Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

• Название: Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
• Анкор: Zadanie_Kratnye_integraly_MTUSI_2013g.pdf
• Дата: 17.03.2019
• Размер: 303.56 Kb.
• Имя файла: Zadanie_Kratnye_integraly_MTUSI_2013g.pdf
• Тип: Документы; #25908
• страница: 2 из 4

.
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
(
)
2 2
2 2
L
x
y
dx
x
y
dy
+
+
+
∫
, где
L
−
окружность
2 2
2
x
y
R
+
=
8.
Вычислите поток векторного поля
(1 2 )
(1
)
2
F
x
y i
y
x j
zk
=
−
+
+
+




через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями
2
(
2 )
4
z
x
y
+
+
= ,
0
x
= ,
0
y
= и
0
z
= (
0
x
≥ ,
0
y
≥ ,
0
z
≥ ).
9.
Вычислить модуль криволинейного интеграла (циркуляцию)
(
)
(
)
(
)
2 6
4 3
2 5
C
xz
y dx
x
z dy
x
z
y dz
+
+
+
+
+
+
∫
, где C − линия пересечения эллиптического цилиндра
2 2
1 81
y
z
+
= с плоскостью
3 5
x
z
y
=
+
10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
(
)
2 2
3
a
xz
yzi
xzj
xyk
=
+
+





Вариант 9 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
2 2 ,
y
x
=
2 2 ,
x
y
=
1.
x
≤
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
0,
x
=
2 ,
y
x
=
2,
x
y
+ = если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
,
2
x y
x
y
µ
= − −
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
x
+
−
≥
2 2
2 0,
x
y
y
+
+
≤
0,
x
≥ относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
9
,
y
x
z
=
+
2 2
4,
x
z
+
=
0.
y
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область :
V
2 2
2
,
y
x
z
=
+
2.
y
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2 2
,
z
x
y
=
+
2
,
y
x
=
1,
y
=
0
z
=
.
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
(
)
2 2
,
L
x
y dx
x
y dy
−
+
+
∫
где
L
−
контур треугольника
:
ABC
(
)
1; 1
A
− ,
( )
3;1
B
,
( )
1;3
C
8.
Вычислите поток векторного поля
(
2 )
(
2 )
(
3 )
F
x
y i
x
y j
y
z k
=
+
+
−
+
+




через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями
0
x
y
− = ,
0
x
y
+ = ,
1
y
z
+ = и
0
z
= .
9.
Найдите циркуляцию векторного поля
2 2
F
y i
xzj
x k
=
+
+




по ломаной OABCDO , где (0, 0, 0)
O
, (1, 0, 0)
A
, (1, 1, 0)
B
, (0, 1, 1)
C
,
(0, 0, 1)
D
— вершины единичного куба. При вычислении по теореме Стокса в качестве поверхности, опирающейся на контур, выберите часть поверхности этого куба.
10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
(
)
a
x yj
zk
=
−




Вариант 10 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
0,
x
≥
y
x,
≥
2 9
y =
x
−
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
1,
x
=
2
,
x
y
=
2,
x
y
+ = если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
,
4
x y
x
y
µ
= − −
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
x
+
+
≤
2 2
2 0,
x
y
y
+
+
≥
0,
y
≤
относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
3
,
z
x
y
=
+
2 2
4,
x
y
+
=
0.
z
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область :
V
2 2
,
y
x
z
=
+
3.
y
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2 2
2 9,
x
y
z
+
+
=
1
z
≥
.
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
(
)
2 2
2
,
L
x
y
dx
x
y
dy
+
−
+
∫
где :
L
2 2
,
0.
y
R
x
y
 =
−

=

8.
Вычислите поток векторного поля
3 2
F
zi
y j
xk
=
+
−




через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями
2 4
z
x
=
−
,
1
y
= ,
0
y
= и
0
z
= .
9.
Вычислить модуль криволинейного интеграла (циркуляцию)
(
)
(
)
(
)
2 4
6 3
2 5
C
y
z dx
yz
x dy
y
z
x dz
+
+
+
+
+
+
∫
, где C − линия пересечения эллиптического цилиндра
2 2
1 81
x
z
+
= с плоскостью
3 5
y
z
x
=
+
10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
(
)
2
a
xyz yzi
xzj
xyk
=
+
+





Вариант 11 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
2 2
y =
x,
− .
y = x
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
0,
y
=
2 1
,
x
y
= − если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
,
3
x y
x
y
µ
= − −
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
y
+
−
≤
2 2
2 0,
x
y
x
+
+
≥
0,
x
≤ относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
6
,
y
x
z
=
+
8.
y
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область :
V
2 2
2
,
x
y
z
=
+
2 2
1,
y
z
+
=
0.
x
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
,
z
x
=
2 4
,
z
y
= −
0
x
=
.
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
2 2
2 3
,
2
L
y
x
dx
x
y
dy


+
+
−




∫
где
L
−
контур треугольника
:
ABC
( )
1;1
A
,
( )
2;2
B
,
( )
1;3
C
8.
Вычислите поток векторного поля
2
(
1)
(
)
F
z
xi
yj
z
x k
=
+
+
+ −




через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями
2 2
4
z
x
y
=
−
−
и
1
z
=
9.
Найдите циркуляцию векторного поля
(
)
F
yzi
xzj
x
y k
=
+
+
−




вдоль эллипса, образованного пересечением эллипсоида
2 2
2 2
2
x
y
z
+
+
= с плоскостью
0
x
y
+ = .
10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
a
zj
yk
= −




Вариант 12 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
2 2
x =
y ,
−
2
x = y ,
0.
y
≥
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
2
,
y
x
=
2
,
x
y
=
если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
,
3 2
6.
x y
x
y
µ
=
+
+
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
y
+
−
≥
2 2
2 0,
x
y
x
+
−
≤
0,
y
≥
относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
8
,
x
y
z
=
+
1 .
2
x
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область :
V
2 2
,
x
y
z
=
+
2 2
1,
y
z
+
=
0.
x
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
(
)
2 2
1 1,
x
y
−
+
=
0,
z
=
4
x
y
z
+ + =
.
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
(
)
2 2
2 2
L
x
y
dx
x
y
dy
+
+
+
∫
, где
L
−
контур треугольника
:
ABC
( )
1;1
A
,
( )
2;2
B
,
( )
1;3
C
8.
Вычислите поток векторного поля
2 2
F
xi
y j
zk
=
+
+




через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями
y
x
=
,
1
x
z
+ = ,
0
y
= и
0
z
= .
9.
Вычислить модуль криволинейного интеграла (циркуляцию)
(
)
(
)
(
)
2 3
5 3
7
C
x
z dx
y
dy
z
x dz
−
+
+
+
+
∫
, где C − линия пересечения эллиптического цилиндра
2 2
1 16 25
x
z
+
= с плоскостью 5 10 6
0
x
y
z
−
−
= .
10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
(
)
2 3
a
x
xi
yj
=
−




Вариант 13 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
0,
y
≥
2y 12 0,
x +
=
−
lg .
y =
x
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
2
,
y
x
=
4,
y
=
если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
,
2 5
10.
x y
x
y
µ
=
+
+
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
y
+
+
=
2 2
0,
x
y
y
+
+ =
0,
x
≤ относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
2
,
x
y
z
=
+
2 2
4,
y
z
+
=
0.
x
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область :
V
2 2
2
,
z
x
y
=
+
3.
z
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2 1
,
z
x
= −
2 1
,
z
y
= −
0
z
=
.
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
(
)
L
xy
x
y dx
xy
x
y dy
+ +
+
+ −
∫
, где
L
−
окружность
2 2
2
x
y
R
+
=
8.
Вычислите поток векторного поля
3 2
(
)
F
y i
y
x j
z k
=
+
−
+




через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями
2 2
z
x
y
=
+
и
4
z
=
9.
Найдите циркуляцию векторного поля
2
(
)
F
yi
y j
z
x k
=
+
+ −




по контуру, заданному параметрически: cos ,
cos ,
sin .
x
t
y
t
z
t
=

 =

 =

10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
(
)
( )
(
)
2 2
2
a
x x y
z i
y
j
z k
=
−
+ −
+





Вариант 14 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
0,
x
≤
1,
y
≥
3,
y
≤
y = x
−
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
0,
x
=
0,
y
=
1,
x
y
+ = если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
2 2
,
2
x y
x
y
µ
=
+
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
x
+
−
=
2 2
0,
x
y
x
+
− =
0,
y
≥ относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
4
,
y
x
z
=
+
2 2
16,
x
z
+
=
0.
y
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область :
V
2 2
,
z
x
y
=
+
3.
z
=
6.
Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2 2
2 25,
x
y
z
+
+
=
3 4
z
≤ ≤
.
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
(
)
L
x
y dx
x
y dy
+
−
−
∫
, где
L
−
контур треугольника
:
ABC
( )
1;1
A
,
( )
2;2
B
,
( )
1;3
C
8.
Вычислите поток векторного поля
2
(
1)
F
xzi
yzj
z
k
=
+
+
−




через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями
2 2
z
x
y
=
+
,
2 2
1
x
y
+
=
, и
2
z
=
(
2 2
1
x
y
+
≤ ).
9.
Вычислить модуль криволинейного интеграла (циркуляцию)
(
)
(
)
(
)
2 5
3 3
7
C
x
dx
y
z dy
z
y dz
+
+
−
+
+
∫
, где C − линия пересечения эллиптического цилиндра
2 2
1 16 25
y
z
+
= с плоскостью 10 5
6 0
x
y
z
−
+
= .
10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
(
)
2 3
a
y
yj
zk
=
−




Вариант 15 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
0,
y =
y
x,
≥
2 2
y =
x
−
−
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
0,
x
=
2 1
,
y
x
= − если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
,
2
x y
x
y
µ
= − −
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
y
+
+
=
2 2
0,
x
y
y
+
+ =
0,
x
≥ относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
8
,
x
y
z
=
+
2.
x
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область :
V
2 2
2
,
y
x
z
=
+
2 2
4,
x
z
+
=
0.
y
=
6.
Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
4
,
z
xy
=
0,
z
=
2,
y
≥
4.
x
y
+ =
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
(
)
2 2
1 1
L
x
ydx
x
y
dy
−
+
+
∫
, где
L
−
окружность
2 2
2
x
y
R
+
=
8.
Вычислите поток векторного поля
3 2
F
xy i
y j
zk
=
+
+




через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями
2 2
2
x
z
z
+
=
,
1
y
= − и
1
y
= .
9.
Найдите циркуляцию векторного поля
2 2
2 2
2 2
(
)
(
)
(
)
F
z
y i
x
z
j
y
x k
=
−
+
−
+
−




по контуру, образованному пересечением поверхностей
2 2
4
x
y
x
+
=
и
0
x
y
z
+ + = .
10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
(
)
2
a
z yzi
xzj
xyk
=
+
+





Вариант 16 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
0,
y
≥
,
x
y
=
2 6
y
x
=
−
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
,
y
x
=
,
y
x
= если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
,
2
x y
x
y
µ
= − −
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
y
+
−
=
2 2
0,
x
y
y
+
− =
0,
x
≥
относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
9
,
z
x
y
=
+
36.
z
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область :
V
2 2
2
,
y
x
z
=
+
2.
y
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2 8
,
z
y
= −
0,
z
=
2 2
4.
x
y
+
=
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
(
)
L
xy
x
y dx
xy
x
y dy
+ +
+
+ −
∫
, где
L
−
эллипс
2 2
2 2
1
x
y
a
b
+
= .
8.
Вычислите поток векторного поля
2
(
)
F
x
y i
xzj
k
=
+
+
+




через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями
2 2
4
x
y
x
+
=
,
0
z
= и
1
z
=
9.
Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию)
(
)
(
)
( )
3 3
3 2
2 3
2 3
C
x
y
z dx
y
x y
z x dy
xyz dz
−
+
+
−
−
+
∫
, где C − линия пересечения сферической поверхности
2 2
2 12
x
y
z
+
+
= с параболоидом
2 2
z
x
y
=
+
. Линия проходится по часовой стрелке, если смотреть от начала координат
Oz
10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
(
)
2 2
3
a
yz
yzi
xzj
xyk
=
+
+





Вариант 17 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
,
y
x
= −
2 2
y
x
= + .
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
2 1,
y
x
=
−
1,
y
=
если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
2 2
,
3 2
1.
x y
x
y
µ
=
+
+
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
y
+
−
=
2 2
0,
x
y
y
+
− =
0,
x
≤ относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
(
)
2 2
3
,
z
x
y
=
+
2 2
9,
x
y
+
=
0.
z
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область :
V
2 2
2
,
x
y
z
=
+
2.
x
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2
,
z
y
=
2 4
,
z
y
= −
0,
x
=
4.
x
y
+ =
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
2 2
L
xdy
ydx
x
y
−
+
∫
, где
L
−
контур прямоугольника 0 2
x
≤ ≤ , 1 5
y
≤ ≤ .
8.
Вычислите поток векторного поля
(
)
F
xzi
x
z j
xyk
=
+
+
+




через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями
2 2
7
x
y
z
+
+ = и
3
z
= .
9.
Найдите циркуляцию векторного поля
2 2
F
xi
z j
yk
=
−
+




по контуру, заданному параметрически: cos ,
3sin ,
2cos sin
1.
x
t
y
t
z
t
t
=

 =

 =
−
+

10.
Найти дивергенцию и ротор векторного поля
a

; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
(
)
a
z xi
yj
=
−




Вариант 18 1.
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
в декартовых координатах для области :
D
2 4
y =
x ,
−
0,
x
≥
1,
x =
0
y = .
2. Найти массу неоднородной пластины :
D
1,
x
=
0,
y
=
,
y
x
= если поверхностная плотность в каждой ее точке
( )
2 2
,
2 10.
x y
x
y
µ
=
+
+
3. Найти статический момент однородной пластины :
D
2 2
2 0,
x
y
x
+
+
=
2 2
0,
x
y
x
+
+ =
0,
y
≥ относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область :
V
2 2
2
,
x
y
z
=
+
2 2
4,
y
z
+
=
0.
x
=
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область :
V
2 2
2
,
z
x
y
=
+
2.
z
=
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2 2
9
,
z
x
y
= −
−
0,
z
=
2 2
4.
x
y
+
≥
7.
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
(
)
(
)
2 2
2 2
L
x
y
dx
x
y
dy
+
+
+
∫
, где
L
−
контур треугольника
:
ABC
( )
2;1
A
,
( )
4;1
B
,
( )
4;2
C