хз. Реферат по дисциплине Математическое моделирование

• Название: Реферат по дисциплине Математическое моделирование
• Дата: 15.03.2023
• Размер: 168.64 Kb.
• Имя файла: matModelPaper.docx
• Тип: Реферат; #993070

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

(национальный исследовательский университет)»

(МГТУ им. Н.Э. Баумана)

ФАКУЛЬТЕТ Аэрокосмический

КАФЕДРА Вычислительная математика и математическая физика

РЕФЕРАТ

по дисциплине:

«Математическое моделирование» на тему

«Математическое моделирование в экономической отрасли».

Студент АК3-81Б: Руднева М.О.

		подпись, дата		фамилия, и. о.
Преподаватель:				Иванов М.Ю.

подпись, дата фамилия, и. о.

Оценка:





2023 г.

Содержание

Введение 3

Трендовые модели 4

Регрессионные модели 6

Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ 8

Список литературы 12

Введение

Математическое моделирование социальных, экономических и производственных процессов и систем является одним из важнейших средств познания природы самых разнообразных систем. Математическое моделирование экономических процессов ориентировано на системное изучение экономики с помощью математических моделей микро- и макроуровней, а также в разрезе важнейших функциональных подсистем экономики. В настоящее время использование математического моделирования в экономике стало особенно актуальным, так как деятельность предприятий осуществляется в условиях конкуренции, в которой успеха добиваются те, кто наиболее эффективно использует ресурсы, а также стала доступной вычислительная техника, которая даёт возможность реализовывать алгоритмы вычислений любой сложности. Для внедрения математического моделирования и информационных технологий в практическую деятельность нужны специалисты, которые, с одной стороны, достаточно глубоко разбираются в сущности экономических проблем и способны формализовать возникающие задачи, а с другой – профессионально владеют математическими методами и соответствующим программным обеспечением.

В этом реферате будут отражены теоретические и практические основы, связанные с построением и использованием экономико-статистических моделей, в частности, трендовых и регрессионных моделей, изложены основы многофакторного корреляционного и регрессионного анализа.

Трендовые модели

Динамические процессы, происходящие в экономических системах, чаще всего проявляются в виде ряда последовательно расположенных в хронологическом порядке значений того или иного показателя, который в своих изменениях отражает ход развития изучаемого явления в экономике. Эти значения служат основой для разработки прикладных моделей, называемых трендовыми.

Последовательность наблюдений одного показателя (признака), упорядоченных в зависимости от последовательного возрастающих или убывающих значений другого показателя (признака), называют динамическим рядом (временным рядом – при факторном признаке – времени).

Составными элементами рядов являются численные значения показателей, называемых уровнями ряда и моменты или интервалы времени, к которым относятся уровни.

Временные ряды, образованные показателями, характеризующими экономические явления на определенные моменты времени, называются моментными. Если уровни ряда характеризуют размер явления за конкретный период времени (год, квартал, месяц), то такие ряды называют интервальными.

Уровни в динамическом ряду могут быть представлены абсолютными, средними или относительными величинами.

Под длиной временного ряда понимается время, прошедшее от начального момента наблюдения до конечного. Для того чтобы получить количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда, во времени, используется аналитическое выравнивание ряда.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания является то, что общая тенденция рассчитывается как функция времени:



где Y’ t – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение расчётных уровней производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления.

Трендовая модель может быть описана несколькими видами кривых: полиномиальными, экспоненциальными и S-образными.



Параметр а₁ называют линейным приростом, а₂ – ускорением роста, а₃ – изменением ускорения роста.

Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны (уровни изменяются в арифметической прогрессии).

Выравнивание по показательной (экспоненциальной) функции используется, когда цепные коэффициенты роста практически постоянны (ряд отражает развитие в геометрической прогрессии).

Простая экспонента , где а и b– положительные числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы – функция убывает.

В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (в целях прогнозирования), при выборе вида адекватной модели можно использовать специальные критерии.

Расчёт параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:



где y’ t – выровненные уровни; y_i – фактические уровни.

Параметры уравнения a_i, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни.

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики – на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Поскольку в действительности тенденция развития не остаётся неизменной, то данные, получаемые путём экстраполяции ряда, следует рассматривать как вероятностные оценки.

Экстраполяцию рядов динамики осуществляют различными способами, например, экстраполируют выравниванием по аналитическим формулам. Подставляя в уравнение тренда значения t за пределами исследованного ряда, рассчитывают для t вероятностные y_t.

Регрессионные модели

Регрессионная модель позволяет выявить закономерные взаимосвязи и её формы, между различного рода факторами (причина и условия), обуславливающими изучаемые явления. Признак, характеризующий следствие, называется результативным; признаки, характеризующие причины – факторными.

Связи между явлениями и их признаками классифицируют по степени связи, направлению и аналитическому выражению.

Функциональные и стохастические связи

Зависимость величины У от Х называется функциональной, если каждому значению величины Х соответствует единственное значение величины У. Если Х – детерминированная величина (т.е. принимающая вполне определенные значения), то и функционально зависящая от неё величина У тоже является детерминированной; если же Х – случайная величина, то и У также случайная величина.

Характерной особенностью функциональных связей является то, что в каждом отдельном случае известен полный перечень факторов, определяющих значение зависимого (результативного) признака, а также точный механизм их влияния, выраженный определенным уравнением:



f(x_i) – известная функция связи результативного и факторного признаков;

x_i – факторный признак.

Стохастическая зависимость, когда каждому фиксированному значению независимой переменной Х соответствует не одно, а множество значений переменной У, причём сказать заранее, какое именно значение примет величина У нельзя. Характерной особенностью стохастических связей является то, что они проявляются во всей совокупности, а не в каждой единице. Причём неизвестен ни полный перечень факторов, определяющих значение результативного признака, ни точный механизм их функционирования и взаимодействия с результативных признаком.

Модель стохастической связи:



где Y’i – расчетное значение результативного признака;

f(x_i) – часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных известных факторных признаков (одного или множества), находящихся в стохастической связи с признаком;

_i – случайная ошибка.

Различия условных распределений имеют выраженную направленность связи. Эту направленность связи можно раскрыть более наглядно, если ограничится рассмотрением только одного аспекта стохастической связи – изучением вместо условных распределений лишь одного их параметра – условного математического ожидания (частные случаи стохастической связи – корреляционная и регрессионная).

Корреляционная связь существует там, где взаимосвязанные явления характеризуются только случайными величинами. При такой связи среднее значение (математическое ожидание) случайной величины результативного признака у закономерно изменяется в зависимости от изменения другой величины х или других случайных величин

Особенность корреляционных связей в том, что они обнаруживаются только в массовых наблюдениях, т.е. требуют статистических данных.

В зависимости от направления действия функциональные и стохастические связи могут быть прямыми и обратными. При прямой связи направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака фактора, т.е. с увеличением факторного признака увеличивается и результативный, и наоборот. В противном случае между рассматриваемыми связями существуют обратные связи.

По аналитическому выражению связи могут быть прямолинейными и криволинейными.

По количеству факторов, действующих на результативный признак, связи различаются на однофакторные (парные связи) и многофакторные (множественные связи).

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты известной связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачами регрессионного анализа являются выбор типа модели, установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчётных значений зависимой переменной (функции регрессии). Процесс изучения взаимосвязи состоит из ряда этапов:

1) построение системы показателей (факторов). Сбор и предварительный анализ исходных данных;

2) выбор вида модели и численная оценка ее параметров;

3) проверка качества модели;

4) оценка влияния отдельных факторов на основе модели;

5) прогнозирование на основе модели.

Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ

Экономические явления складываются под воздействием не одного, а целого ряда факторов, т.е. эти явления многофакторные. Между факторами существуют сложные взаимосвязи, поэтому их влияние комплексное и его нельзя рассматривать как простую сумму изолированных влияний.

Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ позволяет оценить меру влияния на исследуемый результативный показатель каждого из включённых в модель (уравнение) факторов при фиксированном положении (на среднем уровне) остальных факторов, а также при любых возможных сочетаниях факторов с определенной степенью точности найти теоретическое значение этого показателя (важным условием является отсутствие между факторами функциональной связи).

Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных (без учета их взаимодействия с другими переменными) применяются парные коэффициенты корреляции.

Методика расчета таких коэффициентов и их интерпретация аналогичны методике расчета линейного коэффициента корреляции в случае однофакторной связи.

Теснота связи между переменными определяется частными коэффициентами корреляции, которые характеризуют степень и влияние одного из аргументов на функцию при условии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне. В зависимости от количества переменных, влияние которых исключается, частные коэффициенты корреляции могут быть различного порядка: при исключении влияния одной переменной получаем частный коэффициент корреляции первого порядка; при исключении влияния двух переменных – второго порядка и т.д. Парный коэффициент корреляции между функцией и аргументом обычно не равен соответствующему частному коэффициенту.

Одним из условий регрессионной модели является предположение о линейной независимости объясняющих переменных, т.е. решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы. Для экономических показателей это условие выполняется не всегда. Линейная или близкая к ней связь между факторами называется мультиколлинеарностъю и приводит к линейной зависимости нормальных уравнений, что делает вычисление параметров либо невозможным, либо затрудняет содержательную интерпретацию параметров модели. Мультиколлинеарность может возникать в силу разных причин. Например, несколько независимых переменных могут иметь общий временной тренд, относительно которого они совершают малые колебания. В частности, так может случиться, когда значения одной независимой переменной являются лагированными значениями другой. Считают явление мультиколлинеарности в исходных данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0.8. Чтобы избавиться от мультиколлинеарности, в модель включают лишь один из линейно связанных между собой факторов, причем тот, который в большей степени связан с зависимой переменной.

На третьей, заключительной стадии производят окончательный отбор факторов путем анализа значимости вектора оценок параметров уравнений множественной регрессии с использованием критерия Стьюдента (k - количество факторов, включенных в модель после исключения незначимых факторов, k = m, если включены все анализируемые факторы).

Показателем тесноты связи, устанавливаемой между результативными и двумя или более факторными признаками, является совокупный коэффициент множественной корреляции R(y,x1, x2…xn). Он измеряет одновременное влияние факторных признаков на результативный.

Его значения находятся в пределах -1 до +1. Чем меньше наблюдаемые значения изучаемого показателя отклоняются от линии множественной регрессии, тем корреляционная связь является более интенсивной, а следовательно, значение R ближе к единице.

Величина R² называется совокупным коэффициентом множественной детерминации. Она показывает, какая доля вариации изучаемого показателя объясняется влиянием факторов, включённых в уравнение множественной регрессии. Значение совокупного коэффициента множественной детерминации находится в пределах от 0 до 1. Поэтому, чем ближе R к единице, тем вариация изучаемого показателя в большей мере характеризуется влиянием отобранных факторов.

Совокупный коэффициент множественной детерминации показывает, что вариация производительности труда обусловливается анализируемыми факторами. Значит, выбранные факторы существенно влияют на производительность труда.

Однако показатели множественной регрессии и корреляции могут оказаться подверженными действию случайных факторов. Поэтому только после проверки адекватности уравнения оно может быть пригодно, например, для выявления резервов повышения производительности труда.

Общая оценка адекватности уравнения может быть получена с помощью дисперсионного F-критерия Фишера.

Для оценки значимости коэффициентов регрессии при линейной зависимости у от х1 и х2 (двух факторов) используют t- критерий Стьюдента. Расчет t-критерия используют для отбора существенных факторов в процессе многошагового регрессионного анализа. Он заключается в том, что после оценки значимости всех коэффициентов регрессии из модели исключают тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее значение критерия. Затем уравнение регрессии строится без исключенного фактора, и снова проводится оценка адекватности уравнения и значимости коэффициентов регрессии. Такой процесс длится до тех пор, пока все коэффициенты регрессии не окажутся значимыми, что свидетельствует о наличии в регрессионной модели только существенных факторов. В некоторых случаях расчетное значение t-расч. находится вблизи t-табл., поэтому с точки зрения содержательности модели такой фактор можно оставить для последующей проверки его значимости в сочетании с другим набором факторов.

Последовательный отсев несущественных факторов рассмотренным выше приёмом (или последовательным включением новых факторов) составляет основу многошагового регрессионного анализа.

На основе коэффициентов регрессии нельзя сказать, какой из факторных признаков оказывает наибольшее влияние на результативный признак, так как коэффициенты регрессии между собой не сопоставимы, поскольку они измерены разными единицами. На их основе нельзя также установить в развитии каких факторных признаков заложены наиболее крупные резервы изменения результативного показателя, потому что в коэффициентах регрессии не учтена вариация факторных признаков.

Чтобы иметь возможность судить о сравнительной силе влияния отдельных факторов и о тех резервах, которые в них заложены, должны быть вычислены дополнительные показатели.

Для построения трендовых и регрессионных моделей на компьютере используются программы, предназначенные для статистической обработки данных, например, статистические пакеты Statgraphics, Статистика и др. Можно использовать табличный процессор MSExcel.

Список литературы

1. 
   Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики: учеб. пособие. — М.: Макс-Пресс, 2005. — 278 с.
   
2. 
   Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1971. — 384 с.
   
3. 
   Каштаева, С.В. Математическое моделирование : учебное пособие / С.В. Каштаева; Пермь : ИПЦ «Прокростъ», 2020.– 112 с ;