Документ Microsoft Word. Размах вариации r

• Название: Размах вариации r
• Дата: 11.09.2022
• Размер: 85.75 Kb.
• Имя файла: Документ Microsoft Word.docx
• Тип: Документы; #671566
• страница: 3 из 3

О проверке условия равенства дисперсий. Иногда условие б) вытекает из методики получения результатов наблюдений, например, когда с помощью одного и того же прибора или методики m раз измеряют характеристику первого объекта и п раз - второго, а параметры распределения погрешностей измерения при этом не меняются. Однако ясно, что в постановках большинства исследовательских и практических задач  нет основании априори  предполагать равенство дисперсий.

          Целесообразно ли проверять равенство дисперсий статистическими методами, например, как это иногда предлагают, с помощью F-критерия Фишера? Этот критерий основан на нормальности распределений результатов наблюдений, от которой неизбежны отклонения (см. выше). Причем хорошо известно, что в отличие от t-критерия распределение F-критерия Фишера сильно меняется при малых отклонениях от нормальности [3]. Кроме того, F-критерий отвергает гипотезу D(X)=D(Y) лишь при большом различии выборочных дисперсий. Так, для данных [1] о двух группах результатов химических анализов отношение выборочных дисперсий равно 1,95, т.е. существенно отличается от 1. Тем не менее гипотеза о равенстве теоретических дисперсий принимается на 1%-м уровне значимости. Следовательно, при проверке однородности применение F-критерия для предварительной проверки равенства дисперсий нецелесообразно.

          Итак, в большинстве технических, экономических, медицинских и иных задачусловие б) нельзя считать выполненным, а проверять его нецелесообразно.

          Последствия нарушения условия равенства дисперсий. Если объемы выборок т и п велики, то можно показать, что распределение статистики t описывается с помощью только математических ожиданий M(Х) и M(Y), дисперсий D(X), D(Y) и отношения объемов выборок, а именно:

P(t<x)»Ф(b_mnx-a_mn),             (4)

где a_mn определено формулой (3),

.                  (5)

Если b_mn ¹ 1, то распределение статистики t отличается от распределения, заданного формулой (2), полученной в предположении равенства дисперсий. Когда b_mn=1? В двух случаях - при m = n и при D(X) = D(Y). Таким образом, при больших и равных объемах выборок требовать выполнения условия б) нет необходимости. Кроме того, ясно, что если объемы выборок мало различаются, то b_mn близко к 1. Так, для данных [1] о двух группах результатов химических анализов имеем b*_mn= 0,987, где b*_mn - оценка b_mn , полученная заменой в формуле (5) теоретических дисперсий на выборочные. 

          Область применимости традиционного метода проверки однородности с помощью критерия Стьюдента. Подведем итоги рассмотрения t-критерия. Он позволяет проверять гипотезу H'₀ о равенстве математических ожиданий, но не гипотезу H₀о том, что обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности. Классические условия применимости критерия Стьюдента в подавляющем большинстве технических, экономических, медицинских и иных задач не выполнены. Тем не менее при больших и примерно равных объемах выборок его можно применять. При конечных объемах выборок традиционный метод носит неустранимо приближенный характер.

          Критерий Крамера-Уэлча равенства математических ожиданий. Вместо критерия Стьюдента целесообразно для проверки H'₀  использовать критерий Крамера-Уэлча [6], основанный на статистике

.                  (6)

Критерий Крамера-Уэлча имеет прозрачный смысл – разность выборочных средних арифметических для двух выборок делится на естественную оценку среднего квадратического отклонения этой разности. Естественность указанной оценки состоит в том, что неизвестные статистику дисперсии заменены их выборочными оценками. Из многомерной центральной предельной теоремы и из теорем о наследовании сходимости [4] вытекает (см. главу 1.4), что при росте объемов выборок  распределение статистики Т Крамера-Уэлча сходится к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Итак, при справедливости H'₀ и больших объемах выборок распределение статистики Т приближается с помощью стандартного нормального распределения Ф(х), из таблиц которого следует брать критические значения.

          При т=п, как следует из формул (1) и (6), t=T. При т¹п этого равенства нет. В частности, при s_x²в (1)стоит множитель (m - 1), а в (6)- множитель п.

          Если M(X)¹M(Y), то при больших объемах выборок

P(T<X)»Ф(x-c_mn),           (7)

где

.               (8)

При т=п или D(X)=D(Y), согласно формулам (3) и (8), a_mn=c_mn , в остальных случаях равенства нет.

          Из асимптотической нормальности статистики Т, формул (7) и (8) следует, что правило принятия решения для критерия Крамера-Уэлча выглядит так:

-                                   если |T|< то гипотеза однородности (равенства) математических ожиданий принимается на уровне значимости 

-                     если же |T|> то гипотеза однородности (равенства) математических ожиданий отклоняется на уровне значимости  .

          В прикладной статистике наиболее часто применяется уровень значимости   Тогда значение модуля статистики Т Крамера-Уэлча надо сравнивать с граничным значением

          Из сказанного выше следует, что применение критерия Крамера-Уэлча не менее обосновано, чем применение критерия Стьюдента. Дополнительное преимущество - не требуется равенства дисперсий D(X)=D(Y). Распределение статистики Т не является распределением Стьюдента, однако и распределение статистики t, как показано выше, не является таковым в реальных ситуациях.

          Распределение статистики Т при объемах выборок т=п=6, 8, 10, 12 и различных функциях распределений выборок F(x) и G(x)изучено нами совместно с Ю.Э. Камнем и Я.Э. Камнем методом статистических испытаний (Монте-Карло). Рассмотрены различные варианты функций распределения F(x) и G(x). Результаты показывают, что даже при таких небольших объемах выборок точность аппроксимации предельным стандартным нормальным распределением вполне удовлетворительна. Поэтому представляется целесообразным во всех тех случаях, когда в настоящее время используется критерий Стьюдента, заменить его на критерий Крамера-Уэлча. Конечно, такая замена потребует переделки ряда нормативно-технических и методических документов, исправления учебников и учебных пособий для вузов.

         Пример 1. Пусть объем первой выборки  Для второй выборки  Вычислим величину статистики Крамера-Уэлча



Поскольку полученное значение по абсолютной величине меньше 1,96, то гипотеза однородности математических ожиданий принимается на уровне значимости 0,05.

          Непараметрические методы проверки однородности. В большинстве технических, экономических, медицинских и иных задач представляет интерес не проверка равенства математических ожиданий или иных характеристик распределения, а обнаружение различия генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, т.е. проверка гипотезы H₀. Методы проверки гипотезы H₀ позволяют обнаружить не только изменение математического ожидания, но и любые иные изменения функции распределения результатов наблюдений при переходе от одной выборки к другой (увеличение разброса, появление асимметрии и т. д.). Как установлено выше, методы, основанные на использовании статистик t Стьюдента и Т Крамера-Уэлча, не позволяют проверять гипотезу H₀ . Априорное предположение о принадлежности функций распределения F(x) и G(x) к какому-либо определенному параметрическому семейству (например, семействам нормальных, логарифмически нормальных, распределений Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений и др.), как также показано выше, обычно нельзя достаточно надежно обосновать. Поэтому для проверки H₀ следует использовать методы, пригодные при любом виде F(x) и G(x), т.е. непараметрические методы. (Напомним, что термин «непараметрический метод» означает, что при использовании этого метода нет необходимости предполагать, что функции распределения результатов наблюдений принадлежат какому-либо определенному параметрическому семейству.)

          Для проверки гипотезы H₀  разработано много непараметрических методов - критерии Смирнова, типа омега-квадрат (Лемана - Розенблатта), Вилкоксона (Манна-Уитни), Ван-дер-Вардена, Сэвиджа, хи-квадрат и др. [1, 2, 7]. Распределения статистик всех этих критериев при справедливости H₀ не зависят от конкретного вида совпадающих функций распределения F(x)ºG(x). Следовательно, таблицами точных и предельных (при больших объемах выборок) распределений статистик этих критериев и их процентных точек [1, 2] можно пользоваться при любых непрерывных функциях распределения результатов наблюдений.

          Каким из непараметрических критериев пользоваться? Как известно [3], для выбора одного из нескольких критериев необходимо сравнить их мощности, определяемые видом альтернативных гипотез. Сравнению мощностей критериев посвящена обширная литература.

          Хорошо изучены свойства критериев при альтернативной гипотезе сдвига

H_1c : G(x)=F(x-d), d¹0.

Критерии Вилкоксона, Ван-дер-Вардена и ряд других ориентированы для применения именно в этой ситуации. Если m раз измеряют характеристику одного объекта и п раз - другого, а функция распределения погрешностей измерения произвольна, но не меняется при переходе от объекта к объекту (это более жесткое требование, чем условие равенства дисперсий), то рассмотрение гипотезы H_1c оправдано. Однако в большинстве технических, экономических, медицинских и иных исследований нет оснований считать, что функции распределения, соответствующие выборкам, различаются только сдвигом.