Реферат функции

• Название: Реферат функции
• Дата: 26.02.2021
• Размер: 64.38 Kb.
• Имя файла: bestreferat-120359.docx
• Тип: Реферат; #179662

РЕФЕРАТ
Функции

Понятие функции – одно из важнейших понятий математики. Пусть даны два множества Х и У и каждому элементу х  Х поставлен в соответствие единственный элемент у  У, который обозначен через f(х). В этом случае говорят, что на множестве Х задана функция f и пишут:
f : Х  У.
Например, пусть Х = а; b; с; d, У = ; ; ;  и функция f:Х У определена так:
f(a) = , f(b) = , f(c) = f(d) = .
Наглядно эту функцию можно представить следующим образом: множества Х и У изобразим в виде областей, элементы множеств – в виде точек, а установленное соответствие – в виде стрелок:




Идея функциональной зависимости зародилась в античной математике, но она еще не была явно выражена и не являлась самостоятельным объектом исследования, хотя и был известен широкий круг конкретных систематически изучавшихся функциональных соответствий. В зачаточной форме понятие функции появляется в трудах ученых в средние века, но лишь в работах математиков 17 века, и прежде всего П. Ферма, Р. Декарта, И. Ньютона и Г. Лейбница, это понятие стало оформляться как самостоятельное. Термин «функция» впервые появился у Г. Лейбница. Для задания функции использовались геометрические, аналитические и кинематические концепции, но постепенно стало превалировать представление о функции как о некотором аналитическом выражении. В четкой форме это было сформулировано в 18 веке. И. Бернулли принадлежит определение, что «функцией переменной величины… называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Л. Эйлер, приняв это определение, заменил в нем слово «количество» словами «аналитическое выражение». Несколько позже у Л. Эйлера появился уже и более общий подход к понятию функции как зависимости одной переменной величины от другой. Эта точка зрения получила свое дальнейшее развитие в трудах Ж. Фурье, Н.И. Лобачевского, П. Дирихле, Б. Больцано, О. Коши, где стало выкристаллизовываться представление о функции как о соответствии между двумя числовыми множествами. Так, в 1834 году Н.И. Лобачевский писал: «Общее понятие функции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Определение функции как соответствия между двумя произвольными (не обязательно числовыми) множествами в 1887 году было сформулировано Р. Дедекиндом.

Понятие соответствия, а следовательно, и понятие функции иногда сводится к другим понятиям (множеству, отношению или другим теоретико-множественным и логико-математическим концепциям), а иногда принимается за первичное, неопределяемое понятие, поскольку, как это выразил, например, А. Черч: «В конечном счете понятие функции – или какое-либо сходное понятие, например, понятие класса, - приходится считать первоначальным, или неопределимым».

Ниже рассматривается понятие функции, основанное на понятии множества и простейших операций над множествами.

Пусть даны два множества Х и У. Всякое множество f = (х; у) упорядоченных пар (х; у), х  Х, у У, такое, что для любых пар (х; у) f и (х; у)  f из условия уу следует, что х  х, называется функцией, или, что то же самое, отображением из Х в У.

В рассмотренном выше примере функция представляет собой следующее множество упорядоченных пар: f = (а; ), (b; ), (с; ), (d; ). Таким образом, функция есть не что иное, как спецификация подмножества декартова произведения Х У.

Множество всех первых элементов упорядоченных пар (х; у) некоторой функции f называется областью определения этой функции и обозначается Х_f, а множество всех вторых элементов – множеством значений функции, которое обозначается У_f . Если f = (х; у) есть функция, то пишут f: Х_f  У и говорят, что f отображает множество Х_f во множество У. В случае Х = Х_f пишется просто f: ХУ.

Если f: ХУ – функция и (х; у)  f, то пишут у = f(х), а также f: х у,

х  Х, у  У, и говорят, что функция f ставит в соответствие элементу х элемент у или, что тоже самое, элемент у соответствует элементу х. В этом случае говорят также, что элемент у является значением функции f в точке х или образом элемента х при отображении f.

Иногда сама функция f обозначается символом f(х). Обозначение функции f:ХУ и ее значения в точке х  Х одним и тем же символом f(х) обычно не приводит к недоразумению, так как в каждом конкретном случае, как правило, всегда бывает ясно, о чем именно идет речь. Обозначение f(х) часто оказывается удобнее обозначения f:х у при вычислениях. Например, запись f(х) = х² удобнее и проще использовать при аналитических преобразованиях, чем запись f:х х².

Вспомним еще, что бинарное отношение из множества Х во множество У мы определили как всякое подмножество декартова произведения Х У. Таким образом, функция f:ХУ – это просто специальный вид бинарных отношений из Х в У, который удовлетворяет условию: для каждого х  Х существует единственный у  У такой, что (х; у)  f. Подчеркнем, что один и тот же образ могут иметь несколько элементов области определения, и что не все элементы множества У обязаны быть образами некоторых элементов Х, т.е. множество значений функции У_f может совпадать с множеством У, а может быть его собственным подмножеством.

При заданном у  У совокупность всех таких элементов х  Х, что

f(х) = у называется прообразом элемента у и обозначается f ^-1(у). Таким образом,
f ^-1(у) = х х  Х, f(х) = у.
Очевидно, что если у  У\ У_f, то f ^-1(у) = .
Сюръекции, инъекции и биекции
Пусть задано отображение f:Х  У. Иначе говоря, каждому элементу х  Х поставлен в соответствие и притом единственный элемент у  У, и каждый элемент у  У_f  У поставлен в соответствие хотя бы одному элементу х  Х. Если У=Х, то говорят, что отображение f отображает множество Х в себя. Если У= У_f , т.е. множество У совпадает с множеством значений функции f, то говорят, что f отображает множество Х на множество У, или что отображение f является сюръективным отображением, короче сюръекцией. Таким образом, отображение f:Х  У есть сюръекция, если для любого элемента у  У существует, по крайней мере, один такой элемент х  Х, что f(х) = у.
Если при отображении f:Х  У разным элементам х  Х соответствуют разные элементы у  У, т.е. при х  х имеет место f(х)  f(х), то отображение f называется инъективным отображением или инъекцией. Таким образом, отображение f:Х  У инъективно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента у, принадлежащего множеству значений функции f, т.е. y У_f, состоит в точности из одного элемента. Если отображение f:Х  У является одновременно инъекцией и сюръекцией, то оно называется биективным отображением или биекцией.
Примеры.

1. 
   Функция f:R  R, f(х) = х² не является ни инъекцией, ни сюръекцией, так как разным элементам, например, х = 2 и х = -2 соответствует одинаковый образ 4, и любое отрицательное действительное число не является образом ни для одного из элементов области определения.
   
2. 
   Функция f: a; b; c; d  , , , , , заданная следующим образом: f(а) = , f(b) = , f(c)= , f(d) =  является инъективной и не является сюръективной.
   

Эта функция инъективная, потому что у нее ни для одной пары элементов области определения образы не совпадают, но сюръекцией эта функция не является, потому что элемент  множества У не является образом какого-либо элемента множества Х.

3. 
   С другой стороны, функция g:a; b; c; d; e  ; ; ; , определенная так g(a) = , g(b) = , g(c) = , g(d) = , g(e) =  является сюръективной и не является инъективной.
   

Эта функция сюръективна потому, что каждый элемент множества У является образом, по крайней мере, одного элемента из множества Х, но инъективной эта функция не является, потому что два элемента а и b области определения имеют один образ.

На практике доказательство того, что заданная функция является инъективной, как правило, бывает проще производить, используя метод доказательства с помощью контрапозиции, согласно которого доказывается, что для всех хи х  Х из равенства f(х)= f(х) следует, что х= х. Конечно, чтобы показать, что функция не является инъективной, нам достаточно найти контрпример, то есть найти два разных элемента х₁ и х₂  Х, у которых образы равны: f(х₁) = f(х₂).

4. 
   Любая линейная функция f:RR, f(x) = ax+b, (где а,b – фиксированные действительные числа, а0) является одновременно и инъективной и сюръективной, т.е. является биекцией.
   

Чтобы показать, что f является инъекцией, мы должны показать, что для всех действительных чисел хи х из равенства f(х)= f(х) следует, что х= х. Итак, пусть f(х)= f(х)  ах + b = ах + b  ах= ах  х= х, поэтому f – инъекция.

Чтобы показать, что f – сюръекция, предположим, что у – любое действительное число. Мы должны найти х  R такое, что f(х) = у.

Пусть
,
тогда х  R и
,
поэтому f -сюръекция.

Рассмотрим функцию f: Х  У, где Х и У – подмножества R. Если у нас есть график функции у = f(х), то мы можем легко ответить на вопросы: является или нет функция f(х) инъективной или сюръективной? Предположим, что f не инъективна. Тогда существуют два элемента хи х в Х такие, что х х, но f(х)= f(х) = b, то есть горизонтальная прямая у = b должна дважды пересечь график функции в точках, которые отвечают х = х и х = х.




Если же f – инъективна, то такой ситуации никогда не возникнет, то есть горизонтальная прямая у = b, проведенная через любую точку b  У на оси Оу, никогда не будет иметь с графиком функции более, чем одной общей точки.

Если же f – сюръективна, то У_f = У, и любая горизонтальная прямая, проходящая через точку множества У, обязательно будет иметь общую с графиком точку.

Проведенные рассуждения суммируем в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть f:Х  У – функция, где Х и У – подмножества R. Тогда:

1. 
   f – инъективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b на оси Оу, будет иметь самое большее, одну общую точку с графиком f(х);
   
2. 
   f – сюръективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b  У оси Оу, будет иметь, по крайней мере, одну общую точку с графиком f(х).
   

Примеры.





г)





Ф
ункция с графиком (а) является инъективной, так как каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b оси OУ имеет не более, чем одну общую точку с графиком. Эта функция не является сюръективной, так как, например, горизонтальные прямые, проходящие через точки с отрицательными ординатама, не пересекают график функции ни разу.

График (б) – это график функции, которая сюръективна, но не инъективна. Каждая горизонтальная прямая, проходящая через точки У, обязательно имеет хотя бы одну общую точку с графиком. Однако, у самой функции имеется горизонтальный участок, поэтому при соответствующем значении у горизонтальная прямая будет иметь бесконечно много общих точек с графиком.

Аналогичные рассуждения показывают, что функция, представленная на графике (в), будет одновременно и инъективна и сюръективна, т.е. является биекцией, а функция, изображенная на графике (г), одновременно не является ни инъективной, ни сюръективной.

Если f:Х  У и А  Х, то множество S = ууУ, у = f(х), х  А, т.е. множество всех тех у, в каждый из которых при отображении f отображается хотя бы один элемент из подмножества А множества Х, называется образом подмножества А и обозначается S = f(А). В частности, всегда У_f = f(X). Для образов множеств А Х и В Х справедливы следующие соотношения:
f(АВ) = f(А)f(B),

f(АВ)  f(А)f(B),

f(А)\f(В)  f(А\В),
и если АВ, то f(А)f(В).

Если f:Х  У и SУ, то множество А = ххХ, f(х)S

называется прообразом множества S и обозначается А=f ^-1(S). Таким образом, прообраз множества S состоит из всех тех элементов хХ, которые при отображении f отображаются в элементы из S, или, что то же самое, которое состоит из всех прообразов элементов уS, т.е. f ^-1(S) = f^{- -1}(у). Для прообразов множеств SУ и ТУ справедливы соотношения:
f ^-1(S  Т) = f ^-1(S)  f ^-1(Т)

f ^-1(S  Т) = f ^-1(S)  f ^-1(Т)

f ^-1(S \ Т) = f ^-1(S) \ f ^-1(Т),
а если SТ, то f ^-1(S)  f ^-1(Т).

Если АХ, то функция f:Х  У естественным образом порождает функцию, определенную на множестве А, ставящую в соответствие каждому элементу хА элемент f(х). Эта функция называется сужением функции f на множестве А и иногда обозначается f_А. Таким образом, f_А: АУ и для любого хА имеет место f_А: х f(х). Если множество А не совпадает со множеством Х, то сужение f_А функции f на множестве А имеет другую область определения, чем функция f, и, следовательно, является другой, чем f, функцией.
Композиция функций
Пусть f:ХУ и g:УZ – функции. Функция F:XZ, определенная для каждого хХ формулой F(x)=g(f(x)) называется композицией (суперпозицией) функций f и g, или сложной функцией, и обозначается .

Композицию функций можно проиллюстрировать следующим образом:




Пример. Пусть Х= a; b; c; d; e, У= ; ; ; , Z= 1; 2; 3; 4; 5; 6. Пусть f:Х У и g:УZ – функции, определенные соответственно так:

f(a) = , f(b) = , f(c) = f(d) = f(e) = ;

g() = 3, g() = g() = 5, g() = 1.





Тогда композиция функций : ХZ будет: а 5, b 3, с 5, d 5, e 5.

Заметим, что множество значений композиции является подмножеством множества значений функции g, т.е. имеет место

Теорема 2. Пусть :ХУ и g:УZ. Тогда ( ) (Х)  g (У) или  .

Доказательство. Пусть z  (g f) (X), тогда существует хХ такой, что

( )(х) = g(f(x)) = z. Пусть у=(х)У, тогда g(y) =z, поэтому zg(Y) и теорема доказана.

Теорема 3. Пусть даны две функции f:ХУ и g:УZ. Тогда если f и g обе инъективны, то композиция также инъективна, а если f и g обе сюръективны, то и композиция также сюръективна.

Доказательство. Пусть f и g – инъективны. Пусть х, хХ, у=f(x), у=f(x). Тогда из равенства ( )(х) = ( ) (х) следует, что g(f(x)) = g(f(x)) или g(y) = g(у) у = у (так как g инъективна)  f(x) = f(x) (так как у = f(x), у = f(x)  х = х (так как f инъективна), следовательно – инъективна.

Пусть f и g сюръективны и z  Z. Так как g сюръективна, то существует у  У такой, что g(y) = z, и так как f сюръективна, то существует х  Х такой, что f(x) = у.

Следовательно, существует х  Х такой, что ( ) (х) = g(f(x)) = g(y) = z, поэтому сюръективна.

Можно показать, что обратное утверждение не имеет места, то есть если композиция инъективна (сюръективна), то отсюда не следует, что f и g с неизбежностью являются инъективными (сюръективными). Для этого приведем следующий пример:

Пусть
Х= х₁; х₂, У= у₁; у₂; у₃, Z = z₁; z₂ и определим f:ХУ,

f(х₁) = у₁, f(х₂) = у₂;

g:УZ, g(у₁) = Z₁, g(у₂) = g(у₃) = Z₂:

Я
сно, что f – инъективна, но не сюръективна; g – сюръективна, но не инъективна, тем не менее композиция ( ):ХZ дает ( )(х₁) = z₁, ( )(х₂) = z₂, то есть одновременно и инъективна, и сюръективна.

Рассмотренный пример приводит к следующей теореме:

Теорема 4. Пусть даны две функции f:ХУ и g:УZ. Тогда если композиция инъективна, то f также инъективна, а если композиция сюръективна, то g также сюръективна.

Доказательство. В обоих случаях применим метод доказательства с помощью контрапозиции. В первом случае высказывание контрапозиции будет следующим: если f – неинъективная, то и композиция – неинъективная. Предположим, что f – неинъективная, тогда существуют х, хХ такие, что хх, но f(x) = f(x).

Следовательно, ( )(х) = (g  f)(х), поэтому композиция функций также не инъективна.

Во втором случае высказывание контрапозиции будет таким: если g несюръективна, то композиция несюръективна. Предположим, что g несюръективна. Тогда множество значений этой функции g(У) является собственным подмножеством множества Z. Так как, по теореме 2, ( )(Х)  g(Y), то ( )(Х) есть также собственное подмножество множества Z, поэтому композиция не является сюръективной функцией.