x = , y x = − 1, y = если поверхностная плотность в каждой ее точке ( ) , 1 x y y µ = − 3. Найти статический момент однородной пластины : D 2 2 2 0, x y x + − ≤ 2 2 2 0, x y y + + ≥ 0, y ≤ относительно оси Oy , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область : V 2 2 3 , y x z = + 9. y = 5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область : V 2 2 , x y z = + 3. x = 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2 2 1, x y + = 2 2 4, x y + = 4, x y x + + = 0 z = |