УЧП. Реферат.. Антонов Е.В. М8О-411Б-18. Реферат. УЧП. Реферат по дисциплине Уравнения в частных производных Студент Антонов Е. В. Группа М8О411Б18
 Скачать 135.72 Kb.
|
|
Московский Авиационный институт (Национальный исследовательский университет) Институт №8 «Информационные технологии и прикладная математика» Кафедра 813 «Компьютерная математика» Реферат по дисциплине «Уравнения в частных производных» Студент: Антонов Е.В. Группа: М8О-411Б-18 Преподаватель: Муравей Л.А. Оценка: Дата: Москва 2021 Решение задачи Коши на плоскости методом Римана Рассмотрим задачу Коши и начнем со случая линейного уравнения с двумя независимыми переменными, причем берем это уравнения уже приведенным к нормальной форме: 𝐿(𝑢) = 𝑢 𝑥𝑦 + 𝑎(𝑥, 𝑦)𝑢 𝑥 + 𝑏(𝑥, 𝑦)𝑢 𝑦 + 𝑐(𝑥, 𝑦)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦). (1) В дальнейшем часто мы не будем выписывать аргументы у коэффициентов и свободного члена. Через мы обозначили левую часть уравнения. Укажем, что основное 𝐿(𝑢) условие, определяющее характеристики, для написанного уравнения имеет вид , 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 0 так что характеристиками уравнения будут прямые и , параллельные 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 осям. Наряду с оператором , рассмотрим так называемый сопряженный оператор, 𝐿(𝑢) который определяется следующим образом: 𝐿 * (υ) = υ 𝑥𝑦 − (𝑎υ) 𝑥 − (𝑏υ) 𝑦 + 𝑐υ Коэффициенты и мы считаем при этом, конечно, непрерывно дифференцируемыми. 𝑎 𝑏 Пользуясь выражениеми для и , нетрудно проверить следующее элементарное 𝐿(𝑢) 𝐿 * (υ) тождество: 2[υ𝐿(𝑢) − 𝑢𝐿 * (υ)] = (𝑢 𝑥 υ − υ 𝑥 𝑢 + 2𝑏𝑢υ) 𝑦 + (𝑢 𝑦 υ − υ 𝑦 𝑢 + 2𝑎𝑢υ) 𝑥 (2) Рассмотрим на плоскости некоторую область с границей и положим, что (𝑥, 𝑦) 𝐷 λ функции и имееют в области непрерывные производные первого порядка и 𝑢 υ 𝐷 непрерывную смешанную производную второго порядка. При этом, интергрируя обе части тождества (2) по области и пользуясь формулой: 𝐷 , 𝐷 ∫ 𝐷 ∫( ∂𝑄 ∂𝑥 − ∂𝑃 ∂𝑦 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = λ ∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑦 мы получим следующую формулу Грина: 2 𝐷 ∫ 𝐷 ∫[υ𝐿(𝑢) − 𝑢𝐿 * (υ)] 𝑑𝑆 = λ ∮− (𝑢 𝑥 υ − υ 𝑥 𝑢 + 2𝑏𝑢υ) 𝑑𝑥 + (𝑢 𝑦 υ − υ 𝑦 𝑢 + 2𝑎𝑢υ) 𝑑𝑦. (3) После этих предварительных вычислений переходим к решению задачи Коши для уравнения (1). Положим, что на плоскости нам задана некоторая линия , которая пересекается (𝑥, 𝑦) 𝑙 не более чем в одной точке с прямыми, параллельными осям. Уравнение этой линии может быть написано в виде или . Мы считаем, что существуют производные 𝑥 = 𝑥(𝑦) 𝑦 = 𝑦(𝑥) и , отличные от нуля, на рассматриваемом участке линии . Ищется решение 𝑥 ' (𝑦) 𝑦 ' (𝑥) 𝑙 уравнения (1) по заданиям Коши на , т. е. вдоль этой линии заданы значения функции и ее 𝑙 𝑢 частных производных , , причем, должно быть соблюдено условие 𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 𝑑𝑢 = 𝑢 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑢 𝑦 𝑑𝑦 Мы можем считать, что , , заданы вдоль как функции только от или только от . 𝑢 𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 𝑙 𝑥 𝑦 При это предполагается, что функция, дающая значения на , имеет непрерывную 𝑢 𝑙 производную, а и — непрерывные функции. Коэффициенты и , как было упомянуто 𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 𝑎 𝑏 выше, по предположению имеют непрерывные частные производные, а и — непрерывны 𝑐 𝑓 в той области, содержащей , к которой будут относиться дальнейшее рассуждения. В 𝑡 дальнейшем мы докажем, что при сделанных предположениях задача имеет решение. Нашей задачей сейчас является построение некоторой формулы для решения задачи в предположении, что такое решение существует. Возьмем за область часть плоскости , ограниченную дугой линии и двумя 𝐵 (𝑥, 𝑦) 𝑙 прямыми, параллельными осям и выходящими из фиксированной точки (рис. 1). 𝑃(𝑥, 𝑦) Положим, что в этой области нам известно решение однородного сопряженного уравнения: 𝐿 * (υ) = 0 (4) Рис. 1. Применяя формулу (3) к искомому решению задачи Коши и только что упомянотому 𝑢 решению уравнения (4), мы получим, пользуясь уравнением (1), − 2 𝐷 ∫ 𝐷 ∫ υ𝑓𝑑σ = 𝐴𝐵 ∫ + 𝐵𝑃 ∫ + 𝑃𝐴 ∫ (5) Интегрирования по контуру разбивается на интегрирования по дуге кривой и по λ 𝐴𝐵 𝑙 прямым и , параллельным осям. Интеграл по дуге мы должны считать известным, так 𝐵𝑃 𝑃𝐴 𝑙 как на этой дуге нам заданы значения искомой функции и ее обеих частных производных 𝑢 первого порядка. Рассмотрим интегралы по умопянутым прямым. Вдоль меняется только 𝑃𝐴 , и, следовательно, при интегрировании по , мы получим интеграл 𝑥 𝑃𝐴 − 𝑃𝐴 ∫ (𝑢 𝑥 υ − υ 𝑥 𝑢 + 2𝑏𝑢υ) 𝑑𝑥 Подынтегральную функцию мы можем переписать в виде , 𝑢 𝑥 υ − υ 𝑥 𝑢 + 2𝑏𝑢υ = (𝑢υ) 𝑥 + 2𝑢 (𝑏υ − υ 𝑥 ) и, следовательно, будет: , − 𝑃𝐴 ∫ (𝑢 𝑥 υ − υ 𝑥 𝑢 + 2𝑏𝑢υ) 𝑑𝑥 = (𝑢υ) 𝑃 − (𝑢υ) 𝐴 − 𝑃𝐴 ∫ 2𝑢 (𝑏υ − υ 𝑥 ) 𝑑𝑥 где, например, есть значение произведения в точке P. (𝑢υ) 𝑃 𝑢υ Совершенно так же интегрирования по даст нам следующий результат: 𝐵𝑃 , − 𝐵𝑃 ∫ (𝑢 𝑦 υ − υ 𝑦 𝑢 + 2𝑎𝑢υ) 𝑑𝑦 = (𝑢υ) 𝑃 − (𝑢υ) 𝐵 − 𝐵𝑃 ∫ 2𝑢 (𝑎υ − υ 𝑦 ) 𝑑𝑦 Формула (5) может быть переписана следующим образом: 2υ(𝑃)𝑢(𝑃) = 𝐴𝐵 ∫ [(𝑢 𝑥 υ − υ 𝑥 𝑢 + 2𝑏𝑢υ) 𝑑𝑥 − (𝑢 𝑦 υ − υ 𝑦 𝑢 + 2𝑎𝑢υ) 𝑑𝑦] + 𝑢(𝐴)υ(𝐴) + + 𝑃𝐴 ∫ 2𝑢(𝑏υ − υ 𝑥 ) 𝑑𝑥 + 𝑃𝐵 ∫ 2𝑢(𝑎υ − υ 𝑦 ) 𝑑𝑦 − 2 𝐷 ∫ 𝐷 ∫ 𝑓υ𝑑σ (6) Положим, что нам известно не какое-нибудь решение уравнения (4), а решение этого уравнения, удовлетворяющее на прямых и следующим условиям: 𝑃𝐴 𝑃𝐵 на и на PB, 𝑏υ − υ 𝑥 = 0 𝑃𝐴 𝑎υ − υ 𝑦 = 0 и притом такое, что . В таком случае в формуле (6) пропадут интегралы по и , υ(𝑃) = 1 𝑃𝐴 𝑃𝐵 и мы получим следующую формулу, выражающую знаечние искомой функции в точке 𝑢(𝑃) 𝑃 , координаты которой обозначим через : (𝑥 0 , 𝑦 0 ) 2𝑢(𝑥 0 , 𝑦 0 ) = 𝑢(𝐴)υ(𝐴) + 𝑢(𝐵)υ(𝐵) + 𝐴𝐵 ∫ (𝑢 𝑥 υ − υ 𝑥 𝑢 + 2𝑏𝑢υ) 𝑑𝑥 − (𝑢 𝑦 υ − υ 𝑦 𝑢 + − 2 𝐷 ∫ 𝐷 ∫ 𝑓υ𝑑σ (7) Выясним теперь более подробно те условия, которым должно удовлетворять решение υ уравнения (4). Вдоль прямой мы должны иметь 𝑃𝐴 υ 𝑥 = 𝑏 (𝑥, 𝑦 0 ) υ Это уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнения по отношению к независимой переменной , и, интегрируя его, мы полуаем следующие 𝑥 значения на прямой : υ 𝑃𝐴 (на ). υ (𝑥, 𝑦 0 ) = 𝑒 𝑥 0 𝑥 ∫ 𝑏 (𝑥, 𝑦 0 ) 𝑑𝑥 𝑃𝐴 (8) Совершенно так же на прямой мы получим 𝑃𝐵 (на ). υ (𝑥 𝑜 , 𝑦) = 𝑒 𝑦 0 𝑦 ∫ 𝑏 (𝑥 0 , 𝑦) 𝑑𝑦 𝑃𝐵 (9) При этом в самой точке мы будем иметь . Итак, решение уравнения 𝑃(𝑥 0 , 𝑦 0 ) υ (𝑥 0 , 𝑦 0 ) = 1 υ (4) должно иметь на прямых и заданные значения, определяемые формулами (8) и (9). 𝑃𝐴 𝑃𝐵 Оно будет зависеть, конечно, от выбора точки , т. е., по существу говоря, оно будет (𝑥 0 , 𝑦 0 ) функцией пары точке. Обозначим его через υ (𝑥, 𝑦; 𝑥 0 , 𝑦 0 ) (10) Это решение уравнения (4), удоавлетворяющее условиям (8) и (9), называется функцией Римана. Эта функция не зависит ни от данных Коши на , ни от вида этого контура. Для нее 𝑙 точка играет роль аргумента, а точка — роль параметра. Отметим, что мы (𝑥, 𝑦) (𝑥 0 , 𝑦 0 ) могли бы доказать существование решения задачи путем непосредственной проверки того, что формула (7) действительно дает функцию , которая удоавлетворяет уравнению 𝑢 (𝑥 0 , 𝑦 0 ) (1) и условиям на . 𝑙 Изложенный выше метод Римана приводит решение задачи Коши к нахождению функции Римана (10). Сама эта функция является решением однородного уравнения (4) того же типа, что и уравнение (84), но с добавочными условиями, совершенно отличными от условий Коши, а именно, как мы видели выше, задаются значения только самой функции на υ двух характеристиках и , выходящих из заданной точки . В дальнейшем мы докажем 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃 существование функции Римана. Заметим еще, что основная формула (7) получеена нами в предположении, что решение задачи существует. Таким образом, если решение задачи существует, то оно должно обязательно выражатсья формулой (7), и тем самым доказана единственность решения задачи Коши. Считая пока все указанные выше теоремы существования доказанными, мы перейдем к выяснению некоторых следствий из формулы (7). Как мы только что упомянули выше, эта формула показывает единственность решения задачи. Кроме того, из этой формулы непосредственно вытекает, что если мы достаточно мало изменим данные Коши на контуре 𝑙, то и решение задачи изменится на сколь угодно малую величину, т. е. решение задачи Коши непрерывно зависит от начальных данных. Кроме того, из формулы (7) непосредственно вытекает, что значение искомой функции в точке зависит только от начальных данных, 𝑢 𝑃 распределенных на дуге линии . Если мы продолжим начальные данные, заданные на 𝐴𝐵 𝑙 дуге , за эту дугу двумя различными способами, сохраняя непрерывность этих начальных 𝐴𝐵 данных в точках и , то получим вне криволинейного треугольника два различных 𝐴 𝐵 𝑃𝐴𝐵 решения Коши, т. е., точнее говоря, мы будем иметь две различные системы данных Коши, которым будут соответствовать два различных решения задачи Коши, но эти решения будут совпадать в криволинейном треугольнике , поскольку начальные данные в обеих задачах 𝑃𝐴𝐵 совпадают вдоль дуги . Характеристики и будут теми линями, вдоль которых 𝐴𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 решения, одинаковые в упомянутом треугольнике, расщепятся на два различных решения. Все рассуждения не предполагают, конечно, аналитичности функций. Отметитим роль того условия, что прямые, параллельные осям, т. е. характеристики, пересекают линию не 𝑙 более, чем в одной точке. Возьмем (рис. 2) линию , которая пересекается прямыми, 𝑙 1 параллельными оси , в двух точках, и положим, что на ней заданы начальные данные Коши. 𝑥 Применяя метод Римана, мы можем определить значение искомой функции в точке , 𝑢 𝑃 пользуясь или криволинейным треугольником , или криволинейным треугольником 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐵𝐶 Полученные две формулы дадут, вообще говоря, в точке разные результаты для , и, таким 𝑃 𝑢 образом, задача окажется неразрешимой. |