Реферат по дисциплине Численные методы и программирование Тема Жизнь и научная работа К. Ф. Гаусса и Ф. Л. Зейделя Выполнил студент группы ас рахимов Б
 Скачать 0.8 Mb.
|
1 2 Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 12 АСИЗ-304.2020 создатели неевклидовой геометрии могли бы обратить свой гений на другие вещи. О себе Гаусс говорил, что он во всем математик. Это верно, если учесть, что математик его дней включал также того, кого теперь можно назвать занимающимся математической физикой. Действительно, его девиз Ты, природа, моя богиня, И я служу твоим законам. Три года в Гёттингенском университете (октябрь 1795 -- сентябрь 1798) были наиболее плодотворными в жизни Гаусса. Он погрузился в работу. Друзей у него было немного. Один из них -- Вольфганг (Фаркаш) Бойяи -- стал другом на всю жизнь. Течение этой дружбы и ее значение в истории неевклидовой геометрии потребовали бы слишком много места для рассказа о них здесь. Сыну Вольфганга, Иоганну (Яношу), пришлось пройти практически тот же путь, которому следовал Гаусс, чтобы создать неевклидову геометрию в полном неведении того, что старый друг отца предвосхитил его. Сгон замыслил большое сочинение по теории чисел. Теперь оно принимает определенную форму, и кг. Арифметические исследования (Disquisitiones Arithmeticae) были практически закончены. Чтобы ознакомиться стем, что уже было сделано в высшей арифметике, и увериться, что он предоставляет должный кредит своим предшественникам, Гаусс в сентябре 1798 г. отправился в Хельмштедт, где была хорошая математическая библиотека. Там он обнаружил, что его слава опередила его. Он был сердечно принят ведавшим библиотекой профессором математики Иоганном Фридрихом Пфаффом (1765 -- 1825), в доме которого и поселился. Гаусс и Пфафф стали пылкими друзьями. Пфафф, очевидно, считал своим долгом узнать, чем занимается его трудолюбивый молодой друг, так как по вечерам они прогуливались, беседуя о математике. Поскольку Гаусс был не только скромным, но и сдержанным в рассказах о своих работах, Пфафф, Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 13 АСИЗ-304.2020 вероятно, не узнал от него столько, сколько мог бы узнать. Гаусс чрезвычайно восхищался профессором (он был тогда самым известным математиком Германии) не только ввиду его превосходных работ, но и ввиду его открытого простого характера. Когда молодой гений, закончив Гёттингенский университет, стал беспокоиться о своем будущем, ему пришел на помощь герцог, который оплатил печатание его докторской диссертации (1799) и пожаловал стипендию, которая позволила ему продолжать научную деятельность. Прежде чем осветить Арифметические исследования, мы коснемся диссертации, за которую Гаусс был удостоен заочно степени доктора Хельмштедтским университетом Новое доказательство теоремы о том, что всякая целая рациональная алгебраическая функция одной переменной может быть разложена на действительные множители первой или второй степени. В диссертации, явившейся вехой в алгебре, лишь одно неверно. Первые два слова в названии могут создать впечатление, что Гаусс просто добавил новое доказательство к уже известным другим. Ему следовало опустить слово новое. Его доказательство было первым (смысл этого будет разъяснен ниже. Некоторые математики до Гаусса публиковали то, что они считали доказательствами этой теоремы, обычно называемой основной теоремой алгебры, но никто из них не достиг цели. Сего бескомпромиссными требованиями к логической и математической строгости Гаусс настаивал именно на доказательстве и дал его впервые. Другая, эквивалентная формулировка теоремы состоит в том, что всякое алгебраическое уравнение с одним неизвестным имеет корень. Начинающие часто принимают это утверждение на веру, не имея даже отдаленного понятия, в чем его смысл. Сомневаться в том, будто утверждение, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень, что-либо значит, можно до тех пор, пока не сказано, какой именно корень имеет уравнение. Смутно мы чувствуем, что какое-то число будет удовлетворять уравнению, а не полфунта масла. Гаусс превратил интуитивное представление в точное знание, доказав, что все корни любого алгебраического уравнения суть числа вида а + Ы, где аи- действительные числа (числа, которые соответствуют расстояниям -- положительным, отрицательными нулевому, -- измеряемым от фиксированной точки Она данной прямой -- оси х декартовой геометрии, a i есть квадратный корень из -- 1. Эти новые числа называются комплексными. Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 14 АСИЗ-304.2020 При этом Гаусс одним из первых дал связное последовательное объяснение комплексных чисел и интерпретировал их как точки плоскости, что принято теперь в элементарных учебниках алгебры. Гаусс считал теорему о том, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень (в том смысле, который был сейчас разъяснен) столь важной, что дал четыре различных ее доказательства, причем последнее в летнем возрасте. Сейчас иногда перемещают эту теорему из алгебры в анализ, ограничивая алгебру теми процессами, которые могут быть выполнены за конечное число шагов. Даже Гаусс предполагал, что график многочлена является непрерывной кривой и что если многочлен имеет нечетную степень, то график должен пересечь ось х по крайней мере один раз. Для любого новичка в алгебре это очевидно. Но теперь это не является очевидными требует доказательства, а попытки провести доказательство снова приводят к трудностям, связанным с непрерывностью и бесконечностью. Даже корни такого простого уравнения, как хне могут быть вычислены точно за любое конечное число шагов. Сейчас мы переходим к Арифметическим исследованиям. Это был первый из шедевров Гаусса, и некоторые считают его величайшим. Он явился прощанием с чистой математикой как с предметом исключительного интереса. После его опубликования в 1801 г. (Гауссу тогда было 24 года) он расширил свою активность, включив в нее астрономию, геодезию и учение об электромагнетизме, как в математическом, таки в практическом аспекте. Но арифметика была его первой любовью, ион в дальнейшем всю жизнь сожалел, что не нашел времени написать второй том, который он замышлял молодым человеком. В книге 7 частей. Должна была быть и я, но она опущена, чтобы снизить стоимость печатания. Вводная фраза предисловия описывает общую направленность книги. Исследования, содержащиеся в этом труде, относятся к той части математики, которая имеет дело с целыми числами, а также с дробями иррациональные числа постоянно исключаются. В первых трех частях излагается теория сравнений ив частности, дается исчерпывающее рассмотрение двучленного сравнения Х п = A (mod р, где пи А -- произвольные целые числа, ар -- простое число неизвестным целым числом является х. Изящная арифметическая теория имеет много сходства с соответствующей алгебраической теорией двучленного уравнениях п = А, нов своих собственно арифметических частях несравненно богаче и труднее алгебраической при этом алгебра не выявляет аналогий с арифметикой. Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 15 АСИЗ-304.2020 В четвертой части Гаусс развивает теорию квадратичных вычетов. Здесь находится первое опубликованное доказательство закона взаимности квадратичных вычетов. Доказательство является удивительным применением математической индукции и служит образцом изобретательной логики, повсеместной в книге. В пятой части начинается теория двойничных квадратичных форм, рассматриваемая с арифметической точки зрения и вскоре сопровождаемая обсуждением тройничных квадратичных форм, которые оказываются необходимыми для завершения бинарной теории. Закон взаимности квадратичных вычетов играет фундаментальную роль в этих трудных свершениях. Для форм первого вида задача, названная общей, состоит в рассмотрении решения в целых числах х, у неопределенного уравнения ax 2 + 2bxy + cy 2 = m, где a, b, c, m -- данные целые числа. Для форм второго вида предметом исследования являются целочисленные решениях, у и z уравнения ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dxz + 2eyz + fz 2 = m, где a, b, c, d, e, f, m -- данные целые числа. Выглядящим простым, однако на самом деле трудным вопросом в этой области является наложение необходимых и достаточных ограничений на ас, т, которые обеспечивают существование целочисленного решения неопределенного уравнения ax 2 + cy 2 + fz 2 = m. Шестая часть заключает применения предыдущей теории к различным специальным случаям, например к целочисленным решениям уравнения mx 2 + ny 2 = A, где m, n, A -- данные целые числа. В седьмой, последней части, которую многие считают венцом сочинения, Гаусс использует предшествующие результаты, особенно теорию двучленных сравнений, к замечательному рассмотрению алгебраического уравнениях п = 1, где п -- любое заданное целое число, в котором арифметика, алгебра и геометрия сплетаются вместе в образец особого совершенства. Уравнение х п = 1 дает алгебраическую формулировку геометрической задачи построения правильного угольника или деления окружности на п равных частей (смотри любой повышенный учебник алгебры'или тригонометрии. Арифметическое сравнение х' г = 1 (mod р, где Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 16 АСИЗ-304.2020 тир -- данные целые числа, причем р -- простое, является нитью, пронизывающей алгебру и геометрию и придающей упомянутому образцу простое значение. Это безупречное произведение искусства доступно пониманию любого студента, владеющего школьной алгеброй. Тем не менее Арифметические исследования не рекомендуются для новичков (сжатое изложение Гаусса было переработано позднейшими авторами и приобрело более удобочитаемую форму. Многие части всего содержащегося в книге были сделаны иначе прежде -- Ферма, Эйлером, Лагранжем, Лежандром и другими, но Гаусс дал трактовку всего со своей точки зрения, добавил много своего и вывел изолированные результаты своих предшественников из своих общих формулировок и решений относящихся сюда задач. Арифметические исследования, -- сказал Гаусс на склоне лет, -- вошли в историю. Ион был прав. Опубликованием этой книги высшей арифметике было придано новое направление, и теория чисел, которая в XVII и XVIII столетиях являлась разнообразным объединением несвязанных между собой отдельных результатов, приобрела связность и поднялась до уровня математической науки наряду с алгеброй, анализом и геометрией. Само сочинение было названо книгой за семью печатями. Его трудно читать даже знатокам, но содержащиеся в нем сокровища, а также (частично скрытые) сжатые синтетические доказательства теперь доступны всем, кто пожелает овладеть ими, главным образом в результате трудов ученика и друга Гаусса Петера Густава Лежен Дирихле (1805 -- 1859), который первым вскрыл семь печатей. Из-за классического совершенства стиля Исследования усваивались несколько медленно, и, когда, наконец, одаренные молодые люди начали, глубоко, изучать сочинение, его уже невозможно было достать, так как книготорговец обанкротился. Даже Эйзенштейн, любимый ученик Гаусса, так никогда и не имел своего экземпляра книги. Дирихле повезло больше. Его экземпляр сопровождал его во всех путешествиях, ион спал, положив его под подушку. Перед тем как ложиться, он осиливал какой-нибудь трудный параграф в надежде, часто исполнявшейся, что он пробудится ночью, чтобы обнаружить, что при повторном чтении все стало ясным. Именно Дирихле принадлежит изумительная теорема, упомянутая в связи с Ферма, о том, что всякая арифметическая прогрессия a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, ... , Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 17 АСИЗ-304.2020 в которой a и b -- целые числа, не имеющие общего делителя, большего единицы, содержит бесконечно много простых чисел. Она была доказана с помощью анализа, что само по себе является чудом, так как в теореме идет речь о целых числах, тогда как анализ имеет дело с непрерывным нецелым. Вероятно, все математики теперь сожалеют, что Гаусс был отклонен отшествия сквозь мрак парой глыб грязи, которые мы называем планетами его собственные слова, засверкавших неожиданно в ночном небе и сбивших его с пути. Менее значительные, чем Гаусс, математики, например Лаплас, могли бы сделать все, что сделал Гаусс в вычислении орбит Цереры и Паллады, даже если задача была того типа, о которых Ньютон говорил, что они относятся к труднейшим в математической астрономии. Однако блестящий успех Гаусса в этих вопросах принес ему немедленное признание первым математиком Европы и благодаря этому обеспечил ему уютное положение, в котором он мог сравнительно спокойно работать, в конце концов глыбы грязи, возможно, стали в итоге счастливыми звездами. Второй большой период деятельности Гаусса начался в первый день XIX столетия -- красный день истории философии и истории астрономии. С 1781 г, когда сэр Вильям Гершель (1738 -- 1822) открыл планету Уран, доведя, таким образом, число известных тогда планет до удовлетворявшего философов числа 7, астрономы прилежно исследовали небеса в поисках следующих членов солнечной семьи, которые, согласно закону Боде, ожидались между орбитами Марса и Юпитера. Поиски были бесплодными, пока Джузеппе Пияцци (1746 -- 1826) из Палермо в первый день XIX вне заметил объект, который вскоре был признан новой планетой, позже названной Церерой, первой в семействе малых планет, известных теперь. В письме своему другу Шумахеру от 1 ноября 1844 г. Гаусс говорит Вы видите одну и туже вещь математическую некомпетентность у современных философов -- Шеллинга, Гегеля, Неес фон Ессенбека и их последователей разве ваши волосы не встают дыбом от их определений Но даже с самим Кантом часто дело обстоит ненамного лучше по моему мнению, его различение аналитических и синтетических утверждений является одной из тех вещей, которые либо сводятся к тривиальности, либо являются ложными. Когда это писалось, Гаусс уже давно владел неевклидовой геометрией, которая сама по себе является достаточным опровержением некоторых утверждений Канта о пространстве и геометрии, ион мог невольно высказываться презрительно. Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 18 АСИЗ-304.2020 Из одного этого примера, касающегося чисто математических тонкостей, не следует делать заключение, что Гаусс не ценил философию. Наоборот. Все философские достижения производили на него большое впечатление, хотя он часто не одобрял средства, которыми они были достигнуты. Существуют проблемы, -- сказал он однажды, -- решению которых я придал бы неизмеримо большее значение, чем решению проблем математики, например касающиеся этики или нашего отношения к богу, нашей судьбы и нашего будущего но их решение нам не по силами оно полностью лежит за пределами естествознания. Церера была для математики бедствием. Чтобы понять, почему она была принята Гауссом с такой опустошающей серьезностью, надо вспомнить, что колоссальная фигура Ньютона, который умер более 70 лет до этого, все еще маячила над математикой в 1801 г. Великими математиками того времени были те, кто, подобно Лапласу, трудились над завершением ньютоновского здания небесной механики. Математика все еще смешивалась с математической физикой -- такой, какой она была тогда, -- и математической астрономией. Взгляд на математику как на самостоятельную науку, присущий Архимеду в III столетии дон. э, был утерян в блеске ньютоновского великолепия. Так было до тех пор, пока юный Гаусс не уяснил, что математика была признана как наука, первым долгом которой является заниматься собственными проблемами. Однако Церера соблазнила беспримерный ум Гаусса, когда ему было 24 года, как разв тот момент, когда он был готов сделать большой шаг в нехоженые дебри, которым предстояло стать просторами современной математики. Новая планета была открыта в таком положении, которое было чрезвычайно трудным для наблюдений за ней. Вычислить орбиту по скудным имевшимся данным было задачей, которую мог бы одолеть сам Лаплас. Ньютон заявлял, что такие задачи относятся к наиболее трудным в математической астрономии. Одни только вычисления, необходимые для установления орбиты с точностью, достаточной, чтобы увериться, что Церера при вращении вокруг Солнца не будет утеряна для телескопов, могли бы извести электромеханическую счетную машину даже теперь. Но для молодого человека с непостижимой памятью, позволявшей ему обходиться без таблицы логарифмов, когда ему было трудно или лень достать ее, вся эта бесконечная арифметика -- логистика, не арифметика -- была детским развлечением. Почти 20 лет возвышенные мечты, беглые наброски которых Гаусс юношей занес в свой дневник с необузданной радостью, лежали заброшенными, но Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 19 АСИЗ-304.2020 все жене забытыми. Церера была переоткрыта точно в том месте, которое предсказали изумительно искусные подробные вычисления молодого Гаусса. Вскоре неугомонными телескопами были пойманы, вопреки Гегелю, Паллада, Веста и Юнона -- младшие сестры маленькой Цереры, и их орбиты также оказались в согласии с вдохновенными вычислениями Гаусса. Вычисления, для выполнения которых Эйлеру потребовалось бы три дня и одно из которых якобы привело его к слепоте, теперь стали простыми упражнениями на несколько часов. Гаусс указал метод, и дело стало рутинным. В течение почти 20 лет большую часть своего времени он посвящал астрономическим вычислениям. Но даже такая убийственная работа не могла стерилизировать творческий гений Гаусса. В 1809 гон опубликовал свой второй 196 шедевр -- Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям, в котором исчерпывающее рассмотрение определения планетных и кометных орбит поданным наблюдений, включая трудный анализ возмущений, стало основой канона, который многие годы господствовал в вычислительной и практической астрономии. Это был великий трудно не такой великий, какой Гаусс легко мог создать, развив наметки, содержавшиеся в его дневнике. Никакого существенно нового математического открытия Теория движения не включала. Признание пришло с показательной быстротой после переоткрытия Цереры. Лаплас сразу приветствовал молодого математика как равного себе, а вскоре -- как превзошедшего его. Немного позже, когда Александр фон Гумбольдт (1769 -- 1859) -- знаменитый путешественники любитель наук -- спросил Лапласа, кто является величайшим математиком Германии, Лаплас ответил «Пфафф». -- А как же с Гауссом -- удивился Гумбольдт. -- О, -- сказал Лаплас, -- Гаусс -- это величайший математик мира. Десятилетие, последовавшее за эпизодом с Церерой, принесло Гауссу много счастья и много печали. Даже в этот ранний период его деятельности нашлись люди, умалявшие его успехи. Лица с положением, привлекавшие внимание образованной публики, осмеивали летнего молодого человека за напрасную трату времени на такое бесполезное занятие, как вычисление орбиты малой планеты. Они также осмеивали Гаусса 30 лет спустя, когда он заложил основы математической теории электромагнетизма и изобрел электрический телеграф. Гаусс позволял им получать удовольствие от своих острот. Он никогда не отвечал им публично, нов частном порядке выражал сожаление, что почтенные люди и жрецы науки могут так мелочно унижаться. Тем временем Гаусс продолжал свою работу, благодарный Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 20 АСИЗ-304.2020 научным обществам Европы за воздаваемые ему почести, ноне отклоняясь от выбранного пути. Герцог Брауншвейгский увеличил содержание молодого ученого и тем самым сделал возможным его брак. Он женился 9 октября 1805 г. в возрасте 28 лет на Иоганне Остхоф из Брауншвейга. От этого брака родилось трое детей. Иоганна умерла 11 октября 1809 г, оставив Гаусса безутешным. Его вечная весна обратилась в зиму. Хотя Гаусс в следующем году (4 августа 1810 г) снова женился ради своих маленьких детей, долгое время он не мог без глубокого чувства говорить о своей первой супруге. От второй жены, Минны Вальдек, которая была близкой подругой первой, он имел двух сыновей и дочь.В 1808 г. умер отец Гаусса. Двумя годами раньше Гаусс испытал еще более тяжкую потерю при трагических обстоятельствах умер его благодетель -- герцог. Как и Декарт, в раннем детстве Гаусс испытал страх смерти, и всю жизнь потеря близких друзей наполняла его душу гнетущим чувством. Теперь, когда умер его великодушный патрон, Гаусс должен был найти какой-то надежный способ для обеспечения содержания семьи. Он не встретил в этом трудностей, так как слава его распространилась уже по всей Европе. Петербург закинул удочку не хочет ли Гаусс стать преемником Эйлера, которому еще не было достойной замены после его смерти в 1783 г. В 1807 г. Гауссу было сделано более определенное лестное предложение. Александр фон Гумбольдт и другие влиятельные друзья, не желая, чтобы Германия теряла величайшего математика мира, взялись задело, и Гаусс был назначен директором Гёттингенской обсерватории с привилегией (или обязанностью, если угодно) читать лекции по математике студентам университета. Несомненно, Гаусс мог получить профессуру по математике, но он предпочел обсерваторию, так как это создавало лучшие перспективы для непрерывных научных исследований хотя, может быть, было бы слишком сильно сказать, что Гаусс ненавидел преподавание, но натаскивание заурядных студентов не приносило ему удовольствия, и, лишь когда его находил истинный математик, Гаусс, сидя у стола вместе со своими студентами, разрешал ему войти и раскрывал секреты своих методов в прекрасно подготовленных лекциях. Но это, к сожалению, случалось очень редко, и большинству студентов, на которых Гаусс тратил свое бесценное время, следовало бы заниматься не математикой, а чем-нибудь другим. В письме 1810 г. своему близкому другу, астроному и математику Фридриху Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 21 АСИЗ-304.2020 Вильгельму Бесселю (1784 -- 1846), Гаусс сообщает Этой зимой я читал два курса лекций трем студентам, из которых один обладает средними знаниями, другой -- менее, чем средними, а третий лишен и знаний и способностей. Таковы тяготы профессии математика. Жалованье, которое Гёттинген мог выплачивать Гауссу, было скромным, но достаточным для удовлетворения нехитрых потребностей Гаусса и его семьи. Но если Гаусс был простыми бережливым, то вторгшиеся в 1807 г. в Германию французы были еще проще и бережливее. Они наложили на побежденных громадную контрибуцию. Завоеватели сочли, что профессор астрономии Геттингена вполне может внести 2000 франков в военную кассу Наполеона. Эта несоразмерная сумма далеко превосходила возможности Гаусса. Вскоре Гаусс получил письмо от своего друга, астронома Оль-берса, в которое была вложена указанная сумма побора -- налога. Гаусс отказался принять деньги и сразу же отослал их обратно. Смерть герцога, скверное положение дел в Германии, разграбливаемой французами, финансовые затруднения, потеря первой жены -- все это сказалось на здоровье Гаусса и сделало его жизнь несчастной влет с небольшим. Наследственное предрасположение к ипохондрии, усугубленное непрестанным переутомлением, не улучшало дела. Он никогда не делился своими горестями с друзьями, для которых он всегда безмятежный корреспондент, но он доверился -- только однажды -- одной своей личной математической рукописи. После своего назначения директором обсерватории в Гёттингене в 1807 г. Гаусс в течение трех лет иногда возвращался к одной из самых великих вещей, отмеченных в его дневнике. В рукописи по эллиптическим функциям чисто научные рассуждения внезапно прерываются тщательно выписанными карандашом словами Смерть милее мне, чем такая жизнь. Его лекарством стала работа. Годы 1811 -- 1812 (Гауссу в 1811 г. было 34 года) были более светлыми. С новой женой, заботившейся о его маленьких детях, он стал обретать некоторый покой. Затем Гаусс впервые наблюдал в глубоких сумерках вечером 22 августа большую комету 1811 г, вспыхнувшую неожиданно. Она оказалась достойным противником в проверке оружия, изобретенного Гауссом для покорения малых планет. Оружие оказалось соответствующим требованиям. Пока суеверные народы Европы с благоговейным трепетом следили за ярким зрелищем, Гаусс с Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 22 АСИЗ-304.2020 удовлетворением смотрел на комету, точно следовавшую по пути, быстро рассчитанному им для нее. Доставляет удовлетворение отметить то, что Гаусс был слишком горд, чтобы унизить математику перед Наполеоном Великим, взывая к тщеславию императора и упрашивая его во имя его пресловутого уважения ко всему математическому уменьшить налог в 2000 франков, что Гаусса побуждали сделать некоторые заблуждавшиеся друзья. Гаусс чувствовал, что и ему самому и математике, которую он почитал, будет лучше обойтись без снисхождения Наполеона. Не считая довольно поверхностного понимания ценности математики для военного дела, Наполеон не имел никакого представления о той математике, которой занимались ученые такого ранга, как его современники Лагранж, Лаплас и прежде всего Гаусс. Быстро изучив в школе обычную элементарную математику, Наполеон слишком рано обратился к другим вещам, чтобы подтвердить свои надежды, итак и не созрел как математик. Хотя кажется невероятным, чтобы человек со способностями, проявленными Наполеоном, мог столь явно недооценивать трудность предметов, лежащих за пределами его понимания, чтобы свысока относиться к Лапласу, остается фактом, что со смехотворной смелостью он заверял автора Небесной механики, что прочел бы его книгу в течение первого свободного месяца, который представился бы ему. Ньютону и Гауссу задание было бы впору Наполеон же, несомненно, мог перелистать за месяц страницы книги Лапласа, не очень утомляя себя. 1811 год, возможно, был вехой в математике, сравнимой с вехой 1801 г. -- появлением Арифметических исследований Гаусс сообщил публично о своем открытии, в которое ранее посвятил Бесселя. Основательно поняв комплексные числа и их геометрическое представление как точек плоскости в аналитической геометрии, Гаусс предложил себе проблему исследования того, что теперь называется аналитическими функциями комплексной переменной. Некоторое представление о важности аналитических функций можно получить из того факта, что обширные трактаты по теории движения жидкостей (а также по математическим основам учения об электричестве и о построении карт, в которых не искажаются углы) естественно базируются на теории аналитических функций комплексной переменной. Теория аналитических функций комплексной переменной была одной из важнейших областей торжества математики в XIX в. Гаусс в письме к Бесселю излагает то, что равнозначно основной теореме этой обширной Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 23 АСИЗ-304.2020 теории, но он скрыл это, и теорема была переоткрыта Коши и позже Вейерштрассом. Поскольку она является вехой в истории математического анализа, мы кратко охарактеризуем ее, опуская все уточнения, которые потребовались бы при строгой формулировке. Представим, что комплексная переменная z движется по замкнутой кривой конечной длины без самопересечений. Мы имеем интуитивное понятие о том, что подразумеваем под длиной части такой кривой. Пометим на кривой п точек Р ъ Р, P s , ..., Р п так, чтобы длина каждой из дуг Р г2 , PoP s , P 3 Pi, , Р п Р не превышала некоторой предписанной конечной длины. На каждой из дуг выберем точку (только не на ее концах, найдем значение функции (z) при значении г, соответствующем этой точке, и умножим это значение на длину дуги, на которой лежит точка. Тоже сделаем для всех дуги сложим результаты. Наконец, найдем предел этой суммы, когда число дуг Гп 1 неограниченно возрастает. Это дает криволинейный интеграл от (г) вдоль данной кривой. Когда этот криволинейный интеграл будет равен нулю Для того чтобы криволинейный интеграл был равен нулю, достаточно, чтобы функция (z) была аналитической (однозначной и моногенной) в каждой точке z рассматриваемой кривой и внутри ее. Это и есть великая теорема, которую Гаусс сообщил Бесселю в 1811 г. и которой вместе с другой теоремой подобного типа в руках независимо переоткрывшего ее Коши предстояло произвести в качестве следствий многие важные результаты анализа. Астрономия не поглощала всей огромной энергии Гаусса в его 35 лет. 1812 год, который видел безнадежные арьергардные бои великой армии Наполеона, был также свидетелем опубликования другого выдающегося труда Гаусса - его исследования о гипергеометрическом ряде Этот мемуар тоже явился вехой. Как уже было отмечено, Гаусс был первым из современных ригористов. В своем труде он определил ограничения, которые нужно наложить на числа а, Ь, с, х, чтобы этот ряд сходился (в объясненном раньше в этой главе смысле. Этот ряд сам по себе уже не был лишь упражнением для учебника, которое можно выполнить для достижения ловкости в аналитических преобразованиях и затем забыть. Он включает в качестве частных случаев, получаемых при определенных особых значениях одной или нескольких из величина, Ь, с, х, многие из наиболее важных в анализе рядов, например тес помощью которых вычисляются и табулируются логарифмы, тригонометрические функции и несколько функций, которые неоднократно внезапно появляются в ньютоновской Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 24 АСИЗ-304.2020 астрономии и математической физике общая биномиальная теорема также является здесь частным случаем. Располагая этим рядом в его общем виде, Гаусс одним ударом сокрушил многое. Этот труд послужил развитию в XIX в. многих приложений к дифференциальным уравнениям физики. Выбор такого исследования для серьезных усилий характерен для Гаусса. Он никогда не печатал тривиальных вещей. Когда он издавал что-то, оно было не только законченным само по себе, но также настолько переполнено идеями, что его последователи получали возможность применять то, что изобрел Гаусс, к новым проблемам. Хотя ограничения по объему книги запрещают обсуждение многих примеров такого фундаментального характера вкладов Гаусса вчистую математику, один из них не может быть обойден молчанием даже в самом коротком очерке -- это труд о законе биквадратичной взаимности. Значение его в том, что он придал новое и совершенно непредвиденное направление высшей арифметике. После установления квадратичной (второй степени) взаимности для Гаусса было естественным рассмотреть общий вопрос о двучленных сравнениях любой степени. Если т -- данное целое число, не делящееся на простое число р, п -- данное положительное целое и если далее можно найти такое целое число х, что х" = т (mod p), тот называется п-ичным вычетом р, когда п -- 4, т называется биквадратичным вычетом р. Статья 1825 г. распахивает целину со всей смелостью великих пионеров. После многих неудачных попыток, ведших к необозримой сложности, Гаусс нашел естественный путь к сердцу проблемы. Рациональные целые числа 1, 2, 3, ... не являются подходящими для формулировки закона биквадратичной взаимности, какими они являются для закона квадратичной взаимности должен быть изобретен совершенно новый вид целых чисел. Они называются гауссовыми комплексными целыми числами. Это все комплексные числа вида а + bi, где аи Ъ -- рациональные целые числа. Чтобы установить закон биквадратичной взаимности, необходимо исчерпывающее предварительное рассмотрение законов арифметической делимости для таких комплексных целых чисел. Гаусс дал его и тем самым положил начало теории алгебраических чисел -- той теории, которую он, вероятно, имел ввиду, когда давал свою оценку Последней теореме Ферма. Для кубичной взаимности (п = 3) он также нашел правильный путь подобным образом. Его работа об этом была обнаружена в его посмертных бумагах. Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 25 АСИЗ-304.2020 Кубичной взаимностью располагал любимый ученик Гаусса -- Эйзенштейн. Он же обнаружил удивительную связь между законом биквадратичной взаимности и некоторыми частями теории эллиптических функций, в которой Гаусс продвинулся далеко, но воздержался раскрыть то, что нашел. Гауссовы комплексные целые числа являются, конечно, подклассом всех комплексных чисел, и можно было бы подумать, что алгебраическая теория всех чисел даст арифметическую теорию включенных в них целых чисел, как тривиальный частный случай. На самом деле это не так. По сравнению с арифметической теорией алгебраическая теория -- детская игрушка. Возможная причина этого подсказывается рассмотрением рациональных чисел (чисел вида, где аи- рациональные целые числа. Мы можем всегда разделить одно рациональное число на другое и получить еще одно рациональное число -- , деленное надает рациональное число --. Но рациональное целое число, деленное на другое такое число, не всегда является рациональным целым числом 7, деленное надает. Следовательно, если мы должны ограничиться целыми числами, что представляет интерес для теории чисел, мы связываем себя по руками ногам еще до того, как начинаем действовать. В этом одна из причин, почему высшая арифметика труднее алгебры, высшей или элементарной. В равной степени важные продвижения были сделаны Гауссом также в геометрии и приложениях математики к геодезии, ньютоновой теории тяготения и электромагнетизму. Как мог один человек выполнить эту колоссальную массу работы высшего порядка С характерной для него скромностью Гаусс заявлял Если бы другие размышляли о математических истинах так глубоко и постоянно, как это делаю я, они пришли бык моим открытиям. Возможно, объяснение Гаусса напоминает ньютоново. Когда его спросили, как он сделал открытия в астрономии, превосходящие открытия всех своих предшественников, Ньютон ответил Всегда думая о них. В способности забывать о себе в мире своих мыслей Гаусс имеет сходство и с Архимедом и с Ньютоном. Еще в двух отношениях он также достигал их уровняв своих дарованиях к точным наблюдениями в своей искусной изобретательности, что позволило ему самому создавать инструменты, необходимые для научных исследований в геодезии, астрономии, теории электромагнетизма. В качестве примера его технической изобретательности можно упомянуть, что в 1833 гон пришел к открытию электрического телеграфа и что они его сотрудник Вильгельм Вебер (1804 -- 1891) применяли этот телеграф как само собой разумеющееся средство для Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 26 АСИЗ-304.2020 передачи сообщений. Такое сочетание математического гения с первоклассными экспериментальными способностями является одним из редчайших во всех естественных науках. Сам Гаусс мало заботился о возможных применениях его изобретений. Как и Архимед, он предпочитал математику всем земным царствам, предоставляя другим собирать осязаемые плоды его трудов. Но Вебер, его сотрудник по фундаментальным исследованиям электромагнетизма, отчетливо понимал, каково значение слабого маленького телеграфа в Гёттингене для цивилизации. Когда земной шар покроется сетью железных дороги телеграфных проводов, -- пророчествовал Вебер в 1835 г, -- эти сети сослужат службу, сравнимую с деятельностью нервной системы человеческого тела, частично как транспортные средства, частично как средства распространения идей и новостей со скоростью света. Восхищение Гаусса Ньютоном уже отмечалось. Зная, каких колоссальных усилий стоили ему некоторые его собственные шедевры, Гаусс отдавал должное длительной подготовке и постоянному размышлению, которые привели к величайшему труду Ньютона. Легенда о Ньютоне и падающем яблоке вызывала у Гаусса негодование. К теории гравитационного поля Эйнштейна также привел напряженный труд, затраченный им в течение нескольких лет на овладение тензорным исчислением двух итальянских математиков -- Риччи и Леви-Чивита, самих по себе учеников Римана и Кристоффеля, которые оба, в свою очередь, вдохновлялись геометрическими трудами Гаусса. Толкуя об Архимеде, к которому он также питал безграничное восхищение, Гаусс заметил, что он не мог понять, как Архимед упустил изобретение десятичной системы счисления или эквивалентной ей с основанием, отличным от 10. Совершенно не греческий по своему духу труд Архимеда, содержавший изобретенную им систему записи и обращения с числами, далеко выходящими за пределы возможностей греческого способа обозначений чисел, предоставил (согласно Гауссу) в руки Архимеда десятичную систему записи с ее всеважнейшим принципом поместного значения (325 = 3 10 2 + 2 10 + 5). Этот недосмотр Архимеда Гаусс считал величайшим несчастьем в истории науки. До каких высот поднялась бы теперь наука, если бы Архимед сделал это открытие -- восклицал он, думая о массе своих собственных арифметических и астрономических вычислений, которые были бы невозможными, даже для него, без десятичной системы записи. Полностью понимая значение для всех наук улучшенных методов вычислений, Гаусс, как раб, трудился над своими собственными Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 27 АСИЗ-304.2020 вычислениями, пока страницы цифр не сводились до нескольких строк, которые могли быть восприняты почти сразу. Сам он многое в своих вычислениях делал в уме усовершенствования предназначены для тех, кто менее одарен, чем он. В отличие от Ньютона в его поздних летах, Гаусса никогда не привлекали вознаграждения по официальной службе, хотя его острый интерес и проницательность во всех вопросах, имеющих отношение к статистике, страхованию и политической арифметике, сделали бы его хорошим министром финансов. До своей последней болезни он находил полное удовлетворение в науке ив простых развлечениях. Чтение в широком объеме европейской литературы и классиков античности, критический интерес к мировой политике и овладение в совершенстве иностранными языками и новыми науками (включая ботанику и минералогию, являлись занятиями Гаусса на досуге. Его особенно привлекала английская литература, хотя ее более мрачные аспекты, как в шекспировских трагедиях, были слишком обильными для обостренной чувствительности великого математика ко всем видам страданий, ион предпочитал более светлые и радостные шедевры. Он читал романы Вальтера Скотта (который был современником Гаусса, как только они выходили в свет. Исторические труды на английском языке доставляли ему особое удовольствие. К своему блистательному молодому современнику, лорду Байрону, Гаусс питал почти неприязнь. В отношении литературы своей собственной страны вкусы Гаусса были несколько необычными для интеллигентного немца. Жан Поль был его любимым немецким поэтом Гёте и Шиллер, чьи жизни частично пересекались сего жизнью, оценивались им не очень высоко. Способность, с которой Гаусс овладевал в юности языками, сохранилась у него на всю жизнь. Языки были для него чем-то большим, чем занятиями на досуге. Чтобы испытать гибкость своего ума, по мере того как он становился старше, Гаусс умышленно овладевал новым языком. Такое упражнение, полагал он, помогает ему сохранить свой ум молодым. В возрасте 62 лет он начал интенсивно изучать русский язык без чьей-либо помощи. Через два года он бегло читал русскую прозу и поэтические сочинения и вел переписку со своими петербургскими друзьями среди ученых полностью на русском языке. По мнению русских, навещавших его в Гёттингене, он также прекрасно говорил по-русски. Русскую литературу он ставил наравне с английской по удовольствию, которое она ему доставляла. Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 28 АСИЗ-304.2020 Его третье хобби, мировая политика, поглощало каждый день примерно час. Регулярно посещая литературный музей, он был в курсе событий -- читал все газеты, которые приходили в музей. Интеллектуальный аристократ в политике, Гаусс был вполне консервативен, но никак не реакционер. Его время было бурными в родной стране и заграницей. Власть толпы и акты политического насилия вызывали в нем, как сообщает его друг фон Вальтерсхаузен, неописуемый ужас. Парижская революция 1848 г. наполнила его страхом. Если бы в Германии вспыхнула гражданская война, говорил Гаусс, он сразу же умер бы. Чужеземное завоевание, на манер великого наполеоновского, он рассматривал, как непостижимое безумие. Другим источником силы Гаусса была его научная скромность и отсутствие личного честолюбия. Все его честолюбие было направлено на продвижение математики. Когда соперники ставили под сомнение его утверждение, что он опередил их, Гаусс не выставлял свой дневник, чтобы доказать свой приоритета предоставлял своему утверждению требовать уважения к его собственным достоинствам. Лежандр был самым многоречивым из таких сомневающихся. Один случай сделал его врагом Гаусса на всю жизнь. В Теории движения Гаусс сослался на открытый им ранее метод наименьших квадратов. Лежандр опубликовал этот метод в 1806 г, раньше Гаусса. С большим возмущением он написал Гауссу письмо, фактически обвиняя его в нечестности и выражая недовольство тем, что Гаусс, столь богатый в открытиях, мог бы быть настолько порядочным, чтобы не присваивать себе метод наименьших квадратов, который Лежандр считал своим собственным детищем. В спор вступил Лаплас. Гаусс, по-видимому, считал ниже своего достоинства обсуждать вопрос дальше. Нов письме другу он указывает свидетельство, которое могло бы завершить спор тотчас же, если бы Гаусс не был слишком гордым, чтобы бороться. Я все сообщил Ольберсу в 1802 г, -- заявил они, если Лежандр был склонен сомневаться в этом, он мог бы спросить Ольберса, который имел рукопись. Спор был крайне неуместным для последующего развития математики, так как Лежандр сообщило своих неоправданных подозрениях Якоби и тем самым помешал этому блестящему молодому творцу теории эллиптических функций войти в сердечные отношения с Гауссом. Размолвка была тем более прискорбной, что Лежандр был человеком самого возвышенного характера и скрупулезно честным. Ему было суждено быть превзойденным обладавшими Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 29 АСИЗ-304.2020 более богатым воображением, чем он, математиками в областях, в которых он тяжело трудился большую часть своей долгой трудолюбивой жизни, что, как показали более молодые ученые -- Гаусс, Абель и Якоби, -- было излишним. На каждом шагу Гаусс далеко опережал Лежандра. Тем не менее, когда Лежандр обвинил Гаусса в нечестном поступке, тот почувствовал, что сам покинут в беде. После опубликования с подробностями посмертных бумаг Гаусса и многого из его переписки последних лет, все эти старые споры рази навсегда были разрешены в пользу Гаусса. Но остается еще одно основание для его осуждения -- отсутствие у него сердечности в оценке великих трудов других, особенно более молодых ученых. Когда Коши качал публиковать свои блестящие открытия в теории функций комплексной переменной, Гаусс игнорировал их. Ни слова похвалы или ободрения не дошло до молодого француза от короля математиков. Хорошо, но почему оно должно было дойти Гаусс сам (как мы видели) достиг сердцевины проблемы годами раньше, чем Коши приступил к ней. Статья по этой теории должна была стать одним из шедевров Гаусса. Далее, когда труд Гамильтона по кватернионам в 1852 г, за 3 года до смерти Гаусса, привлек его внимание, он опять не сказал ни слова. Почему он должен был сказать что-нибудь? Суть предмета была захоронена в его заметках более 30 лет до этого. Он хранил свой покой и не претендовал на приоритет. Как ив своих предвосхищениях теории функций комплексной переменной, теории эллиптических функций и неевклидовой геометрии, Гаусс был удовлетворен проделанной работой. Суть кватернионов -- это алгебра, которая играет роль вращений в трехмерном пространстве, как алгебра комплексных чисел играет роль вращений на плоскости. Но для кватернионов (Гаусс называл их мутациями) нарушается одно из основных правил алгебры для них уже неверно, что а b = b аи невозможно создать алгебру трехмерных вращений, в которой это правило сохраняется. Гамильтон, один из великих математических гениев XIX впишет с ирландской цветистостью речи, как он в течение 15 лет старался изобрести алгебру, совместимую стем, что требовалось, пока счастливое вдохновение не дало ему ключ к разгадке, что а b неравно а в той алгебре, которую он искал. Гаусс не сообщает, сколько времени поглотило у него достижение цели он просто записало своем успехе на нескольких страничках об алгебре, не оставляющей математике воображения. Если Гаусс был несколько холоден в печатных выражениях признания ценности трудов, тов переписке ив научных сношениях с теми, кто обращался к нему в духе бескорыстных расспросов, он был достаточно Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 30 АСИЗ-304.2020 сердечным. Одна из его дружеских научных связей имеет более чем только математический интерес, так как показывает либеральность взглядов Гаусса касательно женщин, занимающихся научной работой. Широта его взглядов в этом отношении была выдающейся для любого человека его поколения для немца она была почти беспрецедентной. Женщина, о которой идет речь, -- мадемуазель Софи Жермен (1776-1831) -- была старше Гаусса только на один год. Они никогда не встречались, иона умерла (в Париже) прежде, чем Гёттингенский университет смог присвоить ей почетную докторскую степень, что рекомендовал факультету Гаусс. По курьезному совпадению самая знаменитая женщина-математик XIX в, тоже Софья, получила свою докторскую степень много лет спустя в этом же самом либеральном университете после того, как Берлинский университет отказал ей в этом, учитывая ее пол. Видимо, Софья -- удачное в математике имя для женщин, если только они опекаются широко мыслящими учителями. Ведущая женщина-математик нашего времени -- Эмми Нетер (1882-1935) -- также вышла из Гёттингена. Научные интересы Софи Жермен охватывали акустику, математическую теорию упругости и высшую арифметику в каждой из них она сделала заметные работы. В частности, ее вклад в исследование Последней теоремы Ферма привел в 1908 г. к значительному продвижению в этом направлении американского математика Леонарда Юджина Диксона (1874 -- 1954). Описание всех выдающихся вкладов Гаусса вчистую и прикладную математику потребовало бы большой книги (возможно, больше, чем потребовалось бы для Ньютона. Здесь мы можем упомянуть только о некоторых более важных трудах, еще не упомянутых, и будем выбирать те из них, которые пополнили математику новыми приемами или завершили выдающиеся проблемы. В виде приблизительной, но удобной хронологии принятой издателями сочинений Гаусса) мы подытожим основные области интересов Гаусса после 1800 г. следующим образом 1800 -- 1820 -- астрономия 1820 -- 1830 -- геодезия, теория поверхностей и теория конформного отображения 1830 -- 1840 -- математическая физика, в особенности электромагнетизм, земной магнетизм и теория ньютоновского тяготения 1841 -- 1855 -- топология и геометрия в связи с функциями комплексной переменной. 211 В 1821-1848 гг. Гаусс был научным советником ганноверского (Гёттинген находился тогда под управлением Ганновера) и датского правительств по обширным геодезическим съемкам. Его метод наименьших квадратов и его Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 31 АСИЗ-304.2020 мастерство в составлении схем обработки массы числовых данных получили большой размах, но еще важнее, что задачи, возникающие приточном топографировании части земной поверхности, несомненно, навели его на более глубокие и более общие задачи, связанные со всевозможными кривыми поверхностями. Этим исследованиям предстояло породить математику теории относительности. Предмет не был новым некоторые предшественники Гаусса, особенно Эйлер, Лагранж и Монж, исследовали геометрию определенных типов кривых поверхностей, однако Гауссу осталось атаковать проблему во всей ее общности, и от его исследований развился первый великий период дифференциальной геометрии. Дифференциальную геометрию грубо можно описать как изучение свойств кривых, поверхностей и т. д. в непосредственной близости от некоторой точки, так что можно пренебречь степенями расстояний выше второй. Вдохновленный трудами Гаусса, Риман в 1854 г. написал свою классическую диссертацию о гипотезах, лежащих в основаниях геометрии, которая, в свою очередь, стала началом второго великого периода в дифференциальной геометрии, той, которая применяется теперь в математической физике, особенно в общей теории относительности. Три из проблем, которые рассматривал Гаусс в своем труде по теории поверхностей, навеяли важные в математическом и естественнонаучном отношении общие теории измерение кривизны, теория конформных отображений и изгибаемость поверхностей. Излишне мистифицируемое движение искривленного пространства- времени, которое является чисто математическим расширением известной, мыслимо представляемой кривизны на пространство, описываемое четырьмя координатами вместо двух, было естественным развитием гауссова труда о кривых поверхностях. Разумность всего этого хорошо проиллюстрирует одно из его определений. Задача состоит в изобретении некоторых точных средств для описания того, как кривизна поверхности меняется от точки к точке поверхности описание должно соответствовать нашему интуитивному представлению о том, что означает более искривленная и менее искривленная. Полная кривизна любой части поверхности, ограниченной замкнутой несамопересекающейся кривой С, определяется следующим образом. Нормалью к поверхности в данной точке является та прямая, проходящая через данную точку, которая перпендикулярна плоскости, касающейся поверхности в данной точке. В каждой точке кривой С имеется нормаль к Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 32 АСИЗ-304.2020 поверхности. Вообразим все эти нормали проведенными. Теперь представим, что из центра сферы с единичным радиусом (она может быть расположена где угодно относительно рассматриваемой поверхности) проведены все радиусы, параллельные нормалям, проходящим через точки кривой С. Эти радиусы вырежут на сфере единичного радиуса кривую, скажем С. Площадь этой части сферической поверхности, ограниченной кривой Си есть по определению полная кривизна данной части криволинейной поверхности, ограниченной кривой С. Небольшое воображение показывает, что это определение соответствует обычным понятиям, как и требовалось. Другой основной идеей, разработанной Гауссом в его исследовании поверхностей, была идея параметрического представления. Чтобы отметить определенную точку на плоскости, требуются две координаты. Тоже и на поверхности сферы или сфероида, подобного Земле в этих случаях координаты можно мыслить как широту и долготу. Это поясняет, что значит двухмерное многообразие. В общем случае если точно п чисел как необходимы, таки достаточны, чтобы отметить индивидуализировать) каждый отдельный элемент из какого-то класса вещей (точек, звуков, цветов, линий и т. д, то говорят, что этот класс является п-мерным многообразием. При таком подходе принимается, что лишь некоторые характеристики элементов класса будут определены числами. Так, если мы рассматриваем только высоту звуков, то имеем одномерное многообразие, ибо одного числа -- частоты колебания, соответствующей звуку -- достаточно, чтобы определить его высоту. Если мы присовокупим громкость, измеренную по некоторой подходящей шкале, звуки являются уже двухмерным многообразием, итак далее. Если теперь рассмотрим поверхность как состоящую из точек, то видим, что она является двухмерным многообразием (точек. Употребляя язык геометрии, мы находим удобным говорить о любом двухмерном многообразии как о поверхности и применять к многообразию рассуждения геометрии в надежде обнаружить что-нибудь интересное. Метод представления поверхностей имеет большие преимущества перед декартовым методом, когда применяется к изучению кривизны и других свойств поверхностей, которые быстро меняются от точки к точке. Заметим, что параметрическое представление является внутренним, оно соотносит саму поверхность к ее координатам, а не к внешней посторонней системе осей, несвязанной с поверхностью, как в случае метода Декарта. Заметим также, что два параметра и и v непосредственно выявляют Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 33 АСИЗ-304.2020 двухмерность поверхности. Широта и долгота наземной поверхности являются примерами этих внутренних, естественных координат было бы в высшей степени затруднительным осуществлять навигацию, ссылаясь натри взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр Земли, как требовалось бы для кораблевождения по Декарту. Другим преимуществом метода является легкость обобщения на пространство любого числа измерений. Достаточно увеличить число параметров и действовать, как выше. У Римана эти простые идеи естественно приводят к обобщению метрической геометрии Пифагора и Евклида. Основы этого обобщения были заложены Гауссом, но их важность для математики и физики не была полностью оценена до нашего столетия. Геодезические исследования подсказали Гауссу также развитие другого мощного метода геометрии, метода конформного отображения. Конформное отображение в целом постоянно используется в математической физике и ее применениях, например в электростатике, гидродинамике и ее отпрыске -- аэродинамике в последней оно выступает как часть теории крыла. Еще одной областью геометрии, которую Гаусс обработал с обычными для него основательностью и удачей, была область изгибания поверхностей, в которой требуется определить, какие поверхности могут быть изогнуты в данную поверхность без растягивания и разрывания. И здесь изобретенные Гауссом методы были общими и широко полезными. Гаусс обогатил фундаментальными исследованиями другие разделы естествознания, например математические теории электромагнетизма, включая земной магнетизм, капиллярности, притяжения эллипсоидов планеты являются эллипсоидами специального вида) при действии ньютонова закона тяготения, а также диоптрики, особенно относительно систем линз. Последняя предоставила ему удобный случай применить некоторые из чисто абстрактных приемов (непрерывные дроби, которые он развивал молодым человеком, чтобы удовлетворить свою любознательность в теории чисел. Во всех этих вещах Гаусс не только возвышенно математизировал, он использовал свои руки и свои глаза, был исключительно тщательным наблюдателем. В течение многих лет Гаусс с помощью своего друга Вебера искал удовлетворительную теорию для всех электромагнитных явлений. Потерпев неудачу в поисках того, что он считал удовлетворительным, Гаусс отказался от своей попытки. Если бы он нашел уравнения электромагнитного Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 34 АСИЗ-304.2020 поля, установленные Джеймсом Клерком Максвеллом (1831-1879), он мог бы быть удовлетворенным. Сильная школа (включающая многих американцев -- Дж. У. Александера, С. Лефшеца, О. Веблена и др) пришла к заключению, что топология, или геометрия положения, как иногда принято ее называть, имеет далеко идущие разветвления как в геометрии, таки в анализе. Как жаль, кажется нам теперь, что Гаусс несмел, урвать год или два от Цереры, чтобы привести в систему свои мысли об этой обширной теории, которая должна была стать мечтой его старого поколения и реальностью молодого поколения нашего века. В последние годы жизни Гаусса ему воздавались всевозможные почести, но он не был настолько счастлив, насколько заслужил на это право. Оставаясь, как всегда, могучим разумом и плодотворно изобретательным, Гаусс не стремился к отдыху, когда за несколько месяцев до смерти появились первые признаки его последней болезни. В первый раз, более чем залет, он покинул Гёттинген 16 июня 1854 г, чтобы увидеть строительство железной дороги между его городом и Касселем -- Гаусс всегда проявлял большой интерес к сооружению и действию железных дорог. Лошади понесли, он был выброшен из кареты, остался невредимым, но сильно потрясённым. Он выздоровели даже доставил себе удовольствие быть очевидцем церемонии открытия железной дороги, достигшей Гёттингена, 31 июля 1854 г. Это был его утешительный день. В самом начале нового года он стал страдать большей частью от расширения сердца и недостаточности дыхания. Тем не менее, он работал, когда мог, хотя его руку сводило и, наконец, нарушился его красивый ясный почерк. Последнее, написанное им письмо было к Давиду Брюстеру об открытии электрического телеграфа. В полном сознании почти до самого конца, он спокойно умер после отчаянной борьбы за жизнь рано утром 23 февраля 1855 г. нам году жизни. Он живет всюду в математике. Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 35 АСИЗ-304.2020 Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 36 АСИЗ-304.2020 3 Биография Ф.Л. Зейделя Филипп Людвиг фон Зейдель (24 октября 1821, Цвайбрюккен– 13 августа 1896, Мюнхен) – немецкий математики астроном. Родился в 1821 году в семье работника почтового ведомства, в связи с чем семья часто переезжала с место на место. Матерью Филиппа фон Зайделя была ДжулиРайнхольд. Его отец, ЮстусКристиан Феликс Зайдель, работал на немецком почтовом отделении, и его работа заставляла его часто переезжать. Это означало, что Филипп вовремя своего воспитания посещал несколько различных школ. Первая из этих школ была в Нёрдлингене, следующая – в Нюрнберге, затем, наконец, он закончил свое школьное образование в Хофе[5]. Хотя Зайдель завершил школьное обучение осенью 1839 он не сразу поступил в университета перед началом своей университетской карьеры получил должность частного тренера по математике. Его тренировал Л.Ц. Шнурляйн, который был учителем математики в гимназии в Хоф. Это было ценным опытом для Зайделя, особенно с учетом того, что Шнурляйн был хорошим математиком, который учился у Гаусса. Учился в Берлинском университете (1840-42), Кёнигсбергском университете (1842-43) и Мюнхенском университете, где в 1846 году получил докторскую степень защитив диссертацию «ÜberdiebesteFormderSpiegelinTeleskopen» (О лучшей форме зеркал в телескопах, а уже через шесть месяцев, пройдя хабилитацию и представив диссертацию «Untersuchungenüberdie Konvergenzund Divergenzder Kettenbrüche» в области математики, а не астрономии, стал приват-доцентом университета. Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 37 АСИЗ-304.2020 Стоит отметить, что эти две диссертации, представленные с разницей всего в шесть месяцев, были по двум совершенно разным темам - первая была по астрономии, а вторая - по математическому анализу. Как и эти две диссертации, Зайдель работал над диоптикой и математическим анализом на протяжении всей своей карьеры. Он работал над объективами и определил математически пять коэффициентов, описывающих аберрацию объектива, которые теперь называются «Зайдельские суммы. Зайдель быстро продвигался в Мюнхене. В 1847 гон был назначен чрезвычайным профессором в Мюнхене, а в 1855 г. – обычным профессором. Он был удостоен многих наград, таких как назначение на должность королевского тайного советника. За свою работу он получил множество медалей, а в 1851 году был избран в Баварскую академию наук. Его чествовали ив других академиях, например, он был избран в академии Геттингена и Берлина. Интересным аспектом астрономической работы Зайделя былоиспользование теории вероятностей. Однако он не ограничил использование этой математической дисциплины астрономией, поскольку он также применил свои навыки в этой области для изучения частоты некоторых заболеваний, а также рассмотрел некоторые вопросы, связанные с климатом. Он читал лекции по теории вероятности, а также по методу наименьших квадратов. Проблемы со зрением заставили Зайделя рано уйти на пенсию. Так как он никогда не женился, у него не было близких родственников, которые могли бы помочь ему, когда он заболел, ноу него была незамужняя сестра Люси Зайдель, которая ухаживала за ним до 1889 года. К этому времени он, конечно, не мог позаботиться о себе, ноу него не было семьи, которая могла бы ему помочь. В последние семь лет за ним ухаживала вдова священника [1]. 4. Вклад в науку Филиппа Людвига фон Зейделя. Работал в области математики и астрономии. В 1856 году создал теорию аберраций оптических систем третьего порядка. В 1865—1866 годах на основе теории Зейделя Адольфом Гуго Штейнгейлем (сыном немецкого оптика и основателя оптического завода Карла Штейнгейля) был рассчитан и построен портретный объектив — апланат, ставший основным типом объектива, использовавшегося фотографами в конце XIX и начале ХХ вв. Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 38 АСИЗ-304.2020 Используя фотометр К.Штейнгейля, проводил астрономические наблюдения с целью определения яркости звёзд ив году выпустил труд Результаты фотометрических измерений 208 главных неподвижных звезд, представлявший собой первый фотометрический звездный каталог, имеющий научное значение. Помимо этого определял яркость больших планета также изучал поглощение света земной атмосферой. В области чистой математики труды Зейделя касаются, главным образом, теории рядов и других объектов математического анализа. В опубликованной в 1874 году работе предложил итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений, ныне известный как метод Зейделя или метод Гаусса — Зейделя. В 1970 г. Международный астрономический союз присвоил имя Филиппа Зейделя кратеру на обратной стороне Луны. Филипп фон Зайдель был немецким математиком, который работал над диоптикой и математическим анализом. Рассчитанный и построенный на основе теории Зейделя портретный объектив, ставший основным типом объектива, использовавшегося фотографами в конце 19 начале 20 веков. Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 39 АСИЗ-304.2020 Заключение Изучив биографию и научную деятельность двух ученых, можно сказать, что Гаусс и Зейдель внесли поистине огромный вклад в математику. Сейчас разработки этих ученых используются в ЭВМ при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры, когда элементы матриц размещаются в памяти ЭВМ. Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных ) известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Метод Зейделя - метод приведения системы к виду, удобному для итераций. Его иногда называют также методом Гаусса-Зейделя, процессом Либмана, методом последовательных замещений. Итак, благодаря двум ученым можно решить задачи с большим количеством неизвестных. В истории известны случаи решения систем уравнений с числом неизвестных доходящих до 100 тысяч, решенных методом Гауса и Зейделя. Изм. Лист № докум. Подпись Дата Листт 40 АСИЗ-304.2020 Библиографический список 1. https://vuzlit.ru/612793/korol_matematikov_zhizn_i_tvorchestvo_kf_gau ssa (дата обращения 16.11.2020) 2. https://infourok.ru/diplomnaya-rabota-na-temu-metod-zeydelya- 398217.html (дата обращения 16.11.2020) 3. Биография Карла Гаусса Электронный ресурс – Режим доступа https://spacegid.com/biografiya-karla-gaussa.html (дата обращения 14.11.2020) 4. Бюлep В. Гаусс. Биографическое исследование Перс англ. А.Л. Тоома / Под ред. С.Г. Гиндикина. – М Наука. Гл. ред. физмат. лит, 1989 – 208 с. Электронный ресурс – Режим доступа https://www.eduspb.com/public/books/byograf/gauss.pdf (дата обращения 14.11.2020) 5. Гаусс, Карл Фридрих Электронный ресурс – Режим доступа https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1 %81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%A4%D1%80%D0 %B8%D0%B4%D1%80%D0%B8%D1%85 (дата обращения 14.11.2020) 6. Зейдель, Филипп Людвиг фон Электронный ресурс – Режим доступа https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B5%D0%B9%D0%B4%D 0%B5%D0%BB%D1%8C,_%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D 0%BF%D0%BF_%D0%9B%D1%8E%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0 %B3_%D1%84%D0%BE%D0%BD (дата обращения 14.11.2020) 7. Филипп Людвиг Зейдель Электронный ресурс – Режим доступа https://www.peoples.ru/science/mathematics/philipp_ludwig_seidel/ дата обращения 14.11.2020) 1 2 |